2018年山东省聊城市高考数学一模试卷(理科)

1、2018 年山东省聊城市高考数学一模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.已知集合 A= x|x2 1 ，B= x|lg（x+1） 0，则 AB=（）A. 0，1）B. （ -1， +）C. （0，1）D. （ -1， 02.若复数z=，则|z|=）（A. 8B. 2C.2D.3.设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若S13=104， a6=5，则数列 an 的公差为（）A. 2B. 3C.4D. 54. 我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”， 该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正

2、方形和一个小正方形设直角三角形中一个锐角的正切值为3在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A.B.C.D.5.设等比数列 an 的各项均为正数，其n 前项和为Sn ，则“ S19+S21 2S20”是“数列 an 是递增数列”的（）A. 充分不必要条件C. 充要条件6. 已知直线 l 与抛物线 C： y2=4x 相交于则直线 l 的方程为（）B. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件A，B 两点，若线段AB 的中点为（ 2， 1），A. y=x-1B. y=-2 x+5C. y=-x+3D. y=2x-37. 已知函数f x）=|x| 10x-10-x），不等式 f（ 1

3、-2x） +f（ 3） 0的解集为（）（C. （， ）D.（，）A. （， ）B.（，）-22+- 11 +8. 已知双曲线 C： - =1（ a 0，b 0）的右焦点 F2 到渐近线的距离为 4，且在双曲线 C 上到 F2 的距离为2 的点有且仅有1 个，则这个点到双曲线C 的左焦点F 1 的距离为（）A.2B.4C.6D.89.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入k 的值应为（）第1页，共 19页A. 4.5B. 6C. 7.5D. 910. 在 ABC 中， BC 边上的中线 AD 的长为 2，点 P 是 ABC 所在平面上的任意一点，则的最小值为（）A.1B.2C.-2

4、D.-111. 如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为A.B.C.D.12.已知函数恰有 3 个零点，则实数 a 的取值范围为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13. 设x，y满足约束条件，则的最大值为_14.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分， 对这些产品的一项质量指标进行了检测，整理检测结果得到如下频率分布表：质量指标分组10， 30）30， 50）50 ， 70频率0.10.60.3据此可估计这批产品的此项质量指标的方差为_15.的展开式中常数项

5、为_16.若函数在开区间内，既有最大值又有最小值，则正实数 m 的取值范围为 _三、解答题（本大题共7 小题，共 82.0 分）第2页，共 19页17. 已知数列 an 满足 a1=-2， an +1=2 an+4（ ）证明： an+4 是等比数列；（ ）求数列 an 的前 n 项和 Sn18. 某教育培训中心共有 25 名教师，他们全部在校外住宿为完全起见，学校派专车接送教师们上下班这个接送任务承包给了司机王师傅，正常情况下王师傅用34座的大客车接送教师由于每次乘车人数不尽相同，为了解教师们的乘车情况，王师傅连续记录了100 次的乘车人数，统计结果如下：乘车人1516171819202122

6、232425数频数2441016201612862以这 100次记录的各乘车人数的频率作为各乘车人数的概率（ ）若随机抽查两次教师们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘车人数超过18 的概率；（ ）有一次，王师傅的大客车出现了故障，于是王师傅准备租一辆小客车来临时送一次需要乘车的教师可供选择的小客车只有20 座的 A 型车和 22 座的 B 型车两种， A 型车一次租金为80 元， B 型车一次租金为90 元若本次乘车教师的人数超过了所租小客车的座位数，王师傅还要付给多出的人每人20 元钱供他们乘出租车以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，判断王师傅租哪种车较合算？19. 如图，四棱锥P-AB

7、CDPAD为等边三角形，且平面PAD平面ABCD，中， AD=2BC=2， AB AD ， ABBC（ ）证明： PCBC；（ ）若直线PC 与平面 ABCD 所成角为60，求二面角B-PC-D 的余弦值第3页，共 19页20.已知圆 x2+y2=4 经过椭圆C：的两个焦点和两个顶点，点 A（0，4），M，N 是椭圆 C 上的两点，它们在 y 轴两侧，且 MAN 的平分线在y 轴上，|AM | |AN|（ ）求椭圆C 的方程；（ ）证明：直线MN 过定点21. 已知函数 f（ x） =2ex-kx-2（ ）讨论函数 f（ x）在（ 0， +）内的单调性；（ ）若存在正数 m，对于任意的 x（

8、0，m），不等式 |f（ x） | 2x 恒成立，求正实数 k 的取值范围22.在直角坐标系xOy 中，圆 C 的普通方程为x2+y2 -4x-6y+12=0在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为（ ）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（ ）设直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为A、B，P 为圆 C 上的任意一点， 求的取值范围23. 已知函数 f（ x） =|2x+a|+2a， aR（ ）若对于任意 xR， f（ x）都满足 f（x） =f（ 3-x），求 a 的值；（ ）若存在 xR，使得 f（ x） -|2x-1|+a 成立，求实数

9、a 的取值范围第4页，共 19页第5页，共 19页答案和解析1.【答案】 A【解析】解：A=x|-1 x1 ；由 lg（x+1）0得，lg（x+1）lg1；x+1 1；x 0；B=x|x；0AB=0，1）故选：A先解出 A=x|-1 x 1 ，根据对数函数的 单调性即可解出 B=x|x 0，然后进行交集的运算即可考查描述法表示集合的概念， 对数函数的 单调性，以及交集的运算2.【答案】 D【解析】解：复数z=，则 |z|= 故选：D直接利用复数的模的运算法则化简求解即可本题考查复数的模的求法，复数的基本运算，是基 础题3.【答案】 B【解析】解：等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn，S13

10、=104，a6=5，解得 a，1=-10 d=3数列 an 的公差为 3故选：B利用等差数列的前n 项和公式、通项公式列出方程 组，能求出数列a n 的公差本题考查等差数列的公差的求法，考 查等差数列的性 质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题4.【答案】 D【解析】第6页，共 19页解：由题意设角三角形中 较小的直角 边是 1，则较大的直角 边是 3，则斜边是，则大正方形的面 积是 10，则 4 个三角形的面 积是 134=6，故小正方形的面 积是 4，故满足的条件的概率p=，故选：D由题意设角三角形中 较小的直角 边是 1，则较大的直角 边是 3，分别表示出大正方形

11、和小正方形的面 积，从而求出满足条件的概率即可本题考查考查概率性质、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题5.【答案】 C【解析】解：设数列 a n 的首项是 a1，公比是 q，则由 S19+S212S20 得：+，整理得：（q2-q+1）（1-q）0，故 q1，数列an 是递增数列，是充分条件，若数列 a n 是递增数列，则 q1，则（q2-q+1）（1-q）0，从而 S19+S212S20，是必要条件，故选：C第7页，共 19页根据等比数列的性 质以及充分必要条件的定 义判断即可本题考查了充分必要条件，考 查等比数列，是一道基 础题6.【答案】 D【解析】解：

12、若直线 l 无斜率，则 A，B 关于 x 轴对称，故 AB 的中点纵坐标为 0，不符合题意；设直线l 的斜率为则l的方程为y=kx-2k+1，即x=，k，代入 y2可得：2，即2，=4xy =y - y+=0AB 的中点纵坐标为1， =2，即k=2直线 l 的方程为：y=2x-3故选：D设直线 l 的斜率为 k，联立方程组，根据根与系数的关系求出 k 的值即可本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档 题7.【答案】 A【解析】解：f（-x）=|-x|（10-x-10x）=-|x|（10x-10-x）=-f （x），则函数 f（x）是奇函数，当 x0时 ，f（x）=x（10x-10-x）为增函

13、数，则函数 f（x）在R 上是增函数，则不等式 f（1-2x）+f（3）0 等价为不等式 f（3）-f （1-2x）=f（2x-1），即 32x-1，2x4，得x2，即不等式的解集 为（-，2），故选：A根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合奇偶性和 单调性的性质将不等式进行转化求解即可第8页，共 19页本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键8.【答案】 D【解析】解：设渐近线为，右焦点 F2 到渐近线的距离为 4，即b=4双曲 线 C 上到 F2 的距离为 2 的点有且 仅有 1 个，这个点是右 顶点，c-a=2242（c-a）=4=b，? （c-a）=b

14、 =（c-a）（c+a），3c+a=（c-a）=8则这个点到双曲 线 C 的左焦点 F1 的距离为 c+a=8，故选：D设渐近线为，可得2=4=b， （c-a），即b=4又 c-a=2即（c-a）?423=b=（c-a）（c+a），c+a=（c-a）=8即可得到 这个点到双曲 线 C 的左焦点 F1 的距离为 c+a=8，本题考查了双曲线的性质，转化思想，属于中档题9.【答案】 B【解析】解：n=1 4，n=2，s=k-=，n=2 4，n=3，s=-=，n=3 4，n=4，s=-=，n=44，输出 s=1.5，解得：k=6 ，故选：B模拟程序的运行 过程，结合退出循 环的条件，得到关于 k 的

15、方程，解出即可本题考查的知识点是程序框 图，考查模拟循环的方法，是一道基础题第9页，共 19页10.【答案】 C【解析】解：BC 边上的中线 AD 的长为 2，点P 是ABC 所在平面上的任意一点，=（+）=?2（+）=2-2?，设 |=x，与的夹角为 ，222=2x -4xcos =2（x-cos ）-2cos，值值为2时当 x=cos取最小-2cos ，当cos =1 ，最小此时为-2，最小，最小故选：C根据向量的加减的几何意 义可得=2-2? ，再设|=x，与的夹角为 ，利用二次函数和三角函数的性 质即可求出本题考查了向量的加减的几何意 义，以及向量的数量积和二次函数，三角函数的性质，属

16、于中档题11.【答案】 C【解析】【分析】本题考查球的表面积的求法，三视图的认识题题时要认真审题，是中档，解注意空间思维能力的培养根据三视图求解外接球的半径，可得球的体积视图体积结，求解三，即可得论【解答】题视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，解：由 意，俯设等边三角形的 边长为 a，可得几何体的体积为 V=a=根据三视图，等边三角形的外接 圆半径 r=设三视图的外接球的半径 为 R，圆心与球心和等 边三角形的 顶点构成直角三角形，第10 页，共 19页可得：，球的体积 V=球的体积与该几何体的体 积的比为：=故选：C12.【答案】 A【解析】解：函数，可得 x-2 时，函数 y=的图象

17、如图：方程至多一个解，此 时满足 1-3a2，可得 a-，-）当 x（-2，0）时，即 a=xex，xxxy=xe ，可得 y=e（1+x），令e （1+x）=0，可得 x=-1，x（-2，-1）时，y0，函数是减函数，x（-1，0）时，函数是增函数，函数的最小值为：-，x=-2 时，y=，方程有两个解，可得 a，第11 页，共 19页综上，函数恰有 3 个零点，满足 a，故选：A利用分段函数，画出函数的 图象，判断零点个数求解 a 的范围即可本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的 单调性的判断，函数的零点的求法，考查计算能力13.【答案】 4【解析】约表解：画出 束条件示的平面区域，

18、如图所示；又=2x?2-4y=2x-4y，设 t=x-4y ，则目标函数 t=x-4y 过点 B 时，取得最大值，由，得B（-2，-1）；z 的最大值为 2-2-4（-1） =4故答案为：4画出约束条件表示的平面区域，化 简的解析式，利用目标函数 t=x-4y 求出 z 的最大值本题考查了不等式表示的平面区域以及线性规划的应用问题，是基础题14.【答案】 144【解析】解：由频率分布表得：这批产品的此项质量指标的平均数 为：200.1+40 0.6+60 0.3=44，第12 页，共 19页这批产品的此项质量指标的方差为：22220-44）（0.1+（40-44） 0.6+（60-44） 0.

19、3=144故答案为：144由频率分布表先求出 这批产品的此项质量指标的平均数，由此能求出 这批产品的此项质量指标的方差本题考查方差的求法，考查频率分布表、平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题15.【答案】 672【解析】解：的展开式的通 项为，取 9-r=0，可得 r=9而的展开式的通 项为=，取 9-3s=0，可得s=3的展开式中常数 项为故答案为：672写出的展开式的通 项，取 y 的指数为 0 求得 r=9，再写出的展开式的通 项，由x 得指数为 0求得 s，则答案可求本题考查二项式系数的性质键记二项展开式的通项题，关 是熟，是中档 16.【答案

20、】【解析】解：函数=（- ）sinx+cosx=sin（x+），其中tan =x内，x+ 既有最大 值又有最小 值，可得令则，解得： ，第13 页，共 19页则tan ，即当 m2 时，解得：即 2当 m2 时，无解故答案为：利用和与差以及辅助角化简间内，既有最大值又有最小值，根据区利用函数的 图象及性质建立不等式即可求本题三角函数的 图象性质有界限求解范 围问题，利用三角函数公式化 简是关键，属于中档题17.【答案】 解：（ ） a1=-2 ，a1+4=2 ，an+1 =2an+4，an+1 +4=2an+8=2 （ an+4）， an+4是以 2 为首项， 2为公比的等比数列（ ）由（ ）

21、，可知， =a +a2n2n）-4n=2n+1-2-4n+ +a =（ 2-4）+（ 2 -4）+ +（ 2 -4）=（ 2+2 + +2Sn 1 2n【解析】（）利用数列递推式，即可证得数列 a n+4 是等比数列；（）利用等比数列的求和公式和分组求和，即可求出本题考查数列递推式，考查等比数列的 证明，考查数列的通 项和求和公式，属于中档 题18.18 的概率为 0.8【答案】 解：（ ）由题意得，在一次接送中，乘车人数超过记“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18”为事件 A，则 P（ A）=1（- 1-0.8 ）（1-0.8）=0.96 第14 页，共 19页即抽查的两次中至少有一次乘车

22、人数超过18 的概率为0.96（ ）设 X 表示租用 A 型车的总费用（单位：元），则X 的分布列为X80100120140160180P0.560.160.120.080.060.02EX =80 0.56+100 0.16+120 0.12+140 0.08+160 0.06+180 0.02=99.6 设 Y 表示租用 B 型车的总费用（单位：元），则Y 的分布列为Y90110130150P0.840.080.060.02EY=90 0.84+110 0.08+130 0.06+150 0.02=95.2 因此以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，租B 型车较合算【解析】（）由题意得，

23、在一次接送中，乘车人数超过 18 的概率为 0.8记“抽查的两次中至少有一次乘 车人数超过 18”为事件 A ，利用对立事件概率 计算公式能求出抽查的两次中至少有一次乘 车人数超过 18 的概率（）设 X 表示租用 A 型车的总费用（单位：元），求出X 的分布列及 EX ，设 Y表示租用 B 型车的总费用（单位：元），求出Y 的分布列及 EY，由此能求出以王师傅本次付出的 总费用的期望 值为依据，租 B 型车较合算本题考查概率的求法，考查离散型随机 变量的分布列、数学期望的求法及 应用，考查对立事件概率 计算公式等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题19.【答案】 解：

24、（ ）取 AD 的中点为 O，连接 PO，CO，PAD 为等边三角形，POAD 底面 ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，COAD ， （ 1 分）POCO=O， AD 平面 POC， （ 2 分）PC? 平面 POC， ADPC （ 3 分）又 ADBC，所以 BCPC （ 4 分）（ ）由面 PAD 面 ABCD ，POAD 知，PO平面 ABCD ， （ 5 分）OP， OD ， OC 两两垂直，直线 PC 与平面 PAD 所成角为30 ，即 CPO=30由 AD=2 ，知，得 CO=1 （ 6 分）分别以的方向为 x 轴， y 轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz，则，

25、第15 页，共 19页， （ 7分）设平面 PBC 的法向量为则， （ 8 分）设平面 PDC 的法向量为=（ x， y， z）则， （ 9 分）=， （ 11 分）由图可知二面角B-PC -D 的余弦值 （ 12 分）【解析】（）取AD 的中点为 O，连接 PO，CO，说明 POAD 证明 COAD ，然后证明 AD 平面 POC，推出 AD PC（）证明 PO平面 ABCD ，分别以的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空 间直角坐标系 O-xyz，求出平面 PBC 的法向量，平面 PDC 的法向量，利用空间向量的数量 积求解二面角 A-SB-C 的余弦值本题直线与平面垂直的判定定理

26、以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及 计算能力20.【答案】 解：（ ）圆 x2 +y2=4 与 x 轴交点（ 2， 0）即为椭圆的焦点，2 2圆 x +y =4 与 y 轴交点（ 0， 2）即为椭圆的上下两顶点，所以 c=2 ，b=2 从而，因此椭圆 C 的方程为：（ ）证明：设直线MN 的方程为 y=kx+m由，消去 y 得（ 2k2+1） x2+4kmx+2 m2-8=0 设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），则，直线 AM 的斜率=；直线 AN 的斜率=k1+k2=由 MAN 的平分线在y 轴上，得 k1+k2=0第16 页，共 19页即=0，又因

27、为 |AM | |AN|，所以 k0，所以 m=1因此，直线MN 过定点（ 0， 1）【解析】（）根据题意，由圆的方程分析可得 椭圆的焦点和 顶点坐标，即可得 c、b 的值，由椭圆的几何性 质计算可得 a的值，即可得椭圆的标准方程；（）设直线 MN 的方程为 y=kx+m ，与椭圆的方程联立，消去 y 得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0设 M （x1，y1），N（x2，y2），由根与系数的关系分析直线进而分析可得 k1+k2=0，解可得 m 的值线AM 、AN 的斜率，由直的斜截式方程即可得答案本题考查椭圆的几何性 质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程xx21.【

28、答案】 解：（ ）函数 f（ x） =2e -kx-2，其导数 f（x）=2e -k， x（0， +），当 k2时，因为 2ex 2，所以 f（ x） 0，这时 f（ x）在（ 0， +）内单调递增当 k 2 时，令 f（ x） 0 得；令 f（ x） 0 得这时 f（ x）在内单调递减，在内单调递增综上，当k2时， f（ x）在（ 0， +）内单调递增，当 k 2 时， f（ x）在内单调递减，在内单调递增（ ）根据题意，分2 种情况讨论：当 0 k2时，因为 f（ x）在（ 0， +）内单调递增，且 f（ 0） =0，所以对于任意的x（ 0， m）， f（ x） 0这时 |f（ x） |

29、2x 可化为 f（ x） 2x，即 2ex-（ k+2） x-2 0设 g（ x）=2ex-（ k+2 ）x-2，则 g（x） =2 ex-（ k+2），令 g（x） =0 ，得，因为，所以 g（ x）在单调递减又因为 g（0） =0，所以当时， g（ x） 0，不符合题意当 k 2 时，因为f（ x）在内单调递减，且f （ 0） =0 ，所以存在x0 0，使得对于任意的x（ 0，x0）都有 f（ x） 0这时 |f（ x） | 2x 可化为 -f（ x） 2x，即 -2ex+（ k-2）x+2 0xx设 h（ x）=-2 e+（ k-2） x+2，则 h（ x） =-2 e +（k-2）第1

30、7 页，共 19页（ i）若 2 k4，则 h（ x） 0 在（ 0， +）上恒成立，这时 h（ x）在（ 0，+）内单调递减，又因为 h（0） =0，所以对于任意的 x（ 0， x0）都有 h（ x） 0，不符合题意（ ii ）若 k 4，令 h（ x） 0，得，这时 h（ x）在内单调递增，又因为 h（0） =0，所以对于任意的，都有 h（ x） 0，此时取，对于任意的x（ 0，m），不等式 |f（ x） | 2x 恒成立综上， k 的取值范围为（4， +）【解析】（），根题据意，求出函数的导数，对 k 进行分析情况 讨论，分析导函数的符号，由函数的导数与函数 单调性的关系，分析可得答案；（），根题据意，分2 种情况讨论： 当 0k2时，f（x）在（0，+）内单调递增， 当 k 2 时，因为 f（x）在内单