专题六轴对称(20210319213333)

1、轴对称与轴对称图形、知识点:1轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线 成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。2、轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系： 区别：轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线 对折能完全重合。轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。联系：两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。如果把成轴对称的两个

2、图形看成是一个整体，这 个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对 称。常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、 相交的两条直线等。4线段的垂直平分线:垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。（也称线段的中垂线）5. 轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等。如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。6. 怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。二、举例：例1 :判断题： 角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（） 等腰三角形至少有1条对称轴，至

3、多有3条对称轴；（） 关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（） 两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把例2 :下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题 图形空白处填上恰当的图形小正方形组成的L形图方法分别在下图中添方法1方法2方法3画一个小正方形使它成为一个轴对称图形:ABABI例4 :如图，已知：A ABC和直线1，请作出A ABC关于直线1的对称三角形。例5 :如图，DA、CB是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整例6:如图，四边形ABCD是长方形弹子球台面，有黑白

4、两球分别位于E、F两点位置上，试问怎样撞击黑球 E,才能使黑球先碰撞台边 AB反弹后再击中白球F？例7 :如图，要在河边修建一个水泵站，向张庄 A、李庄B送水。修在河边什么地方，可使使用的水管最短?例8 :如图，OA、OB是两条相交的公路，点 P是一个邮电所，现想在 OA、OB上各设立一个投递点，要想 使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？线段、角的轴对称性一、知识点：1线段的轴对称性： 线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线, 另一条是这条线段的垂直平分线。 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。结论：线段的垂

5、直平分线是到线段两端距离相等的点的集合2.角的轴对称性： 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。 角平分线上的点到角的两边距离相等。 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合二、举例：B例1 :已知 ABC中，AB=AC=10 , DE垂直平分 AB，交AC于E,厶BEC的周长是16。求厶ABC的周长.例2 :如图，已知/ AOB及点C、D,求作一点P,使PC=PD，并且使点P到OA、OB的距离相等。例3 :如图，已知直线I及其两侧两点A、B(1) 在直线I上求一点 P,使PA=PB ;(2) 在直线I上求一点Q,使I平分/ AQBIA

6、例4:如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等,可供选择的地址有几处？如何选?b例5 :已知：如图，在A ABC中，0是/ B、/ C外角的平分线的交点，那么点0在/ A的平分线上吗？为什么？D例6 :如图，已知：AD和BC相交于0,Z仁Z 2,Z 3=Z 4。试判断AD和BC的关系，并说明理由。5例7 :已知：如图， ABC中，BC边中垂线ED交BC于E,交BA延长线于 D，过C作CF丄BD于F,交DE 于 G, DF= -BC，试说明/ FCB=- Z BDFGE2 2例8 :已知：在/ ABC中，D是/ ABC平分线上一点，E、F分别在

7、 AB、AC上，且DE=DF。试判断/ BED 与/ BFD的关系，并说明理由.例9 :已知：在 A ABC中，D是BC上一点，DE丄BA于E, DF丄AC于F,且DE=DF.。试判断线段 AD与EF有何关系？并说明理由。例10:如图，已知：在 ABC中，/ BAC = 90 BD平分/ ABC , DE丄BC于E。试说明BD垂直平分 AE等腰三角形的轴对称性一、知识点：1. 等腰三角形的性质： 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（简称“三线合一”）2. 等腰三角形的

8、判定： 如果一个三角形有2个角相等，那么这2个角所对的边也相等；（简称“等角对等边”） 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。3等边三角形： 等边三角形的定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。 等边三角形的性质：等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；等边三角形的每个角都等于 60。 等边三角形的判定：3个角相等的三角形是等边三角形；有两个角等于60的三角形是等边三角形；有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。、举例:例1、如图，已知 D、E两点在线段 BC上，AB = AC, AD = AE，试说明BD=CE的理由？例2 :如图，已知： ABC中，AB = AC , BD和C

9、E分别是/ ABC和/ ACB的角平分线，且相交于 O点试说明厶OBC是等腰三角形；连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系？并说明理由D例3 :如图，已知：AD和BC相交于0,/仁/2,Z 3=7 4。试判断AD和BC的关系，并说明理由。例4 :如图，已知： ABC中，/ C=90, D、E是AB边上的两点，且 AD=AC , BD=BC求/ DCE的度数。例5 :如图，已知： ABC中, FG与DE的关系。BD、CE分别是AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点。试探索例6:如图，已知： ABC中，/ C=90, AC=BC , M是AB的中点, MEF的形状？并说明理由。DE丄B

10、C于E, DF丄AC于F。试判断例7 :如图，已知： ABC为等边三角形，延长 BC到D，延长BA到E, AE=BD，连结EC、ED，试说明例8 :如图，在等边厶ABC中，P为厶ABC内任意一点,PD丄BC于D, PE丄AC于E, PF丄AB于F, AM丄CE=DE 。BCBC于M，试猜想AM、PD、PE、PF之间的关系，并证明你的猜想.等腰梯形的轴对称性、知识点:1等腰梯形的定义:梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行为梯形。梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一 组对边称为腰。等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。AD2、等腰梯形的性质: 等腰梯形是轴对称图形，是两底中点的连线

11、所在的直线。 等腰梯形同一底上两底角相等。 等腰梯形的对角线相等。3. 等腰梯形的判定： 在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形。 补充：对角线相等的梯形是等腰梯形。二、举例：例1填空：1等腰梯形的腰长为12cm, 上底长为15cm，上底与腰的夹角为120,则下底长为 cm.2、 如果一个等腰梯形的二个内角的和为100，那么此梯形的四个内角的度数分别为 .3、 等腰梯形上底的长与腰长相等，而一条对角线与一腰垂直，则梯形上底角的度数是;4、 已知等腰梯形的一个底角等于60，它的两底分别为 13cm和37cm，它的周长为 ;5、如图，在梯形 ABCD 中，AD II BC, AB = CD，/

12、A = 120,对角线 BD 平分/ ABC，贝VZ BDC的度数是;又若AD = 5，贝V BC =6、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD II BC , AB = AD , BD = BC，则Z C=AO = DO .例3 :如图,梯形 ABCD 中，AD II BC,AC=BD。试说明：梯形 ABCD是等腰梯形。例2 :如图，等腰梯形 ABCD中，AD II BC,对角线AC、BD相交于点O试说明:例4 :如图，在等腰梯形 ABCD中，AD II BC, AD = 3cm, BC = 7cm, E为CD的中点，四边形 ABED的周长比 BCE的周长大2 cm,试求AB的长.11例5 :如

13、图，在等腰梯形 ABCD中，AD II BC, AB=CD , M为BC中点，贝V：点M到两腰AB、CD的距离相等吗？请说出你的理由。(2)若连结AM、DM，那么 AMD是等腰三角形吗？为什么？又若N为AD的中点，那么MN丄AD 一定成立你能说明为什么吗 ？例6、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD II BC, AB = CD,E为CD中点，AE与BC的延长线交于F (1) 判断abf和S梯形ABCD有何关系，并说明理由.(2) 判断&abe和S梯形ABCD有何关系，并说明理由.(3) 上述结论对一般梯形是否成立 ？为什么？例7、如图，在梯形 ABCD中，AD II BC , E为CD的中点，

14、AD+BC = AB 贝V：(1) AE、BE分别平分/ DAB、/ ABC吗？为什么？(2) AE丄BE吗?为什么？例 8 :在梯形 ABCD 中，Z B = 90, AB = 14cm , AD = 18cm , BC = 21cm，点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D以1 cm/s的速度移动，点 Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果点 P、Q分别从两点同时出发，多少秒后，梯形 PBQD是等腰梯形?中考试题集考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识轴对称图形：如果 个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做。轴对称：对于

15、个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做 典例1 下列几何图形中，O1线段 角 直角三角形 半圆，其中一定是轴对称图形的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.图9-19中，轴对称图形的个数是()考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形(1 )作出一些关键点或特殊点的对称点.(2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形典例：1、如图，Rt ABC Z C=90 , Z B=30 ,BC=8, D为 AB中点，P为 BC上一动点，连接 AR DP,则 AP+DP的最小值是2、已知等边 ABC

16、E在BC的延长线上，CF平分/ DCE P为射线BC上一点，Q为CF上一点，连接 AP、PQ.若AP=PQ求证/ APC是多少度(2)线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线上的点到相等考点四、线段垂直平分线的性质归类回忆角平分线的性质角是轴对称图形，其对称轴是角平分线上的点到典例 1、如图， ABC中，/ A=90, BD为/ ABC平分线，DEL BC,2、如图， ABC中，AB=AC PB=PC连AP并延长交 BC于D,求证：AD垂直平分 BCD3、如图，DE是 ABC中AC边的垂直平分线，若 BC=8厘米，AB=10厘米，贝V厶EBCA.16厘米B.18 厘米 C.26 厘米 D

17、.28 厘米4、如图，/BAC=30 , P 是/ BAC平分线上一点，PM II AC, PDL ACPD=28 ,贝 y am=的周长为（5、如图，在Rt ABC中，/ ACB = 90,/ BA C的平分线交BC于 D.过C点作CGL AB于G,交AD于E.过D点作DF丄AB于F.下列结论:AD C/ CEDM CDE Sec : S毋eg =AC : AG ;/ ADF=2Z ECD S .ced二S.dfb :CE=DF.其中正确结论的序号是（）A B C D 考点五、等腰三角形的特征和识别等腰三角形的两个 相等（简写成“ ”）等腰三角形的 、互相重合（简称“ ”）特别的：（1）等腰

18、三角形是 图形（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 也相等（简称为“ ”）特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形.（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.(3)有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形.(4)有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形.典例1、如图， ABC 中，AB=AC=8 D 在 BC 上，过 D 作 DE /A B 交交AB于F,则四边形AFDE的周长为2、如图， ABC中，BD CD分别平分/ ABC与Z ACB EF过D 且 EF/ BC,若 AB = 7 ,

19、 BC = 8 , AC = 6，则 AEF周长为(A. 15 B . 14 C. 13 D. 183、如图,点B、D F在AN上,C、E在AM上，且AB=BC=CD=ED=EJFA=20,则/ FEB=134、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40,则它的一个底角的度数是5、A ABC中，DF是AB的垂直平分线，交 BC于D, EG是AC的垂直平分线，交 BC于E,若/ DAE=20，则 / BAC等于6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于7、已知，在 ABC中, Z ACB=90，点D E 在直线 AB上，且 AD=AC B

20、E=BC 则Z DCE=8、如图：在厶 ABC中, AB=AC ADL BC,DEL AB于点E, DF丄AC于点F。试说明 DE=DF9、如图,E在厶ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,ADE交BC于点F,DF=EF BD=CE求证： ABC是等17AG,腰三角形.10、已知：如图， ABC中，Z ACB的平分线交AB于E, EF/ BC交AC于点F,交Z ACB的外角平分线于点 G.试判断EFC的形状，并说明你的理由.11、如图， ABC中，AB/ DC AD= DC= CB AD BC的延长线相交于(1) 请写出图中4组相等的线段(已知的相等线段除外)；(2) 选择(1)中你所写出

21、的一组相等线段，说明它们相等的理由.考点六、等边三角形的特征和识别等边三角形的各相等，各相等并且每一个角都等于三个角相等的三角形是三角形有一个角是60的三角形是等边三角形特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线典例1、下列推理中，错误的是（）A.vZ A=Z B=Z C,.A ABC是等边三角形B . v AB= AC,且/ B=Z C,.A ABC是等边三角形C.vZ A= 60,/ B= 60,.仏 ABC是 等边三角形D . v AB= AC,/ B= 60,仏 ABC是 等边三角形2、如图，等边三角形 ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且 求证：M是BE的中点。3、已知

22、ABC是等边三角形，分别在AC BC上取点E、F,且AE=CF BE AF交于点D,则/ BDF= _度4、如图，点P是等边 ABC内一点，点P到三边的距离分别为求证：PE+PF+PG=AD5、如图,D、E、F分别是等边 ABC各边上的点，且A.等边三角形B 腰和底边不相等的等腰三角形形6、如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合）PE PF、PG 等边 ABC的高为 ADAD=BE=CF则厶DEF?勺形状是（C 直角三角形D 不等边三角在AE同侧分别作等边三角形CABC和等边三角形CDE以下六个结论：AD=BE PQ/ AE; AP=BQ;BCD. 4mAD与 BE交于点O, AD与 B

23、C交于点P, BE与 CC交于点Q 连接PQDE=DP;/ AOB=60 ;CO平分/ AOE其中不正确的有（A. 0 B . 1 C . 2 D . 3考点七、30 所对的直角边是斜边的一半1、如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱则 DE等于（）A. 1m B . 2m C . 3m 2、如图： ADC中,/ A = 15 ，/ D=9C , B在 AC的垂直平分线上， AB =34,则 CD =（）A. 15 B . 17 C. 16 D.以上全不对193、如图，AB=AC DEL AB于 E, DF丄AC于 F,Z BAC=120, BC=6 贝V DE+DF 1图2图

24、4、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=40cm C0=D0=30 cm现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度/ AOB刚好为120，求桌面到地面的距离是多少？甲5、在厶ABC中，AB二AC, . A=120，AB的垂直平分线交 求BC的长乙6、如图，已知：在求证：CF=2BF.BC于点D，交AB于点E 如果DE = 1 ,ABC中, AB=AC Z BAC=120 , AB的垂直平分线交AB于EOCA7、已知：如图， ACD是等边三角形，AE!CD于E, AB丄AC AC= AB,AE、BD相交于 O.求证：BC=2OD.轴对称中考试题集一、填空题1、已知等边三角形 ABC的边长

25、为，则 ABC的周长是 2、如图，在厶ABC中，AB=BC , AB=12cm , F是AB边上一点，过点F作FE/ BC交AC于点E,过点E作ED / AB交BC于点D .则四边形 BDFE的周长是 _一 cm.3、 如图，在 ABC 中，BC=5cm , BP、CP 分别是Z ABC 和Z ACB 的角平分线，且 PD / AB , PE/ AC，则 PDE 的周长是cm .4、 如图， ABC是边长为3的等边三角形， BDC是等腰三角形，且Z BDC=120度.以D为顶点作一个60。角，使其两边分别交 AB于点M，交AC于点N，连接MN，则 AMN的周长为 _一 .5、如图，在等边 AB

26、C中，D、E分别是 AB、AC上的点，且 AD=CE，则Z BCD+ Z CBE=度.6、如图，已知Rt ABC中，Z C=90, Z A=30 , AC=6 .沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕 DE的长=九年级数学兴趣小组在学校的 数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下:237、以边长为2cm的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是cm.8、 如图，将一等边三角形剪去一个角后，/1+ / 2=度.9、 如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a,则六边形的周长是 .

27、10、 如图，在直线 m上摆放着三个正三角形： ABC、 HFG、 DCE，已知BC=CE, F、G分别是BC、CEt-i的中点，FM / AC , GN / DC .设图中三个平行四边形的面积依次是Si, S, S3,若Si+S3=10,则S=. 11、如图，点B是线段AC上一点，分别以AB、BC为边作等边 ABE、 BCD ,连接DE ,已知 BDE的面积是-：,4 AC=4，如果 AB V BC,那么 AB的值是.D12、 正三角形的每一个内角都是 度.13、如图，P、Q是厶ABC的边BC上的两点，且 BP=PQ=QC=AP=AQ，则/ ABC的大小等于 度.15图16图2E、F是AD的

28、三等分点，若 ABC的面积为12cm ,14图AD是BC边上的高，点2 cm .13图14、如图，在 ABC 中，AB=AC , 则图中阴影部分的面积是 _15如图所示，将边长为2的等边三角形沿 x轴正方向连续翻折 2010次，依次得到点P1, P2 , P3-P 2010.则点P2010 的坐标是 _.16、如图，矩形纸片 ABCD , AB=2，/ ADB=30，沿对角线 BD折叠（使 ABD和厶EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为_一二、解答题1、请阅读，完成证明和填空.(1) 如图1，正三角形 ABC中，在 AB、AC边上分别取点 M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现B

29、N=CM ,且/ NOC=60度.请证明：/ NOC=60度.(2) 如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点 M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=且/ DON=度.(3) 如图3，正五边形 ABCDE中，在 AB、BC边上分别取点 M、N，使AM=BN，连接 AN、EM，那么 AN=_ ，且/ EON=度.(4) 在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.请大胆猜测，用一句话概括你的发现： .AD与2、如图，已知 ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD , BE相交于点 F. (1)求证： ABE CAD ;(2)求/ BFD的度数.3、如图，D是等边 ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边 EDC，连接AE，找出图中的一组全等 三角形，并说明理由.4、在厶ABC中，AB=AC，点D是直线 BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作 ADE，使AD=AE，/ DAE= / BAC，连接 CE.(1) 如图1，当点D在线段BC上，如果/ BAC=90，则/ BCE=度;(2) 设/ BACa，/ BCE=B . 如