2019年江苏省淮安市淮阴中学高考数学模拟试卷(4月份)

1、2019 年江苏省淮安市淮阴中学高考数学模拟试卷（ 4 月份）副标题题号一二总分得分一、填空题（本大题共14 小题，共 70.0 分）1. 设全集 U=R， A= x|-3 x1， xZ ， B= x|x2-x-20， xR ，则 A? UB=_2. 已知复数z=m2-2）+（m-1）i 对应的点位于第二象限，则实数 m 的范围为 _（3. 高三（ 1）班共有 56 人，学号依次为 1， 2，3， ， 56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为 4 的样本，已知学号为 6，34，48 的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 _4. 根据如图的算法，输出的结果是_5.已知函数 f（ x） =lo

2、g 2x， x ， 2，在区间 ， 2上随机取一点x0，使得 f（ x0） 0的概率为 _6.已知双曲线的一条渐近线为y=2x，且经过抛物线y2=4x 的焦点， 则双曲线的标准方程为 _7.给出下列等式：， 请从中归纳出第 n 个等式：=_ 8.已知角的终边过点P（ -1， -2），则 sin =9.若函数y=log 2x的图象上存在点（xy，则实数m， ），满足约束条件的最大值为 _10.正四面体 ABCD 的一个顶点 A 是圆柱 OA 的上底面的圆心，另外三个顶点BCD 在圆柱下底面的圆周上，记正四面体ABCD 的体积为 V1，圆柱 OA 的体积为 V2，则的值是 _11. 已知数列 an

3、 的前 n 项和为 Sn，a1=1 ，且满足 Sn=an+1，则数列 Sn 的前 10 项的和为_12. 有以下四个命题：（ 1）在 ABC 中， A B 的充要条件是 sinA sinB（ 2）函数 y=f（ x）在区间（ 1， 2）上存在零点的充要条件是f （1）?f（ 2） 0；第1页，共 16页（ 3）对于函数 y=f（x），若 f（ 2） =f（ -2），则f（ x）必不是奇函数；（ 4）函数 y=f（ 1-x）与 y=f（ 1+ x）的图象关于直线x=1 对称；其中正确命题的序号为 _13.已知直角坐标系中起点为坐标原点的量向量， 满足 | |=| |=1，且=， =（m，1-m）

4、， =（n， 1-n），存在， ，对于任意的实数m， n，不等式 | - |+| - | T，则实数 T 的取值范围是 _14.已知 a 0， b0， c 2 且 a+b=1，则的最小值是 _二、解答题（本大题共6 小题，共74.0 分）15.ABC中，设a b cA B CABC的面积为S在 、 分别为角、 的对边，记 ，且（ 1）求角 A 的大小；（ 2）若 c=7 ，求 a 的值16. 在边长为 6cm 的正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点， M、N 分别为 AB、 CF 的中点，现沿 AE、 AF、 EF 折叠，使 B、C、 D 三点重合，构成一个三棱锥（ 1）判

5、别 MN 与平面 AEF 的位置关系，并给出证明；（ 2）求多面体 E-AFMN 的体积17. 某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示， A， B 两点为喷泉，圆心 O 为 AB 的中点，其中 OA=OB=a 米，半径 OC=10 米，市民可位第2页，共 16页于水池边缘任意一点C 处观赏（ 1）若当 OBC= 时， sinBCO= ，求此时 a 的值；（ 2）设 y=CA2+CB2，且 CA2+CB2 232（ i）试将 y 表示为 a 的函数，并求出a 的取值范围；（ ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点C 处观赏喷泉时，观赏角度ACB 的最大值不小于，试求

6、A， B 两处喷泉间距离的最小值18. 在平面直角坐标系xoy中，椭圆C+ =1 a b 0）的右焦点为F4m 0M：（ （， ）（ 0，m 为常数） ，离心率等于0.8，过焦点 F、倾斜角为的直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两点（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）若 =90时，+=，求实数m；（ 3）试问+的值是否与的大小无关，并证明你的结论19. 已知数列 an ，其前 n 项和为 Sn，若对于任意 m， nN*，且 mn，都有（ 1）求证：数列 an 是等差数列（ 2）若数列 cn 满足，且等差数列 an 的公差为，存第3页，共 16页在正整数p， q，使得 ap+cq，求 |a1

7、 |的最小值20. 已知函数 f（ x） = ，直线 y= x 为曲线 y=f（ x）的切线（ e 为自然对数的底数）（ 1）求实数 a 的值；（ 2）用 min m， n 表示 m， n 中的最小值，设函数g（ x） =min f（x）， x- （ x0），若函数 h（ x） =g（x） -cx2 为增函数，求实数c 的取值范围第4页，共 16页答案和解析1.【答案】 0 ， 1【解析】解：A=-2 ，-1，0，1 ，B=x|x -1，或x2；?B=x|-1 x 2 ；UA?UB=0 ，1 故答案为：0 ，1 可求出集合 A ，B，然后进行交集、补集的运算即可考查描述法、列举法的定义，以及交

8、集、补集的运算2.【答案】【解析】解：复数 z=（m2-2）+（m-1）i对应的点（m2-2，m-1）位于第二象限，m2-2 0，且 m-1 0，1m ，故答案为：由复数 z=（m2-2）+（m-1）i 对应的点（m2-2，m-1）在第二象限，得m2-20，且m-1 0，从而求出 实数 m 的范围 本题考查复数与复平面内 对应点之间的关系，解不等式 m2-2 0，且 m-10是解题的关键3.【答案】 20【解析】解：从56 个学生中用系 统抽样抽取 4 个人的一个 样本，分组时要分成 4个小组，每一个小 组有 14 人，学号 为 6，34，48 的同学在 样本中，即第一个学号是 6，第二个抽取

9、的学号是6+14=20，故答案为：20从 56 个学生中用系 统抽样抽取 4 个人的一个 样本，分组时要分成 4 个小组，第5页，共 16页每一个小 组有 14 人，第一个学号是 6，第二个抽取的学号是 6+14，可以依次写出所需要的学号本题考查系统抽样方法，考查抽样过程中的分 组环节，考查分组后选出的结果有什么特点，本题是一个基 础题，若出现则是一个送分 题目4.【答案】 22【解析】解：程序是一个循环结构，步长是 3，每循环一次就加 进 i，初始 i=1，可循环 4 次，故 S=1+4+7+10=22故答案为：22先读懂程序的算法，再据算法 规则依次算出 结果可以看出这是一个 for 循环

10、结构，循环执行 4 次，依其特点求解即可本题主要考查算法语言的结构，此类题的做法通常是把 值代入，根据其运算过程求出值，属于基础题5.【答案】【解析】解：由函数的图象可知，当），时，f（x）0；当 x1 ，2 时，f（x）0f（x 0）0的概率为故答案为： 结合对数函数的性 质和概率知 识进行求解熟悉对数函数的 图象是准确解 题的关键6.【答案】【解析】解：设以直线 y=2x 为渐近线的双曲线的方程为=（0），2双曲 线经过抛物线 y =4x 焦点 F（1，0），第6页，共 16页双曲线方程为，故答案为：设以直线 y=2x 为渐近线的双曲线的方程为=（0），再由双曲线经过抛物线 y2=4x 焦

11、点 F（1，0），能求出双曲线方程本题考查双曲线方程的求法，考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用，属于中档题7.【答案】【解析】为，解：因 ：等式的右边系数是 2，角是等比数列，公比为角的余弦值满，角 足：所以=；故答案为：通过已知的三个等式，找出 规律，归纳出第 n 个等式即可本题考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解 题的关键8.【答案】【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定 义，两角和差正弦公式，属于基础题由题意利用任意角的三角函数的定 义，两角和差正弦公式，求得 sin =sin（+）- 的值【解答】解：角的终边过点 P（-1，-2），sin（+ ）=-，cos（+ ）= =

12、- ，sin =sin（+ ）-=sin（+ ）cos-cos（+ ）sin=-?-（-）?=，第7页，共 16页故答案为9.【答案】 1【解析】解：作出约束条件表示的平面区域，得到如图的三角形，再作出对数函数 y=log2x 的图象，可得该图象与直线 x+y-3=0交于点 M （2，1），当该点在区域内 时，图象上存在点（x，y）满足不等式 组，且此时 m 达到最大 值，即 m 的最大值为 1故答案为：1作出不等式 组表示的平面区域，得到如 图的三角形，观察图形可得函数y=log2x 的图象与直线 x+y-3=0 交于点（2，1），当该点在区域内 时，图象上存在点（x，y）满足不等式 组，且

13、此时 m 达到最大 值，由此即可得到 m 的最大值 本题给出二元一次不等式 组，求能使不等式成立的 m 的最大值，着重考查了二元一次不等式 组表示的平面区域和函数 图象的作法等知 识，属于中档题10.【答案】【解析】解：设正四面体的棱 长为 a，则底面积为，底面外接圆的半径为，高为正四面体的体 积，第8页，共 16页圆柱 OA 的体积则=故答案为：设正四面体的棱 长为 a，求出底面外接圆的半径与高，代入体 积公式求解本题考查多面体与旋 转体体积的求法，考查计算能力，是中档题11.【答案】 512【解析】解：数列a n 的前 n 项和为 Sn，a1=1，且满足 Sn=an+1，当 n2时 ，Sn

14、-1=an - 得：an=an+1-an，整理得：（常数），故：数列an是以a2=1为首项， 为公比的等比数列2所以：项项）（首 不符合通故：，所以：=512，故答案为：512数显求出数列的通 项公式，进一步求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及 应用，数列的前 n 项和的公式的应用，主要考察学生的运算能力和 转换能力，属于基础题型12.【答案】 （ 1）【解析】【分析】本题主要考查函数的零点存在定理和 对 称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于基 础题 由三角形的正弦定理和 边角关系可判断（1）；由零点存在定理和二次函数的图象可判断（2）；由 f（2）=f （-2）

15、=0，结合奇函数的定 义，可判断（3）；由函数图象对称的特点可第9页，共 16页判断（4）【解答】解：（1）在ABC 中，A B? ab? 2RsinA2RsinB? sinAsinB，故（1）正确；2y=f x间 1 2f x = x-21 2（）函数（）在区（， ）上存在零点，比如 （）（）在（，）存在零点，但是 f （1）?f（2）0，故（2）错误；（3）对于函数 y=f （x），若f（2）=f（-2）=0，满足 f （-2）=-f （2），则 f（x）可能为奇函数，故（3）错误；（4）函数y=f （1-x）与y=f （1+x）的图象，可令 1-x=t，即x=1-t，即有 y=f （t）

16、和y=f（2-t）的图象关于直 线 t=1 对称，即 x=0 对称，故（4）错误 故答案为（1）13.【答案】 （ -，【解析】解：|=| |=1，且= ，可设=（1，0）， =（ ， ），=（m，1-m）， =（n，1-n），可得 |- |+|- |=+，可得， 的终点均在直 线 x+y=1 上，由于 m，n 为任意实数，可得 m=1 时，| -|+| -|的最小值即为点（ ，）到直线 x+y=1 的距离 d，可得 d=，对于任意的 实数 m，n，不等式| -|+|- | T，可得 T，故答案为：（-， 由题意可设=（1，0）， =（ ，），由向量的坐标运算，以及恒成立思想可设 m=1，|-

17、|+|-|的最小值即为点（ ，）到直线 x+y=1 的距离 d，第10 页，共 16页求得 d，可得 T 不大于 d本题考查向量的模的求法，以及两点的距离的运用，考 查直线方程的运用，以及点到直 线的距离，考查运算能力，属于基础题14.【答案】 24【解析】解：=c（+）+=c?+，2因为 a+b=1，所以（a+b）=1，所以=c?+=c?+c?+=6c+=6（c-2）+122+12=24当且仅当 a=，b=，c=3 时等号成立故填：24先将前两 项利用基本不等式去掉a，b，再处理只含 c 的算式即可本题考查了基本不等式的 应用，但是由于有 3 个变量，导致该题不易找到思路，本题属中档题15.

18、，得 bcsinA=bccosA，【答案】 解：（ 1）由因为 A（ 0， ），所以 tanA=1，可得： A= （ 6 分）（ 2） ABC 中， cosB= ，所以 sinB= ，所以： sinC=sin （A+B）=sin AcosB+cosAsinB= ， .（ 10 分）由正弦定理，得=，解得 a=5， （ 14 分）（评分细则： 第一问解答中不交代“A（ 0，）”而直接得到“A= ”的， 扣（ 1 分）；第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣（1 分）【解析】（1）由三角形面积公式，平面向量数量 积的运算可得 bcsinA=bccosA，结合范围 A （0，），可求tanA=1，

19、进而可求 A 的值第11 页，共 16页（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinB=，利用两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值，由正弦定理可求得 a 的值 本题主要考查了三角形面 积公式，平面向量数量 积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和 转化思想，属于基础题16.【答案】证明：（ 1）因翻折后 B、C、D 重合（如图） ，所以 MN 应是 ABF 的一条中位线，则（ 2）解：因为? AB 面 BEF且 AB=6， BE=BF=3，VA-BEF =9，又，【解析】（1）由题意及图形的翻折 规律可知 MN 应是 ABF 的一条

20、中位 线，利用线面平行的判定定理即可求 证；2）利用条件及线面垂直的判定定理可知?AB 平面 BEF，在利用锥体的（体积公式即可此题考查了图象的翻折 规律，线面平行的判定定理， 线面垂直的判定定理及锥体的体积公式17.【答案】 解：（ 1）在 OBC 中，由正弦定理得，易得（ 2）（ i ）易知 AC2=100+ a2-20acosAOC， BC2=100+a2-20acosBOC，故 CA2+CB 2=200+2 a2，又因为 CA2+CB2 232，即 200+2a2 232，解得 0 a4，即 y=200+2 a2， a（ 0， 4；（ ii ）当观赏角度 ACB 的最大时， cosAC

21、B 取得最小值，由余弦定理可得，第12 页，共 16页即由题意可知，解此不等式得，经验证，即【解析】本题考查解三角形知 识的运用，考查余弦定理，考查学生分析解决 问题的能力，属于中档题（1）当 OBC=时，sin BCO=，由正弦定理求此时a的值；（2）（i）利用余弦定理，结合 CA 2+CB2232，即200+2a2 232，可将 y 表示为 a的函数，并求出 a 的取值范围；（ii ）当观赏角度 ACB 的最大时，cosACB 取得最小 值，由余弦定理可得结论 18.【答案】 解：（ 1）由题意， c=4m， =0.8， a=5m， b=3m， 椭圆 C 的标准方程为；（ 2） =90时，

22、 N（ 4m，）， NF=MF =+=， =， m=；（ 3）+=，证明如下：由（ 2）知，当斜率不存在时，+=当斜率存在时， 设 1：y=k（ x-4m）代入椭圆方程得 （ 9+25k2）x2-200mk2x+25m2（16k2-9）=0 ，设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），则 MF =e（） =5 m-， NF =5m-， += 与 无关【解析】椭圆的性质椭圆的标准方程；（1）利用，可得（2）求出MF 、NF，利用+=，即可求实数 m；（3）分类讨论，利用焦半径公式，结合韦达定理，可知+的值与 的大小无关第13 页，共 16页本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系

23、，考查分类讨论的数学思想，属于中档题19.【答案】 解：令 m=2， n=1，则，即，a1+a3 =2a2， a1， a2， a3 成等差数列，下面用数学归纳法证明数列 an 是等差数列，假设 a1， a2， ， ak 成等差数列，其中k3，公差为d，令 m=k， n=1，2Sk+1=（ k+1）（ ak+a1+d） =k（ ak+a1） +ak+（ k+1）d=2 Sk+a1+ak+（ k+1） d，2Sk+1=a1+ak+（ k+1） d=2（ a1+kd），即 ak+1=a1+kd，a1， a2， ， ak， ak+1 成等差数列，数列 an 是等差数列；（2），= ，若存在正整数p，

24、q，使得 ap +cq 是整数，则=，设，18a1=3（ 3m-p-q+1） +1 是一个整数，|18a1| 1，从而，又当时，有 a1 +c3=1Z，综上， |a1|的最小值为【解析】（1）用数学归纳法证明即可；（2）根据条件可得 cn，然后将 ap+cq 用 a1，p，q 表示出来，根据 18a1=3（3m-p-q+1）+1 是一个整数，可得结果第14 页，共 16页本题主要考查由递推关系得通 项公式和等差数列的性 质，关键是利用数学 归纳法证明数列是等差数列，属 难题20.【答案】 解：（1）函数f（ ）=的导数为f（ ）=，xx设切点为（ m， n），即有 n=， n= m，可得 ame=em，由直线