江苏省无锡市天一中学高三4月月考试卷(数学)

1、江苏省无锡市天一中学2012届高三4月月考（数学）（2012/4/23）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1设集合，则 2如果复数是实数，则实数 3若命题“，使得”为假命题，则实数的范围 4某算法的程序框图如图，若输入，则输出的结果为 5把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为 6在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若，则角a的大小为 7已知|=3，|=4，(+)(+3)=33，则与的夹角为 8已知双曲线c:的右顶点、右焦点分别为a、f，它的左准线与轴的交点为b，若a是线段bf的中点，则双曲线c的离心率为 9已知数列的前

2、项和sn=n27n, 且满足16ak+ak+122, 则正整数k= 10在棱长为1的正方体中，四面体的体积为 11曲线的一条切线方程为，则实数a= 12已知函数 若函数有3个零点，则实数的取值范围是 13当时，恒成立，则实数的取值范围为 14已知三边a，b，c的长都是整数，且，如果，则符合条件的三角形共有 个（结果用m表示）二、解答题：本大题共6小题，共计90分15(本小题满分14分) 设函数，其中向量，且的图象经过点（1）求实数的值；（2）求的最小正周期；（3）求在0，上的单调增区间16(本小题满分14分) 如图，平行四边形中，正方形所在的平面和平面垂直，是的中点，是的交点.（1）求证：平面

3、；（2）求证：平面17（本小题满分14分）如图，在半径为30cm的半圆形（o为圆心）铝皮上截取一块矩形材料abcd，其中点a、b在直径上，点c、d在圆周上。（1）怎样截取才能使截得的矩形abcd的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮abcd卷成一个以ad为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大体积18(本小题满分16分) 已知圆c：；（1）若圆c的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线方程；（2）从圆c外一点向圆引一条切线，切点为m，o为原点，且有|pm|=|po|，求使|pm|最小的p点的坐标19(本小题满分16分)

4、已知数列的首项，（1）求证：数列为等比数列；(2) 记，若，求最大正整数（3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列且成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由20(本小题满分16分) 已知二次函数对任意实数都满足，的最小值为且令（）（1）求的表达式；（2）若使成立，求实数的取值范围；（3）设，证明：对、，恒有江苏省无锡市天一中学2012届高三4月月考（数学）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1设集合，则 （2,3） 2如果复数是实数，则实数 1 3若命题“，使得”为假命题，则实数的范围 4某算法的程序框图如图，若输入，则输出的结果为 5把一根均匀木棒随机地按任

5、意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为 6在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若，则角a的大小为 7已知|=3，|=4，(+)(+3)=33，则与的夹角为 120 8已知双曲线c:的右顶点、右焦点分别为a、f，它的左准线与轴的交点为b，若a是线段bf的中点，则双曲线c的离心率为 9已知数列的前项和sn=n27n, 且满足16ak+ak+122, 则正整数k= 8 10在棱长为1的正方体中，四面体的体积为 11曲线的一条切线方程为，则实数a= 2 12已知函数 若函数有3个零点，则实数的取值范围是 13当时，恒成立，则实数的取值为 14已知三边a，b，c的长都是

6、整数，且，如果，则符合条件的三角形共有 个（结果用m表示）二、解答题：本大题共6小题，共计90分15(本小题满分14分) 设函数，其中向量，且的图象经过点（1）求实数的值；（2）求的最小正周期；（3）求在0，上的单调增区间解：（1）， 3分图象经过点，解得 5分（2）当时， 7分 9分（3）, 11分由,得 13分在0，上的单调增区间为. 14分16(本小题满分14分) 如图，平行四边形中，正方形所在的平面和平面垂直，是的中点，是的交点.（1）求证：平面；（2）求证：平面证明：是的交点，是中点，又是的中点，中， -3分 ，又平面 -7分平面平面，交线为， ，平面， -10分，又， -14分17

7、（本小题满分14分）如图，在半径为30cm的半圆形（o为圆心）铝皮上截取一块矩形材料abcd，其中点a、b在直径上，点c、d在圆周上。（1）怎样截取才能使截得的矩形abcd的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮abcd卷成一个以ad为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大体积18(本小题满分16分) 已知圆c：；（1）若圆c的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线方程；（2）若圆q与圆c关于直线对称，求圆q的方程；（3）从圆c外一点向圆引一条切线，切点为m，o为原点，且有|pm|=|po|，求使|pm|最小的p点的坐标

8、解：（1）切线在x轴，y轴上的截距相等，第一种情况：切线的斜率是1 -1分分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或法，解得切线的方程为：xy3=0, xy1=0, -2分第二种情况：切线经过原点（0,0） -3分设此时切线斜率为k，直线为kx-y=0，用点到直线的距离公式可求得，解得切线方程 -5分综上，此圆截距相等的切线方程为xy3=0, xy1=0, . -6分(2) 将圆的方程化成标准式（x1)2(y2)2=2，圆心c（1，2），半径r=，圆心c（1，2）关于直线的对称点q（5，4），圆q半径r=-9分所以圆q得方程为（x5)2(y+4)2=2 -10分(3) 切线pm与cm垂直，|pm|2=|pc|2|cm|2，又|pm|=|po|，坐标代入化简得2x14y13=0 -12分|pm|最小时即|po|最小，而|po|最小即p点到直线2x14y13=0的距离，即-13分从而解方程组， -15分得满足条件的点p坐标为（，） -16分19(本小题满分16分)已知数列的首项，（1）求证：数列为等比数列；(2) 记，若，求最大正整数（3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列且成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由（3）假设存在，则， 10分，12分化简得：， 13分，当且仅当时等号成立15分又互不相等，不存在 16分