因式分解知识点归纳[精选.]

1、因式分解 知识点回顾 1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫 做因式分解。 因式分解和整式乘法互为逆运算 2、常用的因式分解方法： (1)提取公因式法: ma mb mc m(a b c) (2)运用公式法： 平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)； 完全平方公式： a2 2ab b2 (a b) (3)十字相乘法： 2 x (a b)x ab (x a)(x b) 因式分解的一般步骤： (1) 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； (2) 提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘 法; (3) 对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用

2、求根 公式法。 (4) 最后考虑用分组分解法 5、同底数幂的乘法法则：amgan am n( m,n都是正整数) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单 项式。 如：(a b)2ga b)3 (a b)5 6、幂的乘方法则：(am)n amn ( m,n都是正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：(35 )2 310 幂的乘方法则可以逆用：即amn (am)n (an)m 如：46 (42)3 (43)2 7、 积的乘方法则：(ab)n anbn( n是正整数) 积的乘方，等于各因数乘方的积。 32、553、52、5515 10 5 如：(2x y z) =( 2) ?

3、(x ) ?(y ) ?z 32x y z 8同底数幂的除法法则：am an amn( a 0,m,n都是正整数，且m n) 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：(ab)4 (ab) (ab)3 a3b3 9、零指数和负指数; a0 1，即任何不等于零的数的零次方等于1 0,p是正整数)，即一个不等于零的数的 p次方等于这个数 的P次方的倒数 如: 23(2)3 10、单项式的乘法法则: 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字 母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，贝y连同它的指数作为 积的一个因式。 注意: 积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用

4、同底数幂的乘法法则。 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 如：2x2y3z?3xy 11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得 的积相加， 即 m(a b c) ma mb mc(m,a,b,c者E是单项式 ) 、卜I亠、卜: 注意: 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 如：2x(2x 3y) 3y(x y) 12、多项式与多项式相乘的

5、法则; 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项， 再把所的的积相加。 如.(3a 2b)(a 3b) :(x 5)(x 6) 三、知识点分析： 1. 同底数幕、幕的运算: （m，n都是正整数）. （）（m， n都是正整数）. 例题1.若2a 64，则 ；若 27 3n ( 3)8，则 例题2.若52 125，求(x 2)2009 x 的值。 2y 3 n 2y x 2 练习 1若 a2n 3，则 a6n=. 2. 设481,且9271,则等于 2. 积的乘方 ()(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得 的幂相乘. 例题1.计算： n m 3 P

6、 m n n p 4 m 3.乘法公式 平方差公式：a b a 2 2 b a b 完全平方和公式： a b 2 a2 2ab b2 完全平方差公式： a b 2 a2 2ab b2 例题1.利用平方差公式计算：2009X 2007- 20082 例题2.利用平方差公式计算：2-2007. 200722008 2006 3. ( a 2b+ 3c d) (a+ 2b- 3c d) 考点一、因式分解的概念 因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因 式分解。 因式分解和整式乘法互为逆运算 1、 下列从左到右是因式分解的是() A. x() B. x2-1 2=(1)(1) 2

7、C. x 2-仁(1)(1)D.() 2、 若4a2 kab 9b2可以因式分解为(2a 3b)2，贝卩k的值为 3、已知a为正整数，试判断a2 a是奇数还是偶数？ 4、已知关于X的二次三项式x2 mx n有一个因式(x 5)，且17,试求m, n的值 考点二提取公因式法 提取公因式法：ma mb mc m(a b c) 公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项 的公因式 找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数2、字母是相同字 母 3、字母的次数-相同字母的最低次数 习题 1、将多项式20a3b2 12a2bc分解因式，应提取的公因式是() A、B 、4a2b C、

8、4ab D、4a2bc 2、已知(19x 31)(13x 17) (13x 17)(11x 23)可因式分解为(ax b)(8x c)，其中 a， b，c均为整数，则等于() A -12 、-32 、38 D 、72 3、分解因式 (1) 6a(a b) 4b(a b) (2) 3a(x y) 6b(y x) (3) xn (4) ( 3)2011 ( 3)2010 4、先分解因式，在计算求值 (1) (2x 1)2 *(3x 2) (2x 1)(3x 2)2 x(1 2x)(3x 2) 其中1.5 6、若ab2 1 0，用因式分解法求ab(a2b5 ab3 b)的值 7、已知 a, b, C

9、 满足 ab abbcbccaca3，求(a 1)(b 1)(c 1)的值。 (a, b, c都是正整数) 考点三、用乘法公式分解因式 平方差公式 a2 b2 (a b)(a b) 运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两 项的符号相反 习题 1、下列各式中， 能用平方差公式分解因式的是( ) A x2 4y2B 2 2 2 2 、x 2y 1 C、x4yD、 x2 4y2 2、分解下列因式 (1)3x2 12 2 (2)(x 2)( x 4) x 4 22 (3) (x y) (x y) (4) x3 xy2 2 (5) (a b) 1 (6) 9(a b)230(a2

10、 b2) 25(a b)2 (7)2009 2011 20102 1 3、若n为正整数，则(2n 1)2 (2n 1)2一定能被8整除 完全平方式a2 2ab b2 (a b)2 运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首 尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正 负均可。 习题 1、在多项式x2 2xy y2x2 2xy y2x2 xy+y24x2 1+4x中，能用 完全平方公式分解因式的有（ (4) 2 2 (2x 3) (x 3) 2 (5) 8x y 8xy 2y (6) (x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y 4 2 2 (7) 4x

11、 129y 463 A、 B 、 C 、 D 、 2、 下列因式分解中， 正确的有（ ) 4a a3b2a(4 a2b2 ) x2y 2xy xy xy(x 2) a ab ac a(a b c) 2 9abc 6a b 3abc(3 2a) |x2y |xy2| 333 xy(x y) A 0个 B 、1 个 C 、 2个 D 、 5个 3、 如果x2 2(m 3)x 16是一个完全平方式，那么 m应为（） A -5 B 、 3 C 、7 D 、7 或-1 4、 分解因式 (1) mx2 4mx : 2m (2) 2a2-4a2 x3 2x2 x 5、已知 a b 2 x px q x a

12、b x ab x a x b 例题讲解1、分解因式：x2 5x 6 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于 6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，从中可以发现只有 2X 3 AV的分解适合，即 2+3=5 1 2 解：x2 5x 6 = x2(2 3)x 2 313 =(x 2)(x 3)1X 2+1 X 3=5 , ab 2，求 2a3b a2b2 1ab3 6、证明代数式x2 y2 10 x 8y 45的值总是正数 7、已知a, b, C分别是ABC的三边长，试比较(a2 b2 c2)2与4a2b2的大小 考点四、十字相乘法 2 (1)

13、二次项系数为1的二次三项式X px q中，如果能把常数项q分解 成两个因式a、b的积，并且a b等于一次项系数p的值，那么它 就可以 2 把二次三项式x px q分解成 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因 数的代数和要等于一次项的系数。 例题讲解2、分解因式：x2 7x 6 (4) x2 x 2(5) y2 2y 15 x210 x 24 2、二次项系数不为 条件：（1） a时2 （2） c c1c2 1的二次三项式ax2 bx c a1 a2 C1 C2 解：原式=x2 ( 1) ( 6)x ( 1)( 6)1_.-1 =(x 1)( x 6) 1 -6 （-1）

14、+（ -6） =-7 练习 分解因式（1） x2 14x 24 (2)a2 15a 36 (3)x2 4x 5 (3)b aC2 a2&b aC2 a2G 分解结果： ax2 bx c = (a1x c1)(a2x c2) 例题讲解1、分解因式：3x2 11x 10 分析：1 3-5 (-6)+ (-5)= -11 解：3x211x 10 =(x 2)(3x 5) 7x 2 分解因式：(1)5x2 7x 6( 2)3x2 (3) 10 x2 17x 3 (4)6y2 11y 10 3、二次项系数为1的多项式 例题讲解、分解因式：a2 8ab 128b2 分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a

15、的二次三项式，利用十字相 乘法进行分解。 18 b ； X . 1- 16b 8(- 16b)= -8b 解：a2 8ab 128b2 a2 8b ( 16b)a 8b ( 16b) (a 8b)(a 16b) 分解因式(1) x2 3xy 2y2 m2 6mn 8n2(3) a2 ab 6b2 4、二次项系数不为1的多项式 例题讲解2x2 7xy 6y2 1孜 2-3y.,_1 (-3y)+(-4y)= (-1)+(-2)= -3 解：原式=(x 2y)(2x 3y) 2 2 x y 3xy 2 把xy看作一个整体1 -2 -1 -7y 解：原式=(xy 1)(xy 2) 分解因式：(1)

16、15x2 7xy 4y2 (2) a2x2 6ax 8 考点五、因式分解的应用 1、分解下列因式 (2)x3y2 4x (1) 3x2 3 (3) x3 6x2 27x (4) a2 b2 2b 1 2、计算下列各题 (1)(4a2 4a 1) (2a 1) (2) (a2 b2 c2 2ab) (a b c) (2) (2x 3)2(2x 3) 3、解方程 (1 ) 16(x 1)225(x 2)2 4、如果实数a b，且，器 :1那么的值等于 5、 1 22 1 2 32 42 52 62 20092 201022011220122 2009 201020112012 6、若多项式x2 ax 12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符 合条件的整数a的值 （写出 3个） 7、先变形再求值 （1）已知2x y丄， xy 4， 求2x4y3 x3y4的值 16 （2）已知 3x2 8x 2 0，求 12x2 32x 的值 8已知a、b、c为三角形三边，且满足a2220，试说明该三角形是等边 三角形 9、两个正整数的平方差等于195，求出这两个正整数 10、阅读下列因式分解的过程，回答问题 1 x x(x 1) x(x 1)2 (1 x)1 x x(x