平面向量基本定理（经典实用）

1、平面向量基本定理 平面向量基本定理 一般地一般地, ,实数实数 与向量与向量 的积是一个向量的积是一个向量, ,记作记作: : a a (1) (2)当当 时时, 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同; 当当 时时, 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同; (3)当当 时时,或或 时时, | |;aa 0 0 0 a a a a 0 a 一、数乘的定义：一、数乘的定义： 它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下: 二、二、数乘数乘的运算律：的运算律： (2)(2)第一分配律第一分配律: : (1)(1)结合律结合律: : (3)(3)第二分配律第二分配律: : ()()aa ()aaa

2、 ()abab 0a 平面向量基本定理 1. 1. 定理定理: :向量向量 与非零向量与非零向量 共线的共线的充要条件充要条件是有是有 且只有一个实数且只有一个实数 , ,使得使得. . a b ab 三、向量共线的充要条件：三、向量共线的充要条件： 利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题. .但要注但要注 意的是意的是: :向量平行和直线平行在重合概念上有区别向量平行和直线平行在重合概念上有区别. .一般说两直线平行不包含两直线一般说两直线平行不包含两直线 重合重合, ,而两向量平行则含两向量重合而两向量平

3、行则含两向量重合. . 平面向量基本定理 探究探究1 1 探究探究2 2 . 2121 21 之之间间的的关关系系，与与不不共共线线，探探究究向向量量与与 是是同同一一平平面面内内任任一一向向量量共共起起点点，向向量量，与与向向量量向向量量 eeaee aeea . 21 21 之之间间的的关关系系，与与量量内内的的任任一一向向量量，探探究究向向 是是这这一一平平面面个个向向量量，向向量量同同一一平平面面内内不不共共线线的的两两，向向量量 eea aee 知识点一知识点一 平面向量基本定理平面向量基本定理 平面向量基本定理 1 e 2 e a 分解分解 平移平移 共同起点共同起点 1 e 1

4、e a 2 e O A B OBOAa 11e OA 22e OB 2211 eea 2 e a 平面向量基本定理 21 ee , a 2211 eea 21 , ee 2. 2. 定理说明定理说明 （1 1）基底）基底 不共线，零向量不能做基底不共线，零向量不能做基底. . 21 ee 、 （2 2）定理中向量）定理中向量 是任一向量，实数是任一向量，实数 唯一唯一. . a21 与与 （3 3） 叫做向量叫做向量 关于基底关于基底 的分解式的分解式. . 2211 ee a 21 , ee (4)基底给定时基底给定时,分解形式唯一分解形式唯一. 平面向量基本定理 典 典 例 例 精 精 析

5、 析 典 典 例 例 精 精 析 析 c dcd 试试判判断断不不共共线线，且且，若若向向量量,badbacba232【例例1 1】 . 能能否否作作为为基基底底与与向向量量dc 胜利彼岸胜利彼岸 ) ( ee 作作为为基基底底的的下下面面的的四四组组向向量量中中不不能能 量量的的一一组组基基底底，则则所所有有向向是是表表示示平平面面内内，若若跟跟踪踪练练习习 21 . D. 33 .C 6423 B. . A 2121221 12212121 eeeeeee eeeeeeee 和和和和 和和和和 平面向量基本定理 典 典 例 例 精 精 析 析 典 典 例 例 精 精 析 析 a ba b

6、胜利彼岸胜利彼岸 ,ab ._,/, . 的的值值为为则则实实数数且且向向量量 的的一一组组基基底底，若若向向量量是是表表示示平平面面内内所所有有向向量量，设设向向量量变变式式训训练练 baeebeea ee 2121 21 2 平面向量基本定理 . ., , . 上上一一定定在在直直线线并并且且满满足足上上式式的的点点 的的分分解解式式为为 关关于于基基底底，使使得得存存在在实实数数求求证证：直直线线上上任任意意一一点点 外外一一点点，是是直直线线上上任任意意两两点点，点点是是直直线线，已已知知点点例例 lP OBOAtOPOBOA OPtP lolBA )( 3 1 典 典 例 例 精 精

7、 析 析 典 典 例 例 精 精 析 析 胜利彼岸胜利彼岸 思路分析：思路分析：以基底为出发点，应用平面向以基底为出发点，应用平面向 量基本定理结合向量共线，推证结论量基本定理结合向量共线，推证结论. . 课本课本P P97 97例 例2 2 B O P A ) , OBOAOP ABPt （ 的的中中点点，则则是是点点令令 2 1 2 1 O P A B 平面向量基本定理 巩 巩 固 固 练 练 习 习 巩 巩 固 固 练 练 习 习 . _ _;), , , 3. 则则（ 若若的的重重心心，设设为为已已知知 Rba AGbACaABABCG ._ ,. 12 21 23 642 ee eB

8、CeABABCDo 则则 的的中中心心，是是平平行行四四边边形形若若点点 平面向量基本定理 拓 拓 展 展 反 反 馈 馈 拓 拓 展 展 反 反 馈 馈 1.1.下面三种说法：下面三种说法： 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向 量的基底；量的基底； 一个平面内有无数多对不共线向量可作该平面所有向量的一个平面内有无数多对不共线向量可作该平面所有向量的 基底；基底； 零向量不可作为基底中的向量，零向量不可作为基底中的向量， 其中正确的说法是其中正确的说法是( ( ) ) A A B B C C D D 知识点二、向量的夹角与垂直知

9、识点二、向量的夹角与垂直 : O A B b a 两个非零向量两个非零向量 和和 ,作作 ， ,则则 a b AOB 叫做向量叫做向量 和和 的的夹角夹角 OAa OBb a b 夹角的范围：夹角的范围： 00 180,0 180 与与 反向反向 a b OAB a b 记作记作 ab 90 与与 垂直，垂直， a b O A B a b 注意注意:两向量必须两向量必须 是是同起点同起点的的 0 与与 同向同向 a b OA B a b 特别的：特别的： 平面向量基本定理 例例2.在等边三角形中，求在等边三角形中，求 (1)AB与与AC的夹角；的夹角； (2)AB与与BC的夹角。的夹角。 AB

10、 C 60 C 0 120 平面向量基本定理 1. 平面向量基本定理平面向量基本定理 2.平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用 3.向量的夹角与垂直向量的夹角与垂直 4.转化思想方法及其应用转化思想方法及其应用 平面向量基本定理 向量的正交分解向量的正交分解 121 12 2 12 , , e eee e e 一个平面向量用一组基底表示成 的形式，我们称它为向量的分解。当互相垂直时， 就称为向量的正交分解。 在平面上，如果选取互相垂直的向量作在平面上，如果选取互相垂直的向量作 为基底时，会为我们研究问题带来方便为基底时，会为我们研究问题带来方便 2.3.2平面向量正交分解及坐标表示平面

11、向量正交分解及坐标表示 平面向量基本定理 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 O x y 平面内的任一向量平面内的任一向量 , 有且只有一对实数有且只有一对实数x,y,使使 成立成立 a axiy j 则称（则称（x，y）是向量是向量 的坐标的坐标a j i 如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,分别取与分别取与x轴、轴、y轴正方向轴正方向 同向的两个同向的两个单位向量单位向量 作基底作基底.i j 、 记作：记作： ( , )ax y （1）与）与 相等的向量的坐标均为（相等的向量的坐标均为（x, y)a a 注意：注意： a 平面向量基本定理 (4)如图以原点如图以原点O为起点

12、作为起点作 ，点，点A的位置的位置 被被 唯一确定唯一确定.a OA a O x y 1212 abxxyy 且 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 a a j i (x, y) A 此时点此时点A的坐标即为的坐标即为 的坐标的坐标a （5）区别点的坐标和向量坐标）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同但起点、终点的坐标可以不同 (2)0(1,0)0(0,1) 0(0,0) iijjij （1）与）与 相等的向量的坐标均为（相等的向量的坐标均为（x, y)a 注意：注意： （3）两个向量）两个向量 相等的等价条件：相等的等价条件： 1122 ( ,),(,) ax ybxy (6) 22 axy 平面向量基本定理 例例1如图，用基底如图，用基底 ， 分别表示向量分别表示向量 并求它们的坐标并求它们的坐标 解：由图可知解：由图可知 12