第十二章-全等三角形-小结与复习[教学校园]

1、小结与复习 第十二章 全等三角形 1 能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重 合的两个三角形叫全等三角形. 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对 应顶点， 重合的角叫做对应角.重合的边叫做对应边， 要点梳理要点梳理 一、全等三角形的性质 2 B C EF 其中点A和 ，点B和 ，点C和_ _是对应顶点. AB和 ，BC和 ，AC和 是对应边. A和 ，B和 ， C和 是对应角. A D 点D点E点F DEEFDF D E F 3 A BC D EF 性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 如图：ABCDEF， AB=DE，BC=EF，AC=DF （ ）， A=D，B=E，

2、C=F （ ）. 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 应用格式： 4 1.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“ 边边边”或“SSS”）.A BC D EF 在ABC和 DEF中， ABC DEF.（SSS） AB=DE， BC=EF， CA=FD， 用符号语言表达为： 二、三角形全等的判定方法 5 用符号语言表达为： 在ABC与DEF中 ABCDEF.（SAS） 2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全 等 (可以简写成“边角边”或“SAS”). F E D C B A AC=DF， C=F， BC=EF， 6 A=D ，（已知 ） AB=DE，（已知 ） B=E，（已知

3、） 在ABC和DEF中， ABCDEF.（ASA） 3.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形 全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）. 用符号语言表达为： F E D C B A 7 4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三 角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）. 8 5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”. A B C D E F 注意：对应相等. “HL”仅适用直角三角形, 书写格式应为: 在Rt ABC 和Rt DEF中， AB =DE， AC=DF， RtABCRtDEF (HL) 9 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论

4、 P C P C OP平分AOB PDOA于D PEOB于E PD=PEOP平分AOB PD=PE PDOA于D PEOB于E 角的平分线的判定 三、 角平分线的性质与判定 10 考点一 全等三角形的性质 考点讲练考点讲练 例1 如图，已知ACEDBFCE=BF，AE=DF， AD=8，BC=2 （1）求AC的长度； （2）试说明CEBF 解：（1）ACEDBF， AC=BD，则AB=DC， BC=2，2AB+2=8， AB=3，AC=3+2=5； （2）ACEDBF， ECA=FBD， CEBF 11 两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分 别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应 角

5、.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有 公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共 角一定是对应角. 方法总结 12 1.如图所示，ABDACD，BAC=90 （1）求B； （2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由 针对训练 解：（1）ABDACD， B=C， 又BAC=90， B=C=45； （2）ADBC 理由：ABDACD， BDA=CDA， BDA+CDA=180， BDA=CDA=90， ADBC 13 例2 已知，ABCDCB，ACB DBC， 求证：ABCDCB ABCDCB(已知）， BCCB（公共边）， ACBDBC（已知）， 证明： 在ABC和DCB中， ABC

6、DCB（ASA ）. B C AD 【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角 形全等”进行判定 考点二 全等三角形的判定 14 2.已知ABC和DEF,下列条件中,不能保证ABC 和DEF全等的是( ) A.AB=DE,AC=DF,BC=EF B. A= D, B= E,AC=DF C.AB=DE,AC=DF, A= D D.AB=DE,BC=EF, C= F D 针对训练 15 3.如图所示，AB与CD相交于点O, A=B， OA=OB 添加条件 ， 所以 AOCBOD 理由是 . A O D C B C=D或AOC=BOD AAS或ASA 16 考点三 全等三角形的性质与判定的综合应

7、用 例3 如图，在ABC中，AD平分BAC,CEAD于点 G,交AB于点E,EFBC交AC于点F, 求证：DEC=FEC. A BCD F E G 【分析】欲证DEC=FEC 由平行线的性质转化为证明 DEC=DCE 只需要证明DEG DCG. 17 A BCD F E G 证明： CEAD, AGE=AGC=90 . 在AGE和AGC中， AGE=AGC， AG=AG， EAG=CAG， AGE AGC(ASA)， GE =GC. AD平分BAC, EAG=CAG，. 18 A BCD F E G 在DGE和DGC中， EG=CG， EGD= CGD=90 ， DG=DG. DGE DGC(

8、SAS). DEG = DCG. EF/BC, FEC= ECD， DEG = FEC. 19 利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角 所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时 会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角， 补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅 助线. 方法总结 20 4.如图，OBAB,OCAC,垂足为B,C,OB=OC， BAO =CAO吗？为什么？ O C B A 解： BAO=CAO， 理由： OBAB,OCAC， B=C=90. 在RtABO和RtACO中， OB=OC，AO=AO， RtABORtACO ，（HL） BAO=CAO. 针对训练

9、21 考点四 利用全等三角形解决实际问题 例4 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆 上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上 的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ A BCD 【分析】将本题中的实际问题转 化为数学问题就是证明BD=CD.由 已知条件可知AB=AC，ADBC. 22 A BC D 解：相等，理由如下： ADBC， ADB=ADC=90. 在RtADB和RtADC中， AD=AD， AB=AC， RtADB RtADC(HL). BD=CD. 23 利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长 度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤： （1）先明确实际问题；

10、（2）根据实际抽象出几何图形； （3）经过分析，找出证明途径； （4）书写证明过程. 方法总结 24 针对训练 5.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状， A、B间的距离不能直接测得你能用已学过的知识 或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？ 25 解：要测量A、B间的距离，可用如下方法： 过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D， 使CD=BC， 再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直 线上， ACB=ECD，CB=CD， ABC=EDC， EDCABC（ASA） DE=BA 答：测出DE的长就是A、B之间的距离 C D E 26 考点五 角平分线的性质与判定 例5 如图,1

11、=2,点P为BN上的一点，PCB+ BAP=180 ， 求证:PA=PC. B A C N ) ) 12 P【分析】由角平分线的性质易想到 过点P向ABC的两边作垂线段PE、 PF，构造角平分线的基本图形. E F 27 【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F. B A C N ) ) 12 P E F 1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F. PE=PF, PEA=PFC=90 . PCB+ BAP=180 ,又BAP+EAP=180 . EAP=PCB. 在APE和CPF中， PEA=PFC=90 ， EAP=FCP， PE=PF， APE CPF(AAS)， AP=C

12、P. 28 【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴 是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称 图形.方法是在BC上截取BD=AB,连接PD（如 图）.则有PABPDB,再证PDC是等腰三角 形即可获证. A C N ) ) 12 P B 证明过程请同学们自行完成！ D 【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用 方法.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两 种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一 种是构造轴对称图形. 29 6.如图,1=2,点P为BN上的一点， PA=PC ，求 证:PCB+ BAP=180 . B A C N ) ) 12 P E F 【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F. 1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F. PE=PF, PEA=PFC=90 . PA=PC， PE=PF， 在RtAPE和RtCPF中， RtPAE RtPCF(HL). 针对训练 30 EAP= FCP. BAP+EAP=180 ， PCB+ BAP=180 . 想一想：本题如果不给图，条件不变，请问 PCB与PAB有怎样的数量关系呢？ B