2019-2020学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷

1、2019-2020 学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10 小题，共40.0 分）1.24 ，?= -1,2，则 ?= ()已知集合 ?= ?|? ?2”是“ ?为递减数列”的 ( )已知 ?(? ) 为等比数列，则“A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件22?，?为椭圆 C：+58. 设?1 29= 1的两个焦点， M 为 C 上一点且在第二象限若?12为等腰三角形，则点M 的横坐标为 ( )A.3B. 15C. - 1532D. -2229.在 ?中， ?= 90 ， ?=2，点 P 在 BC 边上，且 ? ?，则?

2、 的取值范围是 ()?(?+ ?)= 1|?|1122A. (?2 ?,?1?B. ?2 ?,?1?C. (? 2 ?,?1?D. ? 2 ?,?1?10.AB满足： ( )?=?， ?= ?；已知集合 ，( )?1?，若 ?2 ?且 ?2 ?12 ?给出以下命题：若集合 A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； 若集合 A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数；若集合 A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； 若集合 A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数其中，所有正确结论的序号是 ()A. B. C. D. 第1页，共 15页二、填空题（本大题共 6小题，共30.0 分）11. 已知

3、向量 ?= (1, -1)，且?，则 ? = _?= (3, ?)?/?12. 某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为 _，最长棱的长度为 _13.已知直线 ?- 2?+ ?=0与圆22O：? + ? = 2相交于 A，B 两点 (?为坐标原点 )，且?为等腰直角三角形，则实数a 的值为 _14.已知a，b是实数，给出下列四个论断：； 1 0；? 0 ? ?以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：_2? ? 0)经过两点2，2, 0)22?(?1?,? ?) ?(-2?( ) 求椭圆 C 的标准方程；( ) 过椭圆的右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C

4、于 A，B 两点，且直线 l 与以线段 FP 为直径的圆交于另一点 ?(异于点 ?)，求 |?|?|?|的最大值?21. 已知函数 ?(?)= ?+?(? 0) ( ) 求曲线 ?= ?(?)在点 (1, ?(1)处的切线方程；?-1( ) 当?= 1 时，证明： ?(?) 2 ；( ) 判断 ?(?)在定义域内是否为单调函数，并说明理由第3页，共 15页? ? ?，?= |? | - |?| ?= |?| -|? |22. 已知无穷数列?+1，?， ?，?满足：?， ?+1? = |?| -|?|.记 ? =|, |? |, |? |(?,y， ?表示 3 个实数 x，y， z?+1?|?中

5、的最大值 ) ，?的可能值；( ) 若?1 = 1， ?2 = 2， ?3 = 3，求 ?11( ) 若? = 1， ? = 2，求满足 ? = ?的 ?的所有值；11231( ) 设?， ?，?是非零整数，且 |? |， |?| ，|?|互不相等，证明：存在正整数k，111111使得数列 ?， ? ， ? 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为 0第4页，共 15页答案和解析1.【答案】 C2，?= -1,2，【解析】 解： 集合 ?= ?|? 1)平行，此时，两图象只有一个交点， ?1，?=2因此，要使 ?和 ?的图象有两个交点，则1 ? ?2 ，不能说明 ?为递减数列， 如数列： 1，-

6、1，21 ；4反之，由 ?为递减数列，得 ?1 ?2“ ?1 ?2”是“ ? 为递减数列”的必要而不充分条件第6页，共 15页故选： B举例说明不充分，由递减数列的概念说明必要本题考查数列的有关概念，考查充分必要条件的判定，是基础题8.【答案】 D【解析】 解：设 ?(?,?)， ? 0 ，22?椭圆 C：+= 1 中?= 3，5?= 2，95?=29椭圆的左准线方程为：?= -?= -2，?2?= ?= 3，由于 M 为 C 上一点且在第二象限，可得|?| |?|，12?为等腰三角形， 可得 |?| = 2?=1224， |?| = 2，1由椭圆的第二定义，可得 2=2933( 2+ ?)，

7、解得 ? = -2，故选： D设 ?(?,?)，? 0，求得椭圆的a，b， c， e，由于 M 为 C 上一点且在第二象限，可得 |?1| ，由 ? + ? = 1，因为 ? 1，所以 |?| 1，所以|2?|2所以|?= |?|1( ,1，的取值范围为2故选： A以 BC 的中点 O 为原点，过O 垂直于 BC 的直线为y 轴，建立直角坐标系，利用向量的第7页，共 15页坐标法，求出 ?=1|?= |?|x 的范围，代入即可，根据题意求出2考查了向量坐标的运算，向量数量积，向量法求最值，重点是求出x 的范围，中档题10.【答案】 B【解析】 解：由 ( )?= ?， ? ?= ?；( )?1

8、?，若 ?2 ?且 ?2 ?，则 ? ?12212可判断集合 A 中的元素都小于集合B 中的元素，若集合 A 的元素没有最大数，则必然存在一个数x，使得 ?1 ?， ?1 ?，则 B 没有最小数；故 正确；若集合 A 的元素有最大数，则必然存在一个有理数x，使得 ?，?1 ?；1?1 ?，?1 ?，则 B 没有最小数；故 正确；故选： B根据集合中元素的特点进行判断A， B 的关系本题考查了集合元素的特点，对符号含义的理解以及逻辑推理能力，属于中档题11.【答案】 -3【解析】 解：，?/ ?+ 3 = 0，?= -3 故答案为： -3根据?/即可得出 ?+ 3 = 0，解出m即可?本题考查了

9、向量平行的定义，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题112.【答案】 6 3【解析】 解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥?- ?，底面三角形ABC 为等腰直角三角形，?= ?= 1， ?= 90 ，高 ?= 1，则 ?-?=11111=1；326最长棱长为2+ 12+ 12= 3?= 1故答案为：1 ；36由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥?-?，底面三角形ABC 为等腰直角第8页，共 15页三角形，再由棱锥体积公式求体积，由勾股定理求最长棱长本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题13.【答案】 5【解析】 解： |?|= |?|= 2

10、；又 ?为等腰直角三角形；所以 ?= 2，则三角形AOB 斜边上的高为1；即圆心 O 到直线的距离为1；|?|2 = 1，即 |?|= 5；?= 1+2故答案为： ?= 5；?为等腰直角三角形，则AB 边上的高为1，即圆心 O 到直线的距离为1，用点到直线的距离公式可求a；本题考查直线与圆的位置关系，利用垂径定理转化为点到直线的距离，属于基础题1114.【答案】 若 ? ?， ? 0，则 ? ?； 1 0；? 0?以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：若1 ?， ? 0 ，则 ?( 答案不唯一 )故答案为：由a， b 满足： ? ?， ? 0，则 1 -1时

11、， ?(-1)= ?=21， ?=21， ? -1-11时， ?(-1) = -2= -?2 ，?21?= 2(2) (?1-?-1 ) = ?-1 ，?=?在 (- ,1) 递增，在 (1, +)递减；?-1?2递减， ?(?)不会存在最大值又 ? 0时 ?= ?在 (- ,0)?= 0时， ?(?)的最大值即 ?=?-1 的最大值；? 0时， ?(?)的最大值即 ?=?-1 的最大值；?故答案为： (- ,0 本题 (1) 利用分段函数求值分类讨论a 的取值后分别代入每一段函数中求值；第9页，共 15页?(2) 结合二次函数以及?-1 的函数的图象特点分析求解?本题考查了分段函数求值，分类

12、讨论思想和数形结合思想属于基础题题116.【答案】 24011【解析】解：生物体内碳 14 的量N 与死亡年数 t 之间的函数关系式为：-?= ?0 ?25730 ；?0?= 5730 时， ?=?0 ?2-1 = 2；所以每经过5730 年衰减为原来的1；2由于良渚古城遗址文物样本中碳14 的质量是原来的 1 至3，25?3；1 2- 573025两边同时取以2 为底的对数，得：-1 -? ( log 2 3 -log 2 5) = -0.757304011 ? 5730 ；故推测良渚古城存在的时期距今约在4011 年到5730年之间故答案为：1 ，40112根据生物体内碳14 的质量 N与

13、死亡年数 t 之间的函数关系式， ?= 5730 代入，得 ?=?20 ，故每经过 5730年衰减为原来的一半；利用碳 14 的残余量约占原来的1至 3，建立不等式，即可推算良渚古城的年代25本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题17.【答案】 解： ( )因为 ?=60，所以 ?= 120 在 ?中， ?= 2 7， ?=120， ?= 2 ，由余弦定理222224=0? = ?+ ?-2? ，得?+ 2?-所以 ?= 4( )在 ?中， ?=4， ?= 1， ?= 60 ，由余弦定理2222? ，得?=? 13 ?=?+ ?-由正弦定理?=? ，得4= 13，si

14、n ? sin ?sin ? ?60 239所以 sin ?= 13 【解析】 ( )在 ?中，利用余弦定理转化求解AP 的值；( )在 ?中，利用余弦定理求出AC，然后利用正弦定理求sin ?的值本题考查三角形的解法、正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题18.【答案】 解： ( )设 ? 的公比为q，因为1，32，?= 162? + 3? = 322所以 2? + 3?- 2 = 0解得 ?= -2( 舍去 ) 或 ?=12第10 页，共 15页因此 ? 的通项公式为 ? =16 (1)?-1= 25-? 2( )由 () 得? = 3(5 - ?)2 =15 -3

15、?，?log 2当 ?2时， ? - ? = -3 ，? ?-1故 ? 是首项为 ? = 12，公差为 -3 的单调递减等差数列?1则 ?= 12?+1?(?- 1)(-3)= -3222(? - 9?)又 ? = 0 ，所以数列 ? 的前 4 项为正数，5?所以当 ?= 4 或 5 时， ?取得最大值，且最大值为 ? = ? = 30?45【解析】 ( )直接利用已知条件求出数列的通项公式( )直接利用数列的通项公式求出数列的和，进一步利用关系式求出最值本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19.【答案】

16、 解： ( )如图，取 PA 中点 F ，连结 EF， BF因为 E 为 PD 中点， ?= 4，所以 ?/?， ?= 1 ?= 22又因为 ?/?， ?= 2 ，所以 ?/?， ?= ?，所以四边形EFBC 为平行四边形所以 ?/?又因为 ? 平面 PAB， ? 平面 PAB，所以 ?/平面 PAB( )取 AD 中点 O，连结 OP， OB因为 ?为等边三角形，所以?又因为平面 ?平面 ABCD ，平面 ?平面 ?= ?，PO 在平面 PAD 内，所以 ?平面 ABCD 因为 ?/?， ?= ?= 2 ，所以四边形BCDO 为平行四边形因为 ? ?，所以 ? ?如图建立空间直角坐标系?-

17、?，第11 页，共 15页则 ?(0,-2,0), ?(2,0,0), ?(2,2,0),?(0,1,3), ?(0,0,23) 所以 ?= (2,4,0),?= (0,3, 3)? ?设平面 ACE 的一个法向量为?1 =(?,y，?)，?2?+ 4?= 0,则?1?= 0 ，即 ?3?+ 3?= 0?1 ?= 0令 ?= -2 ，则 ?1= (-2,1,-3) 显然，平面 ACD 的一个法向量为 ?2 =(0,0， 1) ，?- 36所以 cos = |?| ?|= -412由题知，二面角 ?- ?-?为锐角，所以二面角 ?- ?- ?的余弦值为 64( )直线 AB 上存在点Q，使得 ?

18、/平面 ACE理由如下：设 ?=? ?，因为 ?= (2,2,0) ， ?= (0, -2, -2 3) ，所以 ? ? ?3) =?= (2?,2?,0) ， ?= ?+ ?= (2?,2?- 2, -2因为 ? 平面 ACE，所以 ?/平面 ACE 当且仅当 ?= 0?1即 -2 2?+ 2?-2 + 23 3 = 0，解得 ?= 2所以直线 AB 上存在点 Q，使得 ?/平面 ACE，此时?= 2 【解析】 本题考查二面角的平面角的求法， 直线与平面平行的判断定理以及性质定理的应用，平面与平面垂直的性质定理的应用，是中档题( )取 PA 中点 F，连结 EF，?推.出 ?/?，证明 ?/?，利用直线与平面平行的判断定理证明 ?/平面 PAB ( )取 AD 中点 O，连结 OP，OB，说明 ?，推出 ?平面 ABCD ，得到 ?