（福建专用）2019高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.5 数学归纳法课件 理 新人教A版

1、7 7. .5 5数学归纳法数学归纳法 -2- 知识梳理考点自测 1.数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当n=_ 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数 n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法. k+1 -3- 知识梳理考点自测 2.数学归纳法的框图表示 -4- 知识梳理考点自测23415 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=

2、1时结论成立.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1 时,项数都增加了一项.() (4)用数学归纳法证明问题时,必须用上归纳假设.() (5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+2n+2=2n+3-1”,验证n=1 时,左边式子应为1+2+22+23.() 答案 答案 关闭 (1)(2)(3)(4)(5) -5- 知识梳理考点自测23415 2.在用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步 检验第一个值n0等于() A.1B.2C.3D.0 答案解析解析 关闭 边数最少的凸n

3、边形是三角形. 答案解析 关闭 C -6- 知识梳理考点自测23415 3.在用数学归纳法证明不等式 (n2,nN* )的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了() A.1项B.k项 C.2k-1项D.2k项 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -7- 知识梳理考点自测23415 4.用数学归纳法证明34n+1+52n+1(nN+)能被8整除时,当n=k+1时, 对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为() A.5634k+1+25(34k+1+52k+1) B.3434k+1+5252k C.34k+1+52k+1 D.25(34k+1+52k+1) 答案解析解析 关闭 因为要

4、使用归纳假设,必须将34(k+1)+1+52(k+1)+1分解为归纳假设和能被8整 除的两部分.所以应变形为5634k+1+25(34k+1+52k+1). 答案解析 关闭 A -8- 知识梳理考点自测23415 5.用数学归纳法证明 1),第一步 要证的不等式是. 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -9- 考点1考点2考点3考点4 例1求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)(n N* ). 答案 答案 关闭 (1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,等式成立. (2)假设当n=k(kN*)时等式成立,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k135(2k-1), 则当n=

5、k+1时,左边 =(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=2 k135(2k-1)(2k+1)2=2k+1135(2k-1)(2k+1),即当n=k+1时等式也 成立. 根据(1)和(2),可知等式对所有nN*都成立. -10- 考点1考点2考点3考点4 思考用数学归纳法证明等式的注意点有哪些? 解题心得解题心得用数学归纳法证明等式的注意点: (1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构 成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少. (2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边 的变化(

6、差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变 形,正确写出证明过程. (3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法. -11- 考点1考点2考点3考点4 答案 答案 关闭 -12- 考点1考点2考点3考点4 例2若函数f(x)=x2-2x-3,定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过点 P(4,5),Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐标,其中nN* ,试 运用数学归纳法证明:2xnxn+13. -13- 考点1考点2考点3考点4 -14- 考点1考点2考点3考点4 思考具有怎样特征的不等式可用数学归纳法证明?证明的关键是 什么? 解题心得解题心得1.当遇到与正整数n

7、有关的不等式证明时,若用其他办 法不容易证,则可考虑应用数学归纳法. 2.证明的关键是:由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归 纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以 证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得 以简化. -15- 考点1考点2考点3考点4 答案 答案 关闭 -16- 考点1考点2考点3考点4 例3用数学归纳法证明:42n+1+3n+2能被13整除,其中nN* . 答案 答案 关闭 (1)当n=1时,421+1+31+2=91能被13整除. (2)假设当n=k时,42k+1+3k+2能被13整除, 则当n=k+1时, 42(k+1)+

8、1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2). 因为42k+113能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除, 所以当n=k+1时命题也成立. 由(1)(2)可知,当n N*时,42n+1+3n+2能被13整除. -17- 考点1考点2考点3考点4 思考用数学归纳法证明整除问题的基本思路是什么? 解题心得解题心得证明整除问题的关键是“凑项”,即采用增项、减项、拆 项和因式分解等手段,将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形,从而利 用归纳假设使问题获证. -18- 考点1考点2考点3考点4 对点训练对点训练3(2017陕西西

9、安模拟)试证:当n N* 时,f(n)=32n+2-8n-9 能被64整除. 答案 答案 关闭 (1)当n=1时,f(1)=64,命题显然成立. (2)假设当n=k(k N*,k1)时,f(k)=32k+2-8k-9能被64整除, 则当n=k+1时,f(k+1)=32(k+1)+2-8(k+1)-9 =9(32k+2-8k-9)+98k+99-8(k+1)-9 =9(32k+2-8k-9)+64(k+1), 即f(k+1)=9f(k)+64(k+1),因此当n=k+1时命题也成立. 根据(1)(2)可知,对于任意n N*,命题都成立. -19- 考点1考点2考点3考点4 例4设数列an的前n项

10、和为Sn,满足 ,n N* , 且S3=15. (1)求a1,a2,a3的值; (2)求数列an的通项公式. 解: (1)由Sn= -3n2-4n,得 S2=4a3-20,S3=S2+a3=5a3-20. 又S3=15,a3=7,S2=4a3-20=8. S2=S1+a2=(2a2-7)+a2=3a2-7, a2=5,a1=S1=2a2-7=3. 综上知a1=3,a2=5,a3=7. -20- 考点1考点2考点3考点4 (2)由(1)猜想an=2n+1(n N*),以下用数学归纳法证明: 当n=1时,猜想显然成立; 假设当n=k(k N*,且k2)时,有ak=2k+1成立, 则Sk=3+5+7

11、+(2k+1) 即当n=k+1时,猜想成立. 由知,数列an的通项公式为an=2n+1(n N*). -21- 考点1考点2考点3考点4 思考解决“归纳猜想证明”问题的一般思路是什么?哪些问题 常用该模式解决? 解题心得解题心得解决“归纳猜想证明”问题的一般思路是:通过观察 有限个特例,先猜想出一般性的结论,再用数学归纳法证明.这种方 法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着 广泛的应用. -22- 考点1考点2考点3考点4 (1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系; (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明. -23- 考点1考点2考点3考点4 -24- 考点1考点2考点3考点4 1.数学归纳法是一种重要