2019年福建省厦门市高考数学一模试卷(理科)

1、2019 年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.已知复数 z满足（ z+1） i=3+2i ，则 |z|=（）A.2B.C. 5D. 102.1，则 a=（）若抛物线 x =ay 的焦点到准线的距离为A.2B. 4C. 2D. 43.已知集合 A= x|x2-4x+3 0 ，B= x|x-a0 ，若 B? A，则实数 a 的取值范围为 （）A. （ 3， +）B. 3， +）C. （ -， 1）D. （ -， 14.若 x，y 满足约束条件，则 z=x+2y 的最小值为（）A. -6B. 0C. 1D. 25.在梯形A

2、BCD中，AB CDAB=4，BC=CD =DA=2，若E为BC的中点，则= ，（）A.B. 3C. 2D. 126. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7.已知 a b 0，x=a+beb， y=b+aea，z=b+aeb，则（）A. x z yB. z xyC. zy xD. y z x8.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， 2Sn=an+1an，则 S20=（）A. 410B. 400C. 210D. 2009. 易经是中国传统文化中的精髓 如图是易经八卦图 （含乾、坤、巽、震、

3、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（）A.B.C.D.第1页，共 19页10. 已知函数f x =g x=f x）-ax+agx1个零点，则（ ）， （ ）（，若（ ）恰有a 的取值范围是（）A. -1 ， 01， +）B. （ -， -10， 1C.-1，1D. （， ，）-1 1+11. 已知函数 f（x）=sin（ 2x- ），若方程 f（ x）= 在（ 0，）的解为 x1，x2（ x1 x2），则 sin（ x1-x2） =（）A. -B.C.D.12.已知双曲线C=1a0b0

4、F，点AB是C的一条渐近：（ ， ）的一个焦点为，线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于 M，N 两点，若|MN |=2， ABF 的面积为8，则 C 的渐近线方程为（）A. y=B. y=C. y=2xD. y=二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.在等比数列 an2357，则 an=_ 中， a =1， a a =2a14.（ 1+ ）（ 1-2x） 5 的展开式中 x2 的系数为 _x -x15. 已知函数 f（ x）=e -e -1，则关于 x 的不等式 f（ 2x）+f（ x+1） -2 的解集为 _16. 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1

5、的所有棱长为 2，点 M，N 分别在侧面 ABB1A1 和 ACC1A1 内， BC1 与 B1C 交于点 P，则 MNP 周长的最小值为 _三、解答题（本大题共 7小题，共 82.0 分）17. 在平面四边形ABCDABC=ADC =，BC=2中， ， （ 1）若 ABC 的面积为，求 AC；（ 2）若 AD =2 ， ACB=ACD+ ，求 tanACD 18.如图，在四棱锥P-ABCD 中， BCCD ， AD =CD ， PA=3，ABC 和 PBC 均为边长为2的等边三角形（ 1）求证：平面 PBC平面 ABCD ；（ 2）求二面角 C-PB-D 的余弦值第2页，共 19页19.某公

6、司生产一种产品，从流水线上随机抽取100 件产品， 统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的质量指数在50，70）的为三等品，在70， 90）的为二等品，在90，110 的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5， 3.5， 5.5（单位：元）以这 100 件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率（ 1）求每件产品的平均销售利润；（ 2）该公司为了解年营销费用 x（单位：万元）对年销售量 y（单位：万件）的影响，对近 5 年的年营销费用 xi 和年销售量 yi（ i=1，2， 3， 4，5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图 2）及一些

7、统计量的值uivi（ui）（ vi -）（ ui） 216.3024.870.411.64表中 ui=ln xi， vi=ln yi，=ui，=vi根据散点图判断，y=a?xb 可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程（ i）建立 y 关于 x 的回归方程；（ ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费， 才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益 =销售利润 -营销费用，取 e4.159=64）参考公式： 对于一组数据 （u1，v1 ），（u2 ，v2）， ，（un，vn），其回归直线 v= +u的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=-20.已知 O 为坐标原点， F 为

8、椭圆 C：=1 的上焦点， C 上一点 A 在 x 轴上方，且|OA|=第3页，共 19页（ 1）求直线 AF 的方程；（ 2）B 为直线 AF 与 C 异于 A 的交点， C 的弦 MN ，AB 的中点分别为 P，Q，若 O，P，Q 在同一直线上，求OMN 面积的最大值21. 已知函数 f（ x） =（x+a） ln（ x+1） -ax（ 1）若 a=2，求 f（ x）的单调区间；（ 2）若 a-2，-1 x 0，求证： f（ x） 2x（ 1-e-x）22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极

9、坐标方程为 =（ 1）求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程；（ 2）若 C 上恰有 2 个点到 l 的距离等于，求 l 的斜率23. 已知函数 f（ x） =|x+2|+|x-4|（ 1）求不等式 f （x） 3x的解集；（ 2）若 f（ x） k|x-1|对任意 xR 恒成立，求 k 的取值范围第4页，共 19页答案和解析1.【答案】 B【解析】解：由（z+1）i=3+2i ，得z+1=，则 z=1-3i，|z|=故选：B把已知等式 变形，利用复数代数形式的乘除运算化 简，再由复数模的计算公式求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复数模的求法，是基 础题2.【答案】 C【解析】2解：

10、x =ay=2?y，p=|=1，a=2，根据抛物 线的几何性 质可得本题考查了抛物线的性质，属基础题3.【答案】 D【解析】解：集合A=x|x 3 或 x1 ，集合 B=x|x a ，由 B? A ，可得 a1，故选：D由一元一次不等式和一元二次不等式解出集合A ，B，根据B? A ，可得参数 a的取值范围本题考查集合间的关系以及一元二次不等式的解法，属于基础题4.【答案】 C【解析】解：画出x，y 满足约束条件表示的平面区域，如图所示；第5页，共化目标函数为 y=-x+z，由图可知，当直线 y=-x+z 过点 B 时，直线在 y 轴上的截距最小，由，解得 A （3，-1）；z 的最小值为 3

11、-2 1=1故选：C画出约束条件表示的平面区域，利用目 标函数找出最 优解，即可求出目标函数的最小 值本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题5.【答案】 D【解析】解：依题意，梯形 ABCD 为等腰梯形，过 C，D 分别做 AB 的垂线，交AB于F，G则 CD=FG=2 ，AF=BG=1又三角形 ADF 为直角三角形， AD=2 ，AF=1由勾股定理得 DF=以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立如图坐标系则 A（0，0），B（4，0），C（3， ）E（，）=（3，），=（，）= =12故选：D通过对梯形的分析，得到梯形的高，进而建立坐 标系，通过数量积的坐标运算得到结果第6页

12、，共 19页本题考查了向量的数量 积运算、向量的坐标运算，中点坐标公式等知 识，属于基础题6.【答案】 B【解析】解：根据三视图知，该几何体是 圆锥体的一部分，如图所示；则底面圆的半径为OA=2圆心角为AOB=为OP=3；，高所以该锥体的体积为：V=?22?3=故选：B根据三 视图知该几何体是 圆锥体的一部分，结合图中数据求得 该锥体的体 积本题考查了利用三 视图求几何体体 积的应用问题，是基础题7.【答案】 A【解析】解：解法一：由题意，令 a=2，b=1，则 x=2+e，y=1+2e2，z=1+2e；显然有 1+2e21+2e2+e，即 xzy解法二：ab 0 时，eaeb，aeaaebb

13、eb，b+aeab+aeba+beb，xzy故选：A解法一：用特殊值代入法，判断 x、y 与 z 的大小顺序；解法二：根据不等式的性 质和指数函数的 单调性判断 x、y 与 z 的大小 顺序本题考查了函数值大小比较问题，是基础题8.【答案】 C【解析】【分析】首先利用 递推关系式求出数列的通 项公式，进一步利用等差数列的前n 项和第7页，共 19页公式的应用求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及 应用，等差数列的前 n 项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型【解答】解：数列a n 的前 n 项和为 Sn，且a1=1，2Sn=an+1an ，当 n=1 时，

14、解得：a2=2，当 n2时 ，2Sn-1=an?an-1 - 得：an+1-an-1=2，当 n 为奇数时，数列a n 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，故：an=2n-1，当 n 为偶数时，数列a n 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，故：an=2n，所以当 n 为正整数时：an=n则：故选：C9.【答案】 D【解析】解：从八卦中任取两卦，基本事件 总数 n=28，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线包含的基本事件有 10别为：种，分兑兑兑（乾，坤），（，艮），（，震），（，坎），（巽，艮），（巽、震），（巽、坎），（离，艮），（离、震），（离、坎），这线中恰有三根阳线和三根阴

15、线的概率为P= 两卦的六根故选：D从八卦中任取两卦，基本事件 总数 n=28，利用列举法求出这两卦的六根线中恰有三根阳 线和三根阴 线包含的基本事件有10 种，由此能求出这两卦的第8页，共 19页六根线中恰有三根阳 线和三根阴 线的概率本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题10.【答案】 A【解析】解：由g（x）=f（x）-ax+a=0 得 f（x ）=a（x-1），f（1）=1-3+2=0，g（1）=f（1）-a+a=0，即x=1 是 g（x ）的一个零点，若 g（x）恰有1 个零点，则当 x1时，函数 f（x）=a（x-1），没有其他根，即 a=，没有根，当

16、 x1时 设h（x）=，=x-2，此时函数 h（x）为增函数，则时h（x）-1，h（1）-1，即此当 x1 时，h（x）=，h（x）=0，此时 h（x）为减函数，此时 h（x）0，且h（1）1，即 0h（x）1，作出函数 h（x）的图象如图：则要使 a=，没有根，则 a1或 -1a0，即实数 a的取值范围是-1 ，01，+），故选：A根据条件先判断x=1 是函数 g（x）的一个零点，等价于当 x1时，函数 f（x）=a（x-1），没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可本题主要考查函数与方程的 应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度第9页，共 1

17、9页11.【答案】 A【解析】解：0x，（-，），又 x1，x2 是 sin（2x-）=的两根，可知，sin（x1-x 2）=sin（）=-cos（），x1 x2，0x1则（- ， ），故cos（）=，sin（x1-x=2）故选：A由已知可得，结合 x1x2 求得 x1 的范围，再由 sin（x1-x2）=sin（）=-cos（）求解本题考查三角函数的恒等变换及化简求值查图，考y=Asin （x+）型函数的象和性质题，是中档 12.【答案】 B【解析】解：设双曲线的另一个焦点为 F，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF 是矩形，SABF =SABF ，即 bc=8，由，可得y=，则 |MN|=

18、 =2，即b2=c，b=2，c=4，第10 页，共 19页a=2 ，C 的渐近线方程为 y= x ，故选：B设双曲线的另一个焦点 为 F，由双曲线的对称性，可得四边形 AFBF 是矩形，可得 SABF =SABF ，即 bc=8，再根据|MN|=2，可得 b2=c，即可求出本题考查了双曲线的简单性质，三角形的面积，双曲线的渐近线方程，属于中档题13.【答案】【解析】解：设等比数列 a n 的公比为 q，a2=1，a3a5=2a7，a1q=1，q6=2，a1=2，q=则 an=故答案为：利用通项公式即可得出本题考查了等比数列的通 项公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题14.【答案】 -4

19、0【解析】解：（1+52345），1-2x）?（1-10x+40x -80x +80x -32x）（=（1+故展开式中 x2 的系数为 40-80=-40，故答案为：-40把（1-2x5）（1-2x52的系数）按照二项式定理展开，可得（1+）的展开式中 x本题主要考查二项式定理的 应用，二项展开式的通 项公式，二项式系数的性质，属于基础题第11 页，共 19页15.【答案】 （）【解析】解：令g（x）=ex-e-x，g（x）=ex+e-x 0，g（x）在R 递增，故 f（2x）+f（x+1）-2，即 g（2x）-1+g（x+1）-1 -2，故 g（2x）-g（x+1）=g（-x-1），故 2x

20、 -x-1，解得：x -，故答案为：（- ，+）根据函数的 单调性，去掉对应法则得到关于 x 的不等式，解出即可本题考查了函数的 单调性问题，考查转化思想，是一道常规题16.【答案】 3【解析】解，如图为正三棱柱的俯 视图关于侧面 AA 1B1B 和侧面 AA 1C1C 的对称点分别为 P1，P2，连接 P1P2，则当 M ，N，P1，P2 共线时， MNP 周长最小由于在正三棱柱 ABC-A 1B1C1中，点 P是 BC1 和 B1CD 交点，所以 P 是侧面BB1C1C 的中心，故当MNP 周长最小时 M ，N 分别为侧面 AA 1B1B 和侧面 AA 1C1C 的中心MN=MP=NP=1

21、MNP 周长的最小值为：1+1+1=3故填：3利用点 P 关于两侧面的对称点，将三角形周长的问题，转化到同一直 线上，可得本题难点在于如何将三角形周 长转化到同一直 线上，看做两点之间，线段最短的问题，属于中档题第12 页，共 19页17.【答案】 解：（ 1） ABC 中， ABC= ， BC=2，SABC=AB=3222ABC 中，由余弦定理可得，AC =AB +BC -2AB?BCcosABC=9=7AC=；（ 2）设 ACD=，则 ACB=RtACD 中， AD =2，AC=ABC 中， BAC=-ACB-ABC =由正弦定理可得，2sin（） =sin 化简可得， 2sin = co

22、stan =，tanACD=【解析】1）由已知结合三角形的面 积公式 S=可求 AB ，在（ABCABC 中，再由余弦定理，AC 2=AB 2+BC2-2AB?BCcosABC 可求 AC ；（2）设 ACD= ，则可表示 ACB，ABC 中，由正弦定理可得，可求 tan ，即可求解本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式等知 识的综合应用，还考查了转化的能力，试题具有一定的 综合性18.【答案】 证明：（ 1）取 BC 的中点 O，连结OP， OA，ABC，PBC 均为边长为2的等边三角形，AO BC， OPBC，且 OA=OP=3，222AP=3， OP +OA =AP ， OP

23、OA，第13 页，共 19页OABC=O， OA? 平面 ABCD ， BC? 平面 ABCD ，OP 平面 ABCD 解：（ 2） BC CD ，ABC 为等边三角形，ACD= ， AD =CD ， ，在 ADC 中，由正弦定理得=， CD =2，以 O 为坐标原点， OA， OB， OP 所在直线分别为 x， y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 P（0， 0， 3）， B（0， ， 0）， D （ 2， - ， 0），=（0， -， 3），=（ 2， -2， 0），设平面 PBD 的法向量=（ x， y， z），则，取 z=1 ，得=（ 3，1），依题意，平面 PBC 的一个法向量=（ 1

24、， 0， 0），cos=二面角 C-PB-D 的余弦值为【解析】（1）取BC 的中点 O，连结 OP，OA，推导出 AOBC，OPBC，OPOA ，由此能证明 OP平面 ABCD （2）以O 为坐标原点，OA，OB，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-PB-D 的余弦值 本题考查线面垂直的 证明，考查二面角的余弦 值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，是中档 题19.【答案】 解：（ 1）设每件产品的销售利润为元，则 的所有可能的取值是1.5，3.5， 5.5，由直方图可得，一，二，三等品的频率分别是：0

25、.4， 0.45， 0.15，故 P（-1.5） =0.15 ，P（ -3.5）=0.45 ， P（ -5.5） =0.4，故随机变量 的分布列为：1.53.55.5P0.150.450.4故 E（） =1.5 0.15+3.5 0.45+5.5 0.4=4，故每件产品的平均销售利润为4 元；（ 2）（ i ）由 y=a?xb 得： lny=ln （ a?xb） =ln a+blnx，第14 页，共 19页令 u=ln x， v=ln y， c=lna，则 v=c+bu，由表中数据得：=0.25，则=-=-0.25 =4.159，故=4.159+0.25 u，即 ln=4.159+0.25ln

26、 x=ln （ e4.159?），e4.159=64 ，故=64，故所求回归方程是：y=64；（ ii ）设年收益为z 万元，则z=（F ）?y-x=256-x，设 t=4，则f（ t） =256-4t44， f（t ） =256t-t=4 （ 64-t），当 t（ 0， 4）时， f（ t） 0， f（t）在（ 0， 4）递增，当 t（ 4， +）时， f（ t） 0， f（ t）在（ 4， +）递减，故 t=4 即 x=256 时， z 的最大值是768，故该厂应投入 256 万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大值768 万元【解析】（1）分别求出一，二，三等品的频率，求出分布列及其

27、数学期望即可；（2）（i）求出相关系数，求出回归方程即可；（ii）设年收益为 z 万元，求出 z，设t= ，f（t）=256t-t4，求出函数的导数，根据函数的单调性求出 z 的最大值即可本题考查了分布列 问题，考查转化思想以及函数的 单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题20.【答案】 解：（ 1）设 A（ x0， y0），（ y00），|OA |=，22x0 +y0 =5，点 A 在椭圆上， + =1，由解得，或，点 A 的坐标为（，），或（ -，），F（0，），直线 AF 的方程为y=- x+或 y= x+第15 页，共 19页（ 2）当 A 在第一象限时，直线AF

28、： y= x+，设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），则，两式相减得（ x1+x2）（ x1-x2 ）+ （y1+y2）（ y1 -y2） =0 ，MN 不过原点， ?=-，kMN ?kOP=- ，同理可得kAB?kOQ=- ，O，P， Q 在同一直线上，kOP=kOQ，kMN =kAB=-设直线 MN 的方程为y=- x+m，由，消 y22可得得 5x -2mx+2m -18=0，则 =（ 2m） 2-4 5（ 2m2 -18） 0 得 m2 10，则 x1+x2=， x1x2=，|MN |=?=?，O 到 MN 的距离 d=|m|，SOMN =|MN |d=? |m|= ?=3

29、当且仅当10-m2=m2，即 m2=5 时，得 m= ，OAB 面积取得最大值 3，OMN 面积的最大值为3，当点 A 在第二象限时，由对称性可得，OMN 面积的最大值为3综上 OMN 面积的最大值为3【解析】1）根据x 22+ =1， ，求出点 A 的坐标，即可求出直线AF（0 +y0=5，的方程（2）当A 在第一象限时线，根据点差可得 kMN ?kOP=-，直 AF ：y= x+同理可得 kAB ?kOQ=-，可得 kMN =kAB =-设直线 MN 的方程为 y=-x+m ，第16 页，共 19页联立方程组，得3x2+4mx+2m2-2=0，由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直

30、线距离公式、基本不等式，能求出 OMN 面积取最大值，再根据对称性可得当点A 在第二象限 时三角形的面 积本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面 积的最大值的求法，考查根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是 难题21.【答案】 解：（ 1） f（ x）的定义域是（ -1， +），a=2 时， f（ x） =（ x+2） ln（ 1+x） -2x，f （ x） =ln （ 1+ x） -，故 f（ x） =，故 f（ x）在（ -1， 0）递减，在（ 0， +）递增，故 f（ x） f（ 0） =0，故 f（ x）在（ -1，+）递增，无递减区间；（ 2）设 g（ x） =ln （ 1+x） -x，则 g（ x） =-，故 g（ x）在（ -1， 0）递增，在（ 0， +）递减，故 g（ x） g（ 0）=0，故 a-2 时， f（ x）=xln（ 1+x） +a（ ln（ 1+x） -x） xln（ 1+x） -2（ ln（ 1+x） -x），即 f（ x） （x-2） ln （1+ x） +2x，要证明 f（ x） 2x（ 1-e-x），只需证明（ x-2） ln（ 1+x） -2xe-x，由（ 1）知