2018-2019学年四川省眉山一中办学共同体高三(上)期中数学试卷(理科)

1、2018-2019 学年四川省眉山一中办学共同体高三（上）期中数学试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.已知集合A x|x2 2x3， B x|2x 1 ，则 AB（）A. 0，3B. （0， 3C. 1， ）D. 1，1）2.非零向量0cos 0）的夹角为 ，则” （， ）”是“ ”的（A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.各项均为正数的等比数列 an 中， a2a4=4，则 a1a5+a3 的值为（）A. 5B. 3C. 6D. 84. 若当 xR 时，函数 f（ x） =a|x|始终满足

2、0 |f（ x） | 1，则函数 y=log a| |的图象大致为（）A.B.C.D.5.设 0，函数 y=sin（ x+ ）+2 的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）A.B.C.D.36.x+mm=（）若直线 y=x 与曲线 y=e（ mR）， e 为自然对数的底数）相切，则A. 1B. 2C. -1D. -27.圆 x2+y2+4x-2y-1=0 上存在两点关于直线ax-2by+1=0 （ a 0， b 0）对称，则+ 的最小值为（）A. 3+2B.9C.16D.188.nn 0，a0，且 a |a|，则（）设等差数列 a 的前项的和为S ，若 a6776A.S +SB.+

3、SC.S11?S12 0D.S11?S12 01112 0S1112 0第1页，共 17页9. 设函数，若关于 x 的方程 f2（x）-af（ x）=0 恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A. 0， +）B. （ 0， +）C. （ 1， +）D. 1， +）10. 已知函数 f（ x）是定义在 R 上的可导函数，其导函数记为 f（ x），若对于任意实数 x，有 f（ x） f（ x），且 y=f（ x）1为奇函数，则不等式 f（x） ex 的解集为（）A. （ ， 0）B. （ 0， +）C. （ ， e4）D. （ e4， +）11.已知 ， 是两个非零向量，且，则的最大值为

4、（）A.B.C. 4D. 512.将 3 本相同的语文书和2 本相同的数学书分给四名同学，每人至少1 本，不同的分配方法数有（）A.24B.28C. 32D. 36二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.复数 z 满足 z=+2 i，则 |z|=_14. 已知（ 1+ax）（ 1+x） 5 的展开式中 x2 的系数为 5，则 a=_ 15.-2cos10 =16.若双曲线 C 的右焦点 F 关于其中一条渐近线的对称点P 落在另一条渐近线上，则双曲线 C 的离心率 e=_三、解答题（本大题共7 小题，共 82.0 分）17. 已知函数 f（ x） =2sinx?cos（ x- ）+c

5、osx， x0， （ 1）求 f（ ）；（ 2）求 f（ x）的最大值与最小值18. 已知 an为等差数列，前 n 项和为 Sn（ nN+）， bn 是首项为2 的等比数列，且公比大于 0， b2+b3=12， b3=a4-2a1， S11=11b4（ ）求 an 和 bn 的通项公式；（ ）求数列 a2nb2n-1 的前 n 项和（ nN+）第2页，共 17页19.从某企业生产的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（ ）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（ ）由直方图可以认为

6、，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2N（ ， ），其中 近似为样本平均数22， 近似为样本方差s（ i）利用该正态分布，求 P（ 187.8 Z 212.2）；（ ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间（ 187.8， 212.2）的产品件数，利用（ i ）的结果，求 EX附：12.22若 Z N（， ）则 P（ - Z +） =0.6826， P（-2 Z +2） =0.954420.如图，矩形ABCD 中， AB=6，点 F 是 AC 上的动点现将矩形ABCD沿着对角线AC 折成二面角D-AC-B，使得（ ）求证：当时， DF

7、BC；（ ）试求 CF 的长，使得二面角A-DF-B 的大小为第3页，共 17页21. 已知函数f x）=ax2+lnx（ aR）有最大值2（， g（ x） =x -2x+f（ x），且 g（x）是g（ x）的导数（ ）求 a 的值；（ ）证明：当x1 x2， g（ x1） +g（x2） +3=0 时，22. 已知 f （ x） =|x+1|-|ax-1|（ 1）当 a=1 时，求不等式 f （x） 1 的解集；（ 2）若 x（ 0， 1）时不等式 f（ x） x 成立，求 a 的取值范围23.以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M 的直角坐标为（ 1，0

8、），若直线 l 的极坐标方程为cos（+）-1=0 ，曲线 C 的参数方程是（ t 为参数）（ 1）求直线l 和曲线 C 的普通方程；（ 2）设直线l 与曲线 C 交于 A， B 两点，求+第4页，共 17页答案和解析1.【答案】 B【解析】【分析】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|x 2-2x 3=x|x2-2x-3 0=x|-1 x，3B=x|2 x1=x|x 0 ，则 AB=x|0 x3，故选 B2.【答案】 A【解析】解：非零向量的夹角为 则” 0，）” “cos0”，（?反之不成立，例如

9、 =0时非零向量的夹角为 ，则 ”（0， ）”是“ cos0”的充分不必要条件故选：A非零向量的夹角为则， ”（0， ）”? “cos0”，反之不成立本题考查了向量的夹角、三角函数求值查计算能力，属于，考 了推理能力与基础题【答案】 C3.【解析】项为正数的等比数列aa a =a a =4解：各 均n中，可得：2 4 1 5，解得 a3=2a1a5+a3=4+2=6故选：C各项均为正数的等比数列 a n 中，可得：a2a4=a1a5=，即可得出第5页，共 17页本题考查了等比数列的通 项公式及其性 质，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题4.【答案】 B【解析】解：当 xR 时，函数f （x

10、 ）=a|x|始终满足 0 |f（x）|1因此，必有 0 a 1先画出函数 y=loga|x|的图象：黑颜色的图象而函数 y=loga|=-loga|x|，其图象如红颜色的图象故选：B由于当 xR 时，函数f（x）=a|x|始终满足 0|f（x）| 1，利用指数函数的图象和性质可得 0 a 1先画出函数 y=loga|x|的图象，此函数是偶函数，当 x0 时，即为 y=logax，而函数 y=loga|=-loga|x|，即可得出图象本题考查指数函数与 对数函数的 图象及性质，属于难题5.【答案】 C【解析】解：将y=sin（x+ ）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2k，即，又因为 0

11、，所以 k1，故 ，故选：C求出图象平移后的函数表达式，与原函数 对应，求出 的最小 值本题考查了三角函数 图象的平移 变换与三角函数的周期性，考 查了同学们对知识灵活掌握的程度第6页，共 17页6.【答案】 C【解析】解：设切点为（x，y），则 x=y，x+mx+my=e，y=eex+m =1，即x+m=0 ，又 ex+m=x，e0=x，x=1，m=-1，故选：C先求导函数，利用直线 y=x 与曲线 y=ex+m 相切，可知切线的斜率为 1，即切点处的函数值为 1，再利用切点处的函数值相等，即可求出 a 的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲 线上过某点切线方程的斜率，解题的关

12、键是正确理解 导数的几何意 义7.【答案】 D【解析】【分析】本题考查关于点、直线对称的圆的方程，基本不等式，考查计算能力，是基础题圆 x2+y2+4x-2y-1=0 上存在两点关于直 线 ax-2by+1=0（a 0，b0）对称，说明直线经过圆 心，推出 a+b= ，代入 + ，利用基本不等式，确定最小值，推出选项【解答】解：由圆的对称性可得，直线 ax-2by+1=0 必过圆心（-2，1），所以 a+b=所以 +=2（ + ）（a+b）=2（5+ +）2（5+4）=18，当且仅当= ，即 2a=b时取等号，故选：D第7页，共 17页8.【答案】 C【解析】【分析】本题考查等差数列的基本性

13、质，考查推理能力与 计算能力，属于中等题由题中条件得出 a6+a70，再由等差数列的求和公式以及等差数列的基本性质确定 S11 和 S12 的正负，从而得出答案【解答】解：由于a6 0，a7 0，且 a7|a6|，则 a6+a7 0，所以，因此，S11S12 0，故选：C9.【答案】 D【解析】解：由题意作函数 f（x）的图象如下，f2（x）-af（x）=0，f（x ）=0 或 f（x）=a；f（x ）=0 有且只有一个解，f（x ）=a有且只有两个解，故 a1，+）；故选：D由题意作函数 f（x）的图象，由f 2（x）-af（x）=0 得 f （x）=0 或 f（x）=a；从而解得第8页，共

14、 17页本题考查了分段函数的 应用及方程与函数的关系 应用，同时考查了数形结合的思想应用10.【答案】 B【解析】解：令g（x）=，则=，f（x ）f （x），g（x）0，即 g（x）为减函数，y=f （x）-1 为奇函数，f（0）-1=0，即 f（0）=1，g（0）=1，则不等式 f（x）ex 等价为=g（0），即 g（x）g（0），解得 x0，不等式的解集 为（0，+），故选：B根据条件构造函数令g（x）=，判断函数 g（x）的单调性即可求出不等式的解集本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本 题的关键，考查学生的解 题构造能力11.【答案】 B【解析】

15、【分析】此题综合考查了向量变换，不等式求最值等知识，有一定的难度主要是转化向量，把复杂问题简单 化，再利用平方运算和不等式求最大值【解答】由|=1 得|=1，由|=3 得|=3，令，则 |=1，+2-2=1；第9页，共 17页|=3，2+2+2=9，可得2+2=5，由不等式（x+y）2（x2+y2），|+|=，故选：B12.【答案】 B【解析】解：第一类，先选 1 人得到两本 语文书，剩下的 3 人各得一本，有 C41C31=12 种，第二类，先选 1 人得到一本 语文书和一本数学 书，其余 3 人各一本 书，有C41C31=12 种，第三类，先选 1 人得到两本数学 书，剩下的 3 人各得一

16、本，有 C41=4 种，根据分类计数原理可得，12+12+4 种，故选：B由题意分为 3 类，第一类，先选 1 人得到两本 语文书，剩下的 3 人各得一本，第二类，先选 1 人得到一本 语文书和一本数学 书，其余 3 人各一本 书，第三类，先选 1 人得到两本数学 书，剩下的 3 人各得一本根据分 类计数原理可得本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题13.【答案】 1【解析】解：z=+2i=，|z|=1故答案为：1利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复数模的求法，是基 础题第10 页，共 17页【答案】 -114.【解析】解：因

17、为（1+ax）（1+x52的系数为 5，则=5，即10+5a=5，）的展开式中 x解得 a=-1；故答案为：-1根据 x2 产生的两种可能分 别得到其系数的等式解出a本题考查了二项式定理的运用；关键是明确 x2 项产生的可能，计算系数15.【答案】【解析】解：-2cos10 =故答案为：通分后化 cos10为 cos（30-20 ），展开两角差的余弦，整理后再由辅助角公式化简运算本题考查三角函数的化 简求值，考查两角和与差的余弦，是基 础题16.【答案】 2【解析】解：双曲线 C：-=1 的左焦点 为 F（-c，0），渐近线方程为 y= x，设 F 关于 y=x 的对称点为（m，-m），由题意

18、可得=-，（*）且（0-m）=?（m-c），可得 m=c，代入（*）可得b2=3a2，c2=a2+b2=4a2，则离心率 e=2故答案为：2第11 页，共 17页设双曲线的左焦点 为 F（c，0），求出渐近线方程，设 F 关于 y=x 的对称点为（m，-m），由中点坐标公式和两直 线垂直的条件：斜率之积为 -1，解方程可得 2m=c，代入可得 a，b 的关系，再由离心率公式，计算即可得到所求 值本题考查双曲线的离心率的求法，点关于直 线的对称问题的解法，考查运算化简能力，属于中档题17.【答案】 解：（ 1）函数 f （x） =2sinx?cos（ x- ）+cosx ，所以： f（ ） =（

19、 2） f（ x） =，=，=因为 x0， 所以又因为 y=sinx 在区间上是递增，在区间上递减所以，当，即时， f（ x）有最大值；当，即 x=0 时， f（ x）有最小值 0【解析】（1）直接利用三角函数的关系式求出函数的值（2）首先通过三角函数关系式的恒等 变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最 值本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等 变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型18.【答案】 解：（ I）设等差数列 an 的公差为 d，等比数列 bn 的公比为 q22又因为 q0，解得 q=2所以， bn=2 n由 b3=a4

20、-2a1，可得 3d- a1 =8由 S11=11b4，可得 a1 +5d=16 ，联立，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n-2第12 页，共 17页n所以，数列 an 的通项公式为an=3 n-2，数列 bn 的通项公式为bn=2 由 a2n=6n-2， b2n-1 = 4n，有 a2nb2n-1=（ 3n-1） 4n，故 Tn=24+5 42+843+ +（3n-1） 4n，4Tn=242+543+844+ +（ 3n-1） 4n+1，上述两式相减，得 -3Tn =24+3 42+343 + +34n-（ 3n-1）4n+1=-（ 3n-2） 4n+1-8得 Tn=所以，数列 a2n

21、b2n-1 的前 n 项和为【解析】（）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解a n 和b n的通项公式；（）化简数列的通 项公式，利用错位相减法求解数列的和即可本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力19.和样本方差 s2 分别为：【答案】 解：（ ）抽取产品的质量指标值的样本平均数=170 0.02+180 0.09+190 0.22+200 0.33+210 0.24+2200.08+230 0.02=200，2222222s =（ -30） 0.02+（ -20） 0.09+（ -10） 0.22+0 0.33+10 0.24+20 0.08+30

22、 0.02=150 Z 200+12.2 ）=0.6826 ；（ ii ）由（ i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X B（ 100，0.6826），所以EX=1000.6826=68.26 【解析】（）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（）i）（由（）知ZN（200，150），从而求出P（187.8 Z 212.2），注意运用所给数据；（ii ）由（i）知X B（100，0.6826），运用EX=np 即可求得本题主要考查离散型随机 变量的期望和方差，以及正 态分布的特点及概率求解，考查运算能力20.【答案】 满分（ 12 分

23、）（ ）证明：连结DF ， BF第13 页，共 17页在矩形 ABCD 中， ， DAC =60 （ 1分）在 ADF 中， ， DF 2=DA 2+AF2 -2DA ?AF?cosDAC =9， （ 2 分）DF 2+AF2=9+3= DA 2， DF AC，即 D F AC （ 3 分）222cos CAB=214又在 ABF 中， BF=AB +AF -2AB AF， （分）? ?在 D FB 中， BF DF， （ 5 分）又 ACFB=F，D F 平面 ABCD F BC （6 分）（ ）解：在矩形 ABCD 中，过 D 作 DE AC 于 O，并延长交 AB 于 E沿着对角线AC翻

24、折后，由（ ）可知， OE，OC， OD两两垂直，以 O 为原点，的方向为 x 轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz，则 O（ 0， 0，0），E（ 1，0，0）， （7分） kAB=-1 平面 AD F ， 为平面 AD F 的一个法向量 （ 8 分）设平面 BD F 的法向量为=（ x，y， z）， F（ 0， t， 0），由得取 y=3 ，则， （ 10 分），即，当时，二面角 A-DF-B 的大小是 （12分）【解析】（）连结 DF，BF通过计算 DF2+AF 2=9+3=DA 2，推出DFAC ，得到DFAC ，第14 页，共 17页证明 BF证BCDF，然后 明 DF 平面 AB

25、C 推出 DF说为原点，的方向为x轴的正方向建（）明 OE，OC，OD两两垂直，以 O立空间直角坐标系 O-xyz，求出平面 ADF 的一个法向量平面 BDF 的法向量通过向量的数量积求解二面角的平面角的余弦 值即可本小题主要考查空间直线与直线线、直 与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识查间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化，考 空归与转化思想等21. （ 1 分）【答案】 解：（ ） f（ x）的定义域为（ 0， +），当 a0时， f（ x） 0， f （x）在（ 0，）上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去； （ 2 分）当a 0 时，令 f（ x） =0，得，当

26、时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增；当时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递减， （3 分）， （ 4 分） （5分）（ ）由（ ）可知， g（ x） 0，g（ x）在（ 0， +）上单调递增 （6分）又 x1 x2， g（ x1） +g（x2） =-3且， 0 x11x2 （7分）， 当 x 1时， g（ x） 0， g（ x）单调递增，要证，即 g（ x1+x2） g（2），只要证 x1+x2 2，即 x2 2-x1 （ 8 分） x1 1， 2-x1 1，所以只要证g2-xg x=-3- g x1）?g x+g2-x1）-3-*）， （9分）（1） （ 2）（ 1）（设 G（ x） =g（ x） +g（ 2-x） =x2-2x-2+ln x+ln （ 2-x）（其中 0 x 1），=，G（ x）在（ 0，1）上为增函数， （11 分）G（ x） G（ 1） =-3，故（ * ）式成立，从而 （ 12 分）【解析】（）求出函数的导数，通过讨论 a的范围，求出函数的单调区间即可；第15 页，共 17页（）求出函数的导数，根据函数的单调性问题转化为 g（x1）+g（2-x1）-3，设G（x）=g（x ）+g（2-x）=x2-2x-2+lnx+ln （2-x