2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1.2 指数函数及其性质（第1课时）指数函数的图象和性质课件 新人教A版必修1

1、2.1.2指数函数及其性质 第1课时指数函数的图象和性质 1.理解指数函数的概念和意义,能画出指数函数图象的草图,会判 断指数函数. 2.初步掌握指数函数的性质,并能解决与指数函数有关的定义域、 值域、定点问题. 1.指数函数的定义 一般地,函数y=ax(a0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量. 名师点拨名师点拨指数函数y=ax(a0,且a1)的结构特征: (1)底数:大于零且不等于1的常数,且不含自变量x. (2)指数:仅有自变量x,且x的系数是1. (3)系数:ax的系数是1. 【做一做1】 已知函数y=a2x与y=2x+b都是指数函数,则a+b的值 为() A.2B.1 C.0D.不

2、确定 解析:由指数函数的概念知a=1,b=0,故a+b=1. 答案:B 2.指数函数的图象和性质 指数函数的图象和性质如下表所示: 归纳总结归纳总结指数函数的性质可用如下口诀来记忆: 指数增减要看清,抓住底数不放松; 反正底数大于0,不等于1已表明; 底数若是大于1,图象从下往上增; 底数0到1之间,图象从上往下减; 无论函数增和减,图象都过(0,1)点. 答案:C A.RB.0,+)C.(-,0) D.(0,+) 答案:D 【做一做2-3】 若指数函数y=(a-2)x在R上是增函数,则实数a的 取值范围是. 解析:由题意得a-21,故a3. 答案:(3,+) 1.对指数函数中底数取值范围的理

3、解 剖析:(1)若a0时,ax=0;当x0时,ax无意义. (3)若a=1,则对于任何xR,ax是一个常量1,没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况,所以规定a0,且a1,这样对于任何 xR,ax都有意义. 2.在指数函数y=ax(a0,且a1)中,底数a对函数图象的影响 剖析:设y=f(x)=ax,则f(1)=a,即直线x=1与指数函数f(x)=ax图象交 点的纵坐标是底数a.如图所示. 指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如图所示,则有 ab1cd0.从图中可以看出:在y轴右侧,图象从上到下相应的 底数由大变小,即底数大的在上边;在y轴左侧,图象从下到上相应的 底数由大变

4、小,即底数大的在下边. 图 图 题型一题型二题型三题型四 指数函数的概念 【例1】 下列函数中,哪些是指数函数? (4)y=23x. 分析:依据指数函数解析式满足的三个特征来判断. 解:(1)中,底数-80,且2a-11.y=(2a-1)x是指数函数. (4)中,3x的系数是2,而不是1,故不是指数函数. 综上所述,仅有(3)是指数函数. 题型一题型二题型三题型四 反思判断一个函数是不是指数函数,只需判定其解析式是否符合 y=ax(a0,且a1)这一结构,其具备的特点如下: 这三个特点缺一不可. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练1】 下列函数: 其中,指数函数的个数是() A.1B.2C.

5、3D.4 解析:由指数函数的概念知,不是指数函数;是指数函数; 答案:B 题型一题型二题型三题型四 求指数型函数的定义域、值域 【例2】 求下列函数的定义域与值域. 分析:因为指数函数y=ax(a0,且a1)的定义域是R,所以函数 y=af(x)(a0,且a1)与函数f(x)的定义域相同,在定义域内可利用指数 函数的单调性来求值域. 题型一题型二题型三题型四 解:(1)由x-40,得x4, 题型一题型二题型三题型四 反思对于y=af(x)(a0,且a1)这类函数: (1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围. (2)值域问题应分以下两步求解: 由定义域求出u=f(x)的值域; 利用指数函数y

6、=au的单调性求得此函数的值域. 题型一题型二题型三题型四 答案:C 题型一题型二题型三题型四 指数函数图象的应用 【例3】 (1)若函数f(x)=ax-1+3(a0,且a1)的图象恒过定点P,求 点P的坐标. 分析:(1)利用指数函数y=ax(a0,且a1)的图象过定点(0,1)来确定. 题型一题型二题型三题型四 解:(1)令x-1=0,解得x=1,此时f(1)=a0+3=4, 即f(x)的图象恒过定点P的坐标为(1,4). 作函数y=3x的图象关于y轴的对称图象得函数 y=3-x的图象,再向 左平移1个单位长度就得到函数y=3-(x+1)的图象,最后再向上平移2个 题型一题型二题型三题型四

7、 反思1.已知函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k0,a0,且a1).若 g(m)=0,则f(x)的图象恒过定点(m,k+b). 2.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是 利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练3】 (1)当a0,且a1时,函数f(x)=ax+1-1的图象一定过 点() A.(0,1)B.(0,-1)C.(-1,0)D.(1,0) (2)指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如图所示,则 a,b,c,d与1的大小关系为() A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd D.ab

8、1dc 题型一题型二题型三题型四 解析:(1)令x+1=0,得x=-1,此时f(-1)=a0-1=0,即图象过定点(-1,0). (2)由图象可知的底数必大于1,的底数必小于1.过点(1,0) 作直线x=1,如图所示,在第一象限内直线x=1与各曲线的交点的纵 坐标即为各指数函数的底数,则1dc,ba1,从而可知a,b,c,d与1 的大小关系为ba1dc. 答案:(1)C(2)B 题型一题型二题型三题型四 易混易错题 易错点利用换元法时,忽视中间变量的取值范围 题型一题型二题型三题型四 反思求形如f(ax)的函数的值域时,常利用换元法,设ax=t,根据f(ax) 的定义域求得t的取值范围,再转化为求f(t)的值域. 题型