初中数学论文：关于一类动点最值问题的探讨

1、关于一类动点最值问题的探讨随着新课标的全面实施，人人学有价值的数学已深入人心。近几年来，动点最值问题频频出现在各地中考、竞赛试卷中。这类试题突出了对学生基本数学素质的测试，加强了探究和创新意识，培养了学生灵活运用知识解决实际问题能力，对学生思维能力的提高有较大的帮助，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。本文试从以下几个方面对这类问题作一些简单的探讨。一、题中出现一个动点。1知l为一条公路，a、b为公路两旁的两个村庄，现在公路上建一家商店，问建在何处时商店到两村庄到商店距离和最小？分析：作b关于l的对称点b， 有mb=mb，于是ma+mb=ma+mbab (当且仅当从运动到

2、ab和l的交点m 时等号成立)，建在m点符合条件。2如图，ab为o直径，ab=2，oc为半径，ocab,d为ac三等分点，点p为oc上的动点，求ap+pd的最小值。 分折：作d关于oc的对称点d，于是有pa+pdad,（当且仅当p运动到po处，等号成立，易求ad=。3在正方形abcd中，点e为ab上一定点，且be=10,ce=14,p为bd上一动点，求pe+pc最小值。（2006全国初中数学竞赛浙江决赛）分析：作e关于bd对称点e，e在ab上，有pe+pc=pe+pcec易求ec=26。4如图，正方形abcd边长为16，p、q分别是bc、cd上的定点，且bp=3 ,dq=1,e为对角线上一动点

3、，求ep+eq最小值。分析：作q关于bd对称点qep+eq=ep+eqpq过 q作qm bc ,易求5正三角形abc边长为a，d为bc的中点，p是ac边是的动点，连结pb，pd得到pbd求：（1）当点p 运动到ac的中点时，pbd的周长。（2）pbd的周长的最小值。（第十六届“希望杯”全国数学邀请赛，初二）分折：（1）易求pbd周长为(2)作b关于ac所在直线的对称点b,易求pbd周长的最小值为6 .l为直线，当a、b在l异侧（且a、b到l距离不相等），求 |ma-mb|最大值。分析： 做b关于l对称点b.ma-mb=mb-maab（当且仅当m运动到ab和l交点时mo时等号成立）7.如图,两点

4、a,b在直线l的同侧,a到l距离为ac=8,b到l的距离为bd=5,cd=4,点p在直线l上运动.则pa-pb最大值为_.(第十届“希望杯”全国数学邀请赛 初二 )分折:pa-pbab,(当p运动到ab延长线和l交点时po等号成立),过b作beac于e,易得. 小结:上述几题中,只出现一个动点,当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值.二、题中出现两个动点。8在直角坐标系中有四个点, a(-8,3),b(-4,5)c(0，n),d(m,0),当四边形abcd周长最短时,求 (2002年湖北选拔赛)分折:因ab长为定值,四

5、边形周长最短时有bc+cd+da最短,作b关于y轴对称点b,a关于x轴对称点a,da+dc+bc=da+dc+bcba(当d,c运动到ab和x轴y轴的交点时等号成立),易求直线ab解折式y= +,c0(0,),d0(-,0),此时=- 9知和y轴交于点a(0,3),和x轴交于b(1,0),c(5,0),求(1):此抛物线的解折式,(2)若一动点p自oa中点m出发,先到x轴上某点,设为e,再到抛物线对称轴上某点f,最后运动到a,求使p点运动总路程最短的点e和点f坐标,并求最短路径长(2006年北京中考)。分折：易求（1）（2）当p经过路线长最短时，p必走直线，即me+ef+fa最短，作a关于x=

6、3对称点a(6,3)，m关于x轴的对称点m(0.-3/2)于是有me+ef+fa=me+ef+faam（当且仅当ef运动到e0f0时等号成立），易求直线am解折式为，e0(),f0()于是，由勾股定理求得： 10如图：在abc中,a=,mn分别ab,ac上动点,求bn+mn+mc最小值(2003年余姚中学保送生测试)分折:作b关于ac对称点b,c关于ab对称点c,有bn+mn+nc=bn+mn+mcbc(当m,n运动到m0,n0时等号成立),因a=,那么cab=a=bac,所以cab=, ac=ab=ab=ac=20,所以acb为正三角形,所以bc=20.小结：综上可知,当题中出现两个定点和两

7、个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值!三、题中出现三个动点时。11如图，在菱形abcd中,ab=2,bad=60,e,f,p分别为ab,bc,ac上动点,求pe+pf最小值分折:作e关于ac所直线的对称点e,于是有,pe+pf=pf+peef,又因为e在ab上运动,故当ef和ad,bc垂直时，e0f最短,易求e0f=。12如图，aob=45，角内有一动点p ，po=10，在ao，bo上有两动点q，r，求pqr周长的最小值。 分折：作p关于oa，ob对称点p1，p2 。于是有pq+qr+pr=qp1+qr+rp2p1p2，由对称性易知p1op2为等腰rt,

8、op=op1=op2=10,p1p2= 13如图,矩形abcd中,ab=20,bc=10,若ac,ab是各有一个动点m,n,求bm+mn最小值. 分折:作b关于ac的对称点b,于是bm+mn=bm+mnbn,由于n在ab上运动,当n运动到n0时,bn0ab, bn最短为bn0,易求bh=,bb=，由bn0babc,求得bn0=16. 小结：当题中出现三个动点时,在求解时应注意两点,(1),作定点关于动点所在直线的对称点,(2):同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.四、动点最值在求代数最值问题中的应用。14求代数式最小值(第十三届希望杯数学邀请赛.初二) 分折:如图作bc=12,abbc,cdbc,ab=2,cd=3,e为bc上一点,求ea+ed最小值，设be=x,ce=12-x,ea+ed=作点d关于bc所在直线的对称点d,于是,ea+ed=ea+edad,易求ad=13.15 求函数y=最小值。分折：即本题为求x轴上点到（-1，2）和（2，1）这两点距离和最小值，作b关于x轴的对称点b,易