全等三角形作辅助线专题一重点截长补短法-可打印版

1、是中点，试比较 BE+CF与 EF 的大 全等三角形作辅助线经典例题 常见辅助线的作法有以下几种： 1）遇到等腰三角形， 可作底边上的高， 利用“三线合一” 的性质解题， 思维模式是全等变换中的 “对折” 2）遇到三角形的中线， 倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全 等变换中的“旋转” 3）遇到角平分线， 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中 的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻 转折叠”；（遇垂线及角平分线时延

2、长垂线段，构造等腰三角形） 5）截长法与补短法， 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是 之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、 倍、分等类的题目 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时 ，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来， 利用 三角形面积的知识 解答 一、倍长中线（线段）造全等 1：已知，如图 ABC中， AB=5， AC=3，则中线 AD的取值范围是 3：如图， ABC中，BD=DC=A，CE是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. 中考应用： 以 ABC 的 两 边 AB 、 AC 为 腰 分

3、别 向 外 作 等 腰 Rt ABD 和 等 腰 Rt ACE ， BAD CAE 90 ,连接 DE，M、N分别是 BC、DE 的中点探究： AM 与DE 的位置 关系及数量关系 （ 1）如图 当 ABC 为直角三角形时， AM 与 DE 的位置关系 ，线段 AM 与 DE 的数量关系是 （2）将图中的等腰 Rt ABD 绕点A沿逆时针方向旋转（0 AC， 1 2， P为 AD上任意一点，求证 ;AB-ACPB-PC 12 6如图，在 ABC中， AD平分 BAC，AB+BD=A，C求 B C的值 中考应用 ：如图，在四边形 ABCD 中， AD/BC ，点 E 是 AB 上一个动点， 若

4、B=60， F E A H AB=BC ，且 DEC=60，判断 AD+AE 与 BC 的关系并证明你的结 论。 三、找全等 1. 已知：如图，在 Rt ABC 中， ACB=90 o， AC=BC ，D 为 BC 的中点， CE AD 于 E，交 AB 于 F，连接 DF 求证： ADC= BDF H，它们 2如图， ABC 中， AB=AC ，过点 A 作 GEBC，角平分线 BD、CF 相交于点 的延长线分别交 GE 于点 E、G试在图 10 中找出 3 对全等三角形， 并对其中一对全等三角 形给出证明 四. 借助角平分线造全等 说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明

5、三角形全等，然后根 据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等 练习： 1 已知： ABC 中， BD=CD ，12求证： AD 平分 BAC 2.如图 22， AB CD ，E为AD 上一点，且 BE、CE分 别平分 ABC 、 BCD 求证： AE=ED 以角的平分线为对称轴构造对称图形 A AB 上截取 AE=AC ，连接 DE ， 例： 如图，在 ABC 中， AD 平分 BAC ， C=2 B求证： 分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在 我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段 AB 分成 AE 和 BE 两段，只需证明 BE=CD 就可以了

6、延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线 例： 如图，在 ABC 中， AD 平分 BAC ，CE AD 于 E 求证： ACE= B+ ECD 分析：注意到 AD 平分 BAC ， CE AD ，于是可延长 CE 交 AB 于点 F，即可构造全等三 角形 利用角的平分线构造等腰三角形 如图，在 ABC 中， AD 平分 BAC ，过点 D 作 DE AB ，DE 交 AC 于点 E易证 AED 是等腰三角形因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形 例： 如图，在 ABC 中， AB=AC ， BD 平分 ABC ，DE BD 于 D，交 BC 于点 E 1 求证

7、： CD= BE 2 全等三角形作辅助线课后练习 1在 ABC 中， BAC=60 o， C=40o， AP 平分 BAC 交 BC 于 P，BQ 平分 ABC 交 AC 于 Q 求证： AB+BP=BQ+AQ 2如图，在 ABC 中， AD 平分 BAC ， AB=AC+CD 求证： C=2 B 3已知， E 为 ABC 的 A 的平分线 AD 上一点， AB AC 求证： AB-ACEB-EC 4如图，在四边形 ABCD 中， BC BA， AD=CD ，BD 平分 ABC 求证： A+ C=180o 5如图所示，已知 AD BC， 1=2， 3= 4，直线 DC 过点 E 作交 AD 于

8、点 D ，交 BC 于点 C 求证： AD+BC=AB 6已知，如图， ABC 中， ABC=90 o， AB=BC ，AE 是A 的平分线， CDAE 于 D求证： 7 ABC 中， AB=AC ， A=100 o， BD 是 B 的平分线求证： AD+BD=BC CD= A 2 8如图， ABC 中， AD 平分 BAC ，AD 交 BC 于点 D， 求证： AB=AC 且 D是 BC 的中点 ED 9已知：如图， ABC 中，AD 是 BAC 的平分线， E 是 BC 的中点， EF AD ，交 AB 于 M ， 交 CA 的延长线于 F求证： BM=CF 10. 如图，已知在 ABC中， B=60， ABC的角平分线 AD,CE 相交 于点 O，求证： OE=OD 11. 如图， ABC中，AD平分 BAC，DG BC且平分 BC，DEAB于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、BE的长. F 中考应用 如图， OP是 MON的平分线， 请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三 角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图，在 ABC 中， ACB是直角， B=60， AD 、