2019-2020学年高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件课件 新人教A版必修1

1、1.4充分条件与必要条件 一二 一、充分条件与必要条件 1.(1)已知“若p,则q”为真命题,说明p与q之间有什么关系? 提示:说明当p成立时,一定能得出q成立.即由p通过推理可以得出 q.这时我们就说,由p可以推出q,记作pq. (2)类似地,如果“若p,则q”为假命题,说明p与q之间有什么关系? 提示:说明由条件p不能推出结论q,记作p q. 一二 (3)观察如下电路图,条件p:“开关A闭合”,结论q:“灯泡B亮”.当开 关A闭合时,灯泡B一定会亮吗?说明了什么?如果“灯泡B不亮”,“开 关A可以闭合”吗? 提示:一定会亮.说明要使“灯泡B亮”,有“开关A闭合”这个条件就 足够了. 如果“

2、灯泡B不亮”,则开关A肯定不闭合. 一二 (4)下面电路中,条件p:“开关A闭合”成立,结论q:“灯泡B亮”成立吗? 提示:不成立.也就是说“若p,则q”为假命题. 2.填空 一般地,“若p则q”为真命题,就说p是q的充分条件,q是p的必要条件. 3.做一做 用“充分条件”和“必要条件”填空: (1)若p:x=-3,q:x2=9,则p是q的,q是p的. (2)若p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等,则p是q的 ,q是p的. 答案:(1)充分条件必要条件(2)必要条件充分条件 一二 二、充要条件 1.(1)我们知道,当“x1”成立时,能推出“x0”.那么“x0”的充分条 件是否只能是“x1

3、”? 提示:不是.使结论“x0”成立的条件并不唯一,如“x1.2”,“30”是“x1”的必要条件.那么“x1” 的必要条件是否只能是“x0”? 提示:不是.例如“x1”还能推出“x-1”“x ”等,这些都是“x1” 成立的必要条件. (3)已知条件p:“三角形是等边三角形”,结论q:“三角形的三条边相 等”,那么p是q的什么条件?q是p的什么条件? 提示:pq,qp.p是q的充分条件,q是p的充分条件,p是q的必要条 件,q也是p的必要条件. 一二 (4)从命题“若p,则q”及其逆命题的真假角度,说一说p是q成立条 件的所有情况. 提示: 一二 2.填空 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,

4、则p”均是真命题,即既有pq, 又有qp,就记作pq.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件, 我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件. 3.做一做 实数a,b,c不全为0的一个充要条件是() A.实数a,b,c均不为0 B.实数a,b,c中至多有一个为0 C.实数a,b,c中至少有一个为0 D.实数a,b,c中至少有一个不为0 答案:D 探究一探究二随堂演练 探究一充分条件、必要条件及充要条件的判断探究一充分条件、必要条件及充要条件的判断 例例1(1)对于任意的x,yR,“xy=0”是“x2+y2=0”的() A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5、 (2)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱 形”是“ACBD”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 (3)设A,B是两个集合,则“AB=A”是“AB”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 探究一探究二随堂演练 解析:(1)由x2+y2=0,得x=0且y=0, 由xy=0得x=0或y=0,即“xy=0” “x2+y2=0”. (2)若“四边形ABCD为菱形”,显然对角线垂直; 但“ACBD”推不出“四边形ABCD为菱形”,例如对角线垂直的等 腰梯形. 所以“四边形A

6、BCD为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件. (3)AB=AAB,“AB=A”是“AB”的充要条件. 答案:(1)A(2)A(3)C 探究一探究二随堂演练 延伸探究延伸探究 例1(2)中,把原条件中的“四边形ABCD”改为“平行四边 形ABCD”,其余不变,结论有变化吗? 解:若条件为平行四边形,则“ABCD为菱形”是“ACBD”的充要 条件. 变式训练变式训练1设A、B为两个互不相同的集合.命题p:xAB;命题 q:xA或xB.则p是q的()条件. A.充分必要B.充分不必要 C.必要不充分D.既不充分又不必要 解析:若命题p:xAB成立,命题q:xA或xB一定成立;若命题 q:xA或xB

7、成立,但是x不一定是AB中的元素,所以p是q的充分 不必要条件. 答案:B 探究一探究二随堂演练 探究二充要条件的证明探究二充要条件的证明 例例2求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+10对于一切实数x都 成立的充要条件是0a4. 分析:第一步,审题,分清条件与结论:“p是q的充要条件”中p是条 件,q是结论;“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是 “0a0对一切实数x 都成立”. 第二步,根据要求确定解题步骤.分别证明“充分性”与“必要性”, 先证必要性:“结论条件”;再证充分性:“条件结论”. 探究一探究二随堂演练 探究一探究二随堂演练 反思感悟反思感悟 充要条件的证

8、明 (1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别 是什么. (2)证明p是q的充要条件,既要证明“pq”为真,又要证明“qp”为 真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性. (3)证明p的充要条件是q,既要证明“pq”为真,又要证明“qp”为 真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性. 探究一探究二随堂演练 变式训练变式训练2求证:方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是 a+b+c=0. 证明: (必要性) 关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1, x=1满足方程ax2+bx+c=0. a12+b1+c=0,即a+b+c=0. (充分性) a+b+c=0,c

9、=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0, 即(x-1)(ax+a+b)=0. 因此,方程有一个根为x=1.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根 为1的充要条件是a+b+c=0. 探究一探究二随堂演练 1.“a=-3”是“|a|=3”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 2.“x2”是“x1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 探究一探究二随堂演练 3.已知a,b是实数,则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的条 件. 解析:a0且b0a+b0且ab0;a+b0且ab0a0且b0,故为充 要条件. 答案:充要 探究一探究二随堂演练 4.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是 ac0. 证明:充分性: 因为ac0. 故一元二次方程一定有两个不相等