8-习题课斯托克斯公式[教资优择]

1、一、主要内容一、主要内容 二、二、典型例题典型例题 曲线积分与曲面积分习题课曲线积分与曲面积分习题课 1教资借鉴 （一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系 （三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容一、主要内容 2教资借鉴 曲线积分曲线积分 曲面积分曲面积分 对面积的对面积的 曲面积分曲面积分 对坐标的对坐标的 曲面积分曲面积分 对弧长的对弧长的 曲线积分曲线积分 对坐标的对坐标的 曲线积分曲线积分 定义定义 计算计算 定义定义 计算计算 联系联系 联系联系 （一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 3教资借鉴 曲曲 线线 积积

2、 分分 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 定定 义义 n i iii L sfdsyxf 1 0 ),(lim),( L dyyxQdxyxP),(),( ),(),(lim 1 0 iii n i iii yQxP 联联 系系 dsQPQdyPdx LL )coscos( 计计 算算 dtf dsyxf L 22 , ),( )( dtQP QdyPdx L ),(),( (与方向有关) 4教资借鉴 与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题 条条 件件 在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有 连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数

3、, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . L QdyPdxD与路径无关与路径无关内内在在)1( C DCQdyPdx闭曲线闭曲线, 0)2( QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3( x Q y P D ,)4(内内在在 等等 价价 命命 题题 5教资借鉴 曲曲 面面 积积 分分 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 定定 义义 n i iiii sfdszyxf 1 0 ),(lim),( xyi n i iii SRdxdyzyxR)( ),(lim),( 1 0 联联 系系 RdxdyQdzdxPdydz 计计 算算 (与侧无关) (

4、与侧有关) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xy D yx dxdyzzyxzyxf 22 1),(, dxdyzyxR),( xy D dxdyyxzyxR),(, 6教资借鉴 定积分定积分曲线积分曲线积分 重积分重积分曲面积分曲面积分 计算计算 计算计算 计算计算 Green公式公式 Stokes公式公式 Guass公式公式 （二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系 7教资借鉴 点函数点函数)(,)(lim)( 1 0 MfMfdMf n i i .)()( , 1 b a dxxfdMf baR 时时上区间上区间当当 .),()( , 2 D dyxfdMf

5、 DR 时时上区域上区域当当 积分概念的联系积分概念的联系 定积分定积分 二重积分二重积分 8教资借鉴 dVzyxfdMf R ),()( , 3 时时上区域上区域当当 .),()( , 3 dszyxfdMf R 时时上空间曲线上空间曲线当当 .),()( , 3 S dSzyxfdMf SR 时时上曲面上曲面当当曲面积分曲面积分 曲线积分曲线积分 三重积分三重积分 .),()( , 2 L dsyxfdMf LR 时时上平面曲线上平面曲线当当曲线积分曲线积分 9教资借鉴 计算上的联系计算上的联系 )( ,),(),( )( )( 2 1 面元素面元素 ddxdyyxfdyxf b a xy

6、 xy D )( ,),(),( )( )( ),( ),( 2 1 2 1 体元素体元素dVdzzyxfdydxdVzyxf b a xy xy yxz yxz b aL dsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),( 2 曲曲线元素线元素 b aL dxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影线元素线元素 )(ba 10教资借鉴 xy D yx dxdyzzyxzyxfdszyxf 22 1),(,),( xy D dxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),( 其中其中 dsRQP dxdyRQdzdxPdydz )coscoscos( dsQPQdyPdx L )co

7、scos( )(曲曲面元素面元素ds )(投影投影面元素面元素dxdy 11教资借鉴 理论上的联系理论上的联系 1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系 )()()()()(xfxFaFbFdxxf b a 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式 2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系 )()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdy y P x Q L D 格林公式格林公式 12教资借鉴 3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P )( 高斯公式高斯公式 4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系

8、 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()( RdzQdyPdx 斯托克斯公式斯托克斯公式 13教资借鉴 D L dxdykFrotrdF)( D L dxdyFdivrdF GreenGreen公式公式, ,GuassGuass公式公式, ,StokesStokes公式公式 之间的关系之间的关系 SdFrotrdF RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdx dvFdivsdF dv z R y Q x P RdxdyQdzdxPdydz )( D L dxdy y P x Q QdyPdx)( D L dxdy y Q x

9、P PdyQdx)( 或 推广推广 为平面向量场为平面向量场)(MF 为空间向量场为空间向量场)(MF 14教资借鉴 梯度梯度k z u j y u i x u gradu 通量通量 旋度旋度 环流量环流量 z R y Q x P Fdiv RdxdyQdzdxPdydz k y P x Q j x R z P i z Q y R Frot )()()( RdzQdyPdx 散度散度 （三）（三）场论初步场论初步 15教资借鉴 例例 1 1 计算计算 L dyyxdxxyxI)()2( 422 , , 其中其中L为由点为由点)0 , 0(O到点到点)1 , 1(A的曲线的曲线xy 2 sin

10、. . 思路思路: L QdyPdxI x Q y P x Q y P 0 L QdyPdxI ),( ),( 00 yx yx QdyPdxI 闭合闭合 非闭非闭闭合闭合 D dxdy y P x Q I)( 非闭非闭 补充曲线或用公式补充曲线或用公式 二、二、典型例题典型例题 16教资借鉴 解解 xxyx yy P 2)2( 2 知知 xyx xx Q 2)( 42 , x Q y P 即即 1 0 4 1 0 2 )1(dyydxx故原式故原式. 15 23 x y o 1 1 A dyyxdxxyxI)()2( 422 由由 17教资借鉴 例例 2 2 计算计算 L xx dymyed

11、xmyyeI)cos()sin(, , 其中其中L为由点为由点)0 ,(a到点到点)0 , 0(的上半圆周的上半圆周 0, 22 yaxyx . . 解解myemyye yy P xx cos)sin( yemye xx Q xx cos)cos( x Q y P 即即 ( (如下图如下图) ) 18教资借鉴 x y o )0 ,(aA M dxdy y P x Q D AMOA )( D dxdym , 8 2 a m 0)(0 0 medx x a AO , 0 0 8 2 a m . 8 2 a m AMOAAOAOAOL I AMOAAO I 19教资借鉴 曲面面积的计算法曲面面积的计

12、算法 S Dxy ),(yxfz x y o z dSS xy D yx dxdyzz 22 1 dsyxfS BAL ),( ),( dxyyxf b a 2 1),( z x o y ),(yxfz s L A B a b 20教资借鉴 曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 L D yx dsyxf dffS ),( )11( 22 x z y o ),(yxfz L D 如图曲顶柱体，如图曲顶柱体， 21教资借鉴 例例 3 3 求柱面求柱面1 3 2 3 2 yx在球面在球面1 222 zyx内内 的侧面积的侧面积. . 解解由对称性由对称性 L L dsyx zdsS 22 1 8 , 1

13、: 3 2 3 2 yxL ) 2 0( ,sin ,cos 3 3 t ty tx 参参数数方方程程为为 22教资借鉴 ,cossin3)()( 22 tdttdtyxds tt tdttttScossin3sincos18 2 0 66 tdttttcossincossin324 2 0 22 2 0 22 cossin324tdtt. 2 33 23教资借鉴 在第一卦限部分的上侧在第一卦限部分的上侧为平面为平面 为连续函数为连续函数其中其中 计算计算 1 ,),(,),( ),(2),( zyx zyxfdxdyzzyxf dzdxyzyxfdydzxzyxfI 例例 x y o z 1

14、 1 1 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系 ,1 , 1, 1 n 的的法法向向量量为为 . 3 1 cos, 3 1 cos, 3 1 cos 24教资借鉴 dszzyxfdzdxyzyxf dydzxzyxfI ),( 3 1 ),(2 3 1 ),( 3 1 dszyx)( 3 1 xy D dxdy31 3 1 . 2 1 25教资借鉴 2 2 2222 计计算算 Iydydzxdzdxz dxdy,Iydydzxdzdxz dxdy,其其中中为为 锥锥面面 zxyzxy被被平平面面 z1,z2z1,z2 所所截截部部分分的的 外外侧侧 例例 解解 1 1 2

15、2 补补上上: z2,: z2,取取上上側側 : z1,: z1,取取下下側側 D 利用高斯公式利用高斯公式 2222 xyxy D:xy4D:xy4 2222 xyxy D:xy1D:xy1 26教资借鉴 15151515 1616 . . 2222 1212 2222 2zdvz dxdyz dxdy2zdvz dxdyz dxdy xyxy xyxy 2 2 2 2 1 1 D D D D 2z2z z dz4dxdydxdyz dz4dxdydxdy 1212 1212 2 2 2 2 I(ydydzxdzdxz dxdy)I(ydydzxdzdxz dxdy) (ydydzxdzdx

16、z dxdy)(ydydzxdzdxz dxdy) 27教资借鉴 例例 6 6 计算曲面积分计算曲面积分 yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18( 2 , , 其中其中 是由曲线是由曲线 )31( 0 1 y x yz 绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 所成的曲面所成的曲面, ,它的法向量与它的法向量与y轴正向的夹角恒大于轴正向的夹角恒大于 2 . . 解解 2 22 2 z zy y1 1 绕绕y y轴轴旋旋转转曲曲面面方方程程为为 x x0 0 y y1 1z zx x ( (如下图如下图) ) 28教资借鉴 x y z o13 2 * * I且有且有 dxdydz z R y Q

17、 x P )( * dxdydzyyy)4418( yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18( 2 欲求欲求 dv xz D 3 1 dxdzdy 2dy)1y( 3 1 29教资借鉴 * 2 )31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 30教资借鉴 222222 222222 例例7 :7 : 在在变变力力 Fyz izx jxy kFyz izx jxy k 的的作作用用下下, ,质质点点 xyzxyz 由由原原点点沿沿直直线线运运动动到到椭椭球球面面1 1上上第第 abcabc 一一卦卦限限的的点点M(M( , , , ,),),问问当当 , , , ,取取何何值值时

18、时, ,力力 F F 所所 作作的的功功W W最最大大 ? ? 并并求求出出W W的的最最大大值值. . ) 9 3 3 , 3 , 3 ,(abcW cba W 时时 31教资借鉴 一、一、 选择题选择题: : 1 1、 设设L为为 2 3 0, 0 yxx, ,则则 L ds4的值为的值为( ).( ). (A) (A) 0 4x， (B) (B),6 (C) (C) 0 6x. . 2 2、 设设L为直线为直线 0 yy 上从点上从点),0( 0 yA到点到点),3( 0 yB的的 有向直线段有向直线段, ,则则 Ldy2=( ).=( ). (A (A)6; (B) )6; (B) 0

19、 6y; (C)0.; (C)0. 3 3、 若若L是上半椭圆是上半椭圆 ,sin ,cos tby tax 取顺时针方向取顺时针方向, ,则则 L xdyydx的值为的值为( ).( ). (A (A) )0 0; (B); (B)ab 2 ; (C); (C)ab . . 测验题测验题 32教资借鉴 4 4、设、设),(,),(yxQyxP在单连通区域在单连通区域D内有一阶连续内有一阶连续 偏导数偏导数, ,则在则在D内与内与 L QdyPdx路径无关的条件路径无关的条件 Dyx y P x Q ),(,是是( ).( ). (A) (A)充分条件充分条件; (B); (B)必要条件必要条

20、件; (C); (C)充要条件充要条件. . 5 5、设、设 为球面为球面1 222 zyx, , 1 为其上半球面为其上半球面, ,则则 ( ) ( )式正确式正确. . (A) (A) 1 2zdszds; ; (B) (B) 1 2zdxdyzdxdy; ; (C) (C) 1 22 2dxdyzdxdyz. . 33教资借鉴 6 6、若、若 为为)(2 22 yxz 在在xoy面上方部分的曲面面上方部分的曲面 , , 则则 ds等于等于( ).( ). (A) (A) r rdrrd 0 2 2 0 41 ;(B);(B) 2 0 2 2 0 41rdrrd ; ; (C)(C) 2

21、0 2 2 0 41rdrrd . . 7 7、若、若 为球面为球面 2222 Rzyx 的外侧的外侧, ,则则 zdxdyyx 22 等于等于( ).( ). (A) (A) xy D dxdyyxRyx 22222 ; ; (B) (B) 2 2 xy D dxdyyxRyx 22222 ; ; (C) 0(C) 0 . . 34教资借鉴 8 8、曲曲面面积积分分 dxdyz 2 在在数数值值上上等等于于( ( ) ). . ( (A A) ) 向向量量iz 2 穿穿过过曲曲面面 的的流流量量； ( (B B) ) 面面密密度度为为 2 z的的曲曲面面 的的质质量量； ( (C C) )

22、向向量量kz 2 穿穿过过曲曲面面 的的流流量量 . . 9 9、设设 是是球球面面 2222 Rzyx 的的外外侧侧, , xy D是是xoy面面 上上的的圆圆域域 222 Ryx , ,下下述述等等式式正正确确的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) xy D dxdyyxRyxzdsyx 2222222 ； ( (B B) ) xy D dxdyyxdxdyyx)()( 2222 ； ( (C C) ) xy D dxdyyxRzdxdy 222 2. . 35教资借鉴 1 10 0、若若 是是空空间间区区域域 的的外外表表面面, ,下下述述计计算算中中运运用用高高斯斯 公公式式

23、正正确确的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 外侧外侧 dxdyyzdydzx)2( 2 = = dxdydzx)22(； ( (B B) ) 外侧外侧 zdxdyydzdxxdydzyzx 23 2)( = = dxdydzxx)123( 22 ； ( (C C) ) 内侧内侧 dxdyyzdydzx)2( 2 = = dxdydzx)12(. . 36教资借鉴 二、计算下列各题二、计算下列各题: : 1 1、求、求 zds , ,其中其中 为曲线为曲线 , ,sin ,cos tz tty ttx )0( 0 tt ； 2 2、求、求 L xx dyyedxyye)2cos()

24、2sin(, ,其中其中L为上为上 半圆周半圆周 222 )(ayax , ,0 y, ,沿逆时针方向沿逆时针方向 . . 三、计算下列各题三、计算下列各题: : 1 1、求、求 222 zyx ds 其中其中 是界于平面是界于平面Hzz 及及0 之间的圆柱面之间的圆柱面 222 Ryx ； 37教资借鉴 2 2、 求求 dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()( 222 ， 其中其中 为锥面为锥面)0( 22 hzyxz 的外侧；的外侧； 3 3、 3222 )(zyx zdxdyydzdxxdydz 其中其中 为曲面为曲面 9 )1( 16 )2( 5 1 22 yxz )0( z的

25、上侧的上侧 . . 四、证明四、证明: : 22 yx ydyxdx 在整个在整个xoy平面除去平面除去y的负半轴及的负半轴及 原点的开区域原点的开区域G内是某个二元函数的全微分内是某个二元函数的全微分, ,并并 求出一个这样的二元函数求出一个这样的二元函数 . . 五、求均匀曲面五、求均匀曲面 222 yxaz 的重心的坐标的重心的坐标 . . 38教资借鉴 六、求向量六、求向量kzjyixA 通过区域通过区域: ,10 x 10,10 zy的边界曲面流向外侧的通量的边界曲面流向外侧的通量 . . 七、流体在空间流动七、流体在空间流动, ,流体的密度流体的密度 处处相同处处相同( (1 ),

26、), 已知流速函数已知流速函数kzyjyxixzV 222 , ,求流体在单求流体在单 位时间内流过曲面位时间内流过曲面zzyx2: 222 的流量的流量( (流流 向外侧向外侧) )和沿曲线和沿曲线:Lzzyx2 222 , ,1 z的环流的环流 量量( (从从z轴正向看去逆时针方向轴正向看去逆时针方向) .) . 39教资借鉴 测验题答案测验题答案 一、一、1 1、B B； 2 2、C C； 3 3、C C； 4 4、C C； 5 5、B B； 6 6、C C； 7 7、B B； 8 8、C C； 9 9、C C； 10 10、B B. . 二、二、1 1、 3 22)2( 2 3 2 0

27、 t ； 2 2、 2 a . . 三、三、1 1、 R H arctan2 ； 2 2、 4 4 h ； 3 3、0 0. . 四、四、)ln( 2 1 ),( 22 yxyxu . . 五、五、) 2 , 0 , 0( a . . 六、六、3.3. 七、七、0 , 15 32 . . 40教资借鉴 常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数 一一 般般 项项 级级 数数 正正 项项 级级 数数 幂级数幂级数三角级数三角级数 收收 敛敛 半半 径径 R R 泰勒展开式泰勒展开式 数或函数数或函数函函 数数数数 任任 意意 项项 级级 数数 傅氏展开式傅氏展开式 傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数

28、 0)(xR 为常数为常数 n u)(xuu nn为函数 为函数 满足狄满足狄 氏条件氏条件 0 xx 取取 在收敛在收敛 级数与数级数与数 条件下条件下 相互转化相互转化 一、主要内容一、主要内容 41教资借鉴 n n n uuuuu 321 1 1 1、常数项级数、常数项级数 常数项级数收敛常数项级数收敛( (发散发散) ) n n s lim存在存在( (不存在不存在) ). . n i inn uuuus 1 21 级数的部分和级数的部分和 定义定义 级数的收敛与发散级数的收敛与发散 42教资借鉴 性质性质1 1: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,

29、 , 敛散性不变敛散性不变. . 性质性质2 2: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. . 性质性质3 3: :在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性散性. 性质性质4 4: :收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和于原来的和. . . 0lim n n u级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: 收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质 43教资借鉴 常数项级数审敛法常数项级数审敛法 正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数 1. 2. 4.充要条件充要条件 5.比较法比较法 6.比值法比

30、值法 7.根值法根值法 4.绝对收敛绝对收敛 5.交错级数交错级数 (莱布尼茨定理莱布尼茨定理) 3.按基本性质按基本性质; ;,则级数收敛则级数收敛若若SSn ;, 0,则级数发散则级数发散当当 n un 一般项级数一般项级数 4.绝对收敛绝对收敛 44教资借鉴 定义定义 0, 1 n n n uu .有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛 n s 2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法 审敛法审敛法 (1) (1) 比较审敛法比较审敛法 若若 1n n u收敛收敛( (发散发散) )且且)( nnnn vuuv , , 则则 1n n v收敛收敛( (发散

31、发散) ). . 45教资借鉴 (2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式 设设 1n n u与与 1n n v都是正项级数都是正项级数,如果如果l v u n n n lim, 则则(1) 当当 l0时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; (2) 当当 0 l 时，若时，若 1n n v收敛收敛,则则 1n n u收敛收敛; (3) 当当 l 时时, 若若 1n n v发散发散,则则 1n n u发散发散; 46教资借鉴 设设 1n n u为正项级数为正项级数, 如果如果0lim lnun n (或或 n n nulim), 则级数则级数 1n n u发散发散; 如果

32、有如果有1 p, 使得使得 n p n un lim存在存在, 则级数则级数 1n n u收敛收敛. (3) (3) 极限审敛法极限审敛法 47教资借鉴 (4) (4) 比值审敛法比值审敛法( (达朗贝尔达朗贝尔 D DAlembertAlembert 判别法判别法) ) 设设 1n n u是是正正项项级级数数,如如果果)(lim 1 数数或或 n n n u u 则则1 时级数收敛时级数收敛;1 时级数发散时级数发散; 1 时失效时失效. (5) (5) 根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) ) 设设 1n n u是正项级数是正项级数, , 如果如果 n n n ulim)(

33、为数或为数或 , , 则则1 时级数收敛时级数收敛; ; 1 时级数发散时级数发散; ;1 时失效时失效. . 48教资借鉴 定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错级数、负项相间的级数称为交错级数. . n n n n n n uu 11 1 )1()1(或或 莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: : ( () ), 3 , 2 , 1( 1 nuu nn ;(;() )0lim n n u, ,则则 级数收敛级数收敛, , 且其和且其和 1 us , , 其余 项其余 项 n r的绝对值的绝对值 1 nn ur. . )0( n u其中其中 3 3、交错级数

34、及其审敛法、交错级数及其审敛法 49教资借鉴 定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定理定理 若若 1n n u收敛收敛,则则 1n n u收敛收敛. 定义定义: :若若 1n n u收敛收敛, , 则称则称 0n n u为绝对收敛为绝对收敛; ; 若若 1n n u发发散散, ,而而 1n n u收收敛敛, , 则则称称 1n n u为为条条件件收收敛敛. . 4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法 50教资借鉴 5 5、函数项级数、函数项级数 (1) (1) 定义定义 设设),(,),(),( 21 xuxuxu n 是是定定

35、义义在在RI 上上 的的函函数数, ,则则 )()()( 21 1 xuxuxu n n 称称为为定定义义在在区区间间I上上的的( (函函数数项项) )无无穷穷级级数数. . (2) (2) 收敛点与收敛域收敛点与收敛域 如如果果Ix 0 ,数数项项级级数数 1 0 )( n n xu收收敛敛, 51教资借鉴 则称则称 0 x为级数为级数)( 1 xu n n 的的收敛点收敛点, ,否否则则称称为为发发散散点点. . 所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域. . 函数项级数函数项级数)( 1 xu n n 的所有收敛点的全体称为的所有收敛点的全体称为收敛域收敛域, , (3) (

36、3) 和函数和函数 在收敛域上在收敛域上, ,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数)(xs, , 称称)(xs为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数. . 52教资借鉴 (1) (1) 定义定义 形如形如 n n n xxa)( 0 0 的级数称为的级数称为幂级数幂级数. ,0 0 时时当当 x 其其中中 n a为为幂幂级级数数系系数数. 6 6、幂级数、幂级数 n n nx a 0 53教资借鉴 如如果果级级数数 0n n n xa在在 0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足 不不等等式式 0 xx 的的一一切切x处处发发散散. . 定理定理 1 (1 (AbelAbe

37、l 定理定理) ) 如如果果级级数数 0n n n xa在在)0( 00 xxx处处收收敛敛, ,则则 它它在在满满足足不不等等式式 0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛; ; (2) (2) 收敛性收敛性 54教资借鉴 如如果果幂幂级级数数 0n n n xa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也 不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定 的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: : 当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ; 当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散; 当当RxRx 与与时时, ,幂级

38、数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. . 推论推论 55教资借鉴 定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间. 定理定理 2 2 如果幂级数如果幂级数 0n n n xa的所有系数的所有系数0 n a, 设设 n n n a a 1 lim (或或 n n n alim) (1) 则则当当0 时时, 1 R; (3) 当当 时时,0 R. (2) 当当0 时时, R; 56教资借鉴 a.a.代数运算性质代数运算性质: : 加减法加减法 00n n n n n n xbxa. 0 n n n

39、 xc (其中其中 21, minRRR ) nnn bac RRx, , 21 00 RRxbxa n n n n n n 和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 (3)(3)幂级数的运算幂级数的运算 57教资借鉴 乘法乘法 )()( 00 n n n n n n xbxa. 0 n n n xc RRx, (其中其中 ) 0110 bababac nnnn 除法除法 0 0 n n n n n n xb xa . 0 n n n xc )0( 0 n n n xb收敛域内收敛域内 58教资借鉴 b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: : 幂幂级级数数 0n n nx a的的和

40、和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间 ),(RR 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续. 幂级数幂级数 0n n nx a的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间 ),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx 可逐项积分可逐项积分. 幂级数幂级数 0n n nx a的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间 ),(RR 内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次. 59教资借鉴 7 7、幂级数展开式、幂级数展开式 如果如果)(xf在点在点 0 x处任意阶可导处任意阶可导,则幂级数则幂级数 n n n xx n xf )( ! )( 0 0 0

41、 )( 称为称为)(xf在点在点 0 x的的泰勒级数泰勒级数. n n n x n f 0 )( ! )0( 称为称为)(xf在点在点 0 x的的麦克劳林级数麦克劳林级数. (1) 定义定义 60教资借鉴 定理定理 )(xf在点在点 0 x的泰勒级数的泰勒级数, ,在在)( 0 xU 内收内收 敛于敛于)(xf在在)( 0 xU 内内0)(lim xRn n . . (2) 充要条件充要条件 (3) 唯一性唯一性 定理定理 如果函数如果函数)(xf在在)( 0 xU 内内能能展开成展开成)( 0 xx 的幂级数的幂级数, , 即即 n n n xxaxf)()( 0 0 , , 则其系数则其系

42、数 ), 2 , 1 , 0()( ! 1 0 )( nxf n a n n 且展开式是唯一的且展开式是唯一的. . 61教资借鉴 (3) 展开方法展开方法 a.a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) ) 步骤步骤:; ! )( )1( 0 )( n xf a n n 求求 ,)(0lim)2( )( MxfR n n n 或或讨论讨论 ).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收 b.b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过 变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积逐项积 分分等方法等

43、方法,求展开式求展开式. 62教资借鉴 ),( ! 1 ! 2 1 1 2 xx n xxe nx )!12( )1( ! 5 1 ! 3 1 sin 12 53 n x xxxx n n ),( x )!2( )1( ! 4 1 ! 2 1 1cos 2 42 n x xxx n n ),( x (4) 常见函数展开式常见函数展开式 63教资借鉴 )1 , 1( x n x n n xx x ! )1()1( ! 2 )1( 1 )1( 2 )1ln(x n x xxx n n 132 )1( 3 1 2 1 1 , 1( x 64教资借鉴 (5) 应用应用 a.a.近似计算近似计算 b.b

44、.欧拉公式欧拉公式 ,sincosxixe ix , 2 cos itit ee t , 2 sin i ee t itit 65教资借鉴 (1) (1) 三角函数系三角函数系 ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx .,上的积分等于零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在 正交性正交性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx 三角函数系三角函数系 8 8、傅里叶级数、傅里叶级数 66教资借鉴 nm nm nxdxmx , , 0 sinsin nm nm nxdxmx , , 0 coscos 0cossin nxdxmx), 2 , 1

45、,( nm其其中中 (2) (2) 傅里叶级数傅里叶级数 1 0 )sincos( 2n nn nxbnxa a 定义定义三角级数三角级数 67教资借鉴 其中其中 ), 2 , 1(,sin)( 1 ), 2 , 1 , 0(,cos)( 1 nnxdxxfb nnxdxxfa n n 称为傅里叶级数称为傅里叶级数. 1 0 )sincos( 2n nn nxbnxa a 68教资借鉴 (3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件( (收敛定理收敛定理) ) 设设)(xf是是以以 2为为周周期期的的周周期期函函数数.如如果果它它满满足足 条条件件

46、:在在一一个个周周期期内内连连续续或或只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断 点点,并并且且至至多多只只有有有有限限个个极极值值点点,则则)(xf的的傅傅里里叶叶级级 数数收收敛敛,并并且且 (1) 当当x是是)(xf的连续点时的连续点时,级数收敛于级数收敛于)(xf; (2) 当当x是是)(xf的间断点时的间断点时, 收敛于收敛于 2 )0()0( xfxf ; (3) 当当x为为端端点点 x时时,收收敛敛于于 2 )0()0( ff . 69教资借鉴 如果如果)(xf为奇函数为奇函数, 傅氏级数傅氏级数nxb n n sin 1 称为称为正弦级数正弦级数. (4) (4) 正弦级数与余弦

47、级数正弦级数与余弦级数 当当周周期期为为 2的的奇奇函函数数)(xf展展开开成成傅傅里里叶叶 级级数数时时,它它的的傅傅里里叶叶系系数数为为 ), 2 , 1(sin)( 2 ), 2 , 1 , 0(0 0 nnxdxxfb na n n 70教资借鉴 当周期为当周期为 2的偶函数的偶函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数 时时,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(0 ), 2 , 1 , 0(cos)( 2 0 nb nnxdxxfa n n 如果如果)(xf为偶函数为偶函数, 傅氏级数傅氏级数nxa a n n cos 21 0 称为称为余弦级数余弦级数. 71教资

48、借鉴 奇延拓奇延拓: 0)( 00 0)( )( xxf x xxf xF令令 的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf .sin)( 1 n n nxbxf)0( x (5) (5) 周期的延拓周期的延拓 72教资借鉴 偶延拓偶延拓: 0)( 0)( )( xxf xxf xF令令 的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 1 0 cos 2 )( n n nxa a xf)0( x 73教资借鉴 式为式为则它的傅里叶级数展开则它的傅里叶级数展开的条件的条件 满足收敛定理满足收敛定理的周期函数的周期函数设周期为设周期为 , )(2xfl ),sincos( 2 )( 1 0 l xn b l xn

49、a a xf n n n 式式的周期函数的傅氏展开的周期函数的傅氏展开周期为周期为 l 2)6( ), 2 , 1 , 0(,cos)( 1 ndx l xn xf l a l l n ), 2 , 1(,sin)( 1 ndx l xn xf l b l l n 74教资借鉴 二、典型例题二、典型例题 ; ) 1 ( )1( : 1 1 n n n n n n n 判断级数敛散性判断级数敛散性例例1 1 解解 n n n n n n nn u ) 1 ( 1 , ) 1 1( 2 1 n n n n 75教资借鉴 n n n n n nn 1 22 ) 1 1(lim) 1 1(lim 2

50、; 1 0 e x x n n xn 11 limlim ln 1 limexpx x x 1 limexp x x ; 1 0 e , 01lim n n u 根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散 76教资借鉴 ; 2 3 cos )2( 1 2 n n n n 解解, 22 3 cos 2 nn n n n n u , 2 nn n v 令令 n n v v n n n n n n 2 2 1 limlim 1 1 n n n 2 1 lim , 1 2 1 , 2 1 收敛收敛 n n n 根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛 77教资借鉴

51、 1 ).0( ) 1 ( )2ln( )3( n n a n a n 解解 n a n u n n n n n 1 )2ln( limlim , )2ln(lim 1 n n n a ,2,2 n enn 时时从而有从而有 ,)2ln(1 n n nn , 1lim n n n由于由于, 1)2ln(lim n n n . 1 lim a u n n n 78教资借鉴 ,1 1 00时时即即当当 a a原级数收敛；原级数收敛； ,1 1 10时时即即当当 a a原级数发散；原级数发散； ,1时时当当 a, ) 1 1( )2ln( 1 n n n n 原级数为原级数为 , ) 1 1( )2

52、ln( lim n n n n 原级数也发散原级数也发散 79教资借鉴 敛？是条件收敛还是绝对收 敛？如果收敛，是否收判断级数 1 ln ) 1( n n nn 例例 解解, 1 ln 1 nnn , 1 1 发散发散而而 n n , ln 1 ln ) 1( 11 发散 nn n nnnn 即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛 80教资借鉴 , ln )1( 1 级数级数是交错是交错 n n nn 由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理： x x n n xn ln lim ln lim , 0 1 lim x x , 0 ln 1 1 lim ln 1 lim n n n nn nn ),0(ln

53、)( xxxxf ),1(0 1 1)( x x xf 81教资借鉴 ,), 1(上单增上单增在在, ln 1 单减单减即即 xx ,1 ln 1 时单减时单减当当故故 n nn ),1( )1ln()1( 1 ln 1 1 nu nnnn u nn 所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛 82教资借鉴 .)1)(1( 0 敛域及和函数敛域及和函数收收求级数求级数 n n xn例例 解解, 1)1)(1( 0 Rxn n n 敛半径为敛半径为的收的收 , 111 x收收敛敛域域为为, 20 x即即 则有则有设此级数的和函数为设此级数的和函数为),(xs .

54、)1)(1()( 0 n n xnxs 两边逐项积分两边逐项积分 83教资借鉴 0 1 1 )1( n xn x 0 11 )1)(1()( n x n x dxxndxxs 0 1 )1( n n x )1(1 1 x x , 2 1 x x 求导，得求导，得两边再对两边再对 x ) 2 1 ()( x x xs. )2( 1 2 x 84教资借鉴 . 1lnarctan)( 2 克劳林级数克劳林级数 展开成麦展开成麦将将xxxxf 例例4 4 解解, 32 )1ln( 32 xx xx ,)1( 32 )1ln( 2 1 64 22 n xxx xx n n )11( x x dx x x

55、 0 2 1 1 arctan又又 x nn dxxxxx 0 2642 )1(1 85教资借鉴 12 )1( 753 12753 n xxxx x n n )11( x 1 2 1 0 22 2 )1( 2 1 12 )1( 1lnarctan n n n n n n n x n x xxx故故 0 22 0 22 22 )1( 2 1 12 )1( n n n n n n n x n x . )22)(12( )1( 0 22 n n n nn x )11( x 86教资借鉴 的幂级数的幂级数成成 的和函数展开的和函数展开将级数将级数 )1( )!12(2 )1( 12 1 1 1 x n

56、 x n n n n 例例5 5 解解 设法用已知展开式来解设法用已知展开式来解 的展开式，的展开式，是是分析分析x n x n n n sin )!12( )1( 1 12 1 1 12 1 1 12 1 1 ) 2 ( )!12( )1( 2 )!12(2 )1( n n n n n n n x nn x 2 sin2 x 2 11 sin2 x 87教资借鉴 2 1 sin 2 1 cos2 2 1 cos 2 1 sin2 xx 0 12 0 2 1 ) 2 1 ( )!12( )1( 2 1 cos2 ) 2 1 ( )!2( )1( 2 1 sin2 n n n n n n x n

57、 x n 0 12 0 2 )1( )!12(2 )1( 2 1 cos )1( )!2(2 )1( 2 1 sin2 n n n n n n n n x n x n ),( 88教资借鉴 形形函数，同时画出它的图函数，同时画出它的图 写出该级数的和写出该级数的和的正弦级数并在的正弦级数并在 为周期为周期内展开成以内展开成以在在将将 22 20cos x xx例例6 6 解解 ,cos ),(,sincos 2), 0(cos)( 1 进行奇开拓进行奇开拓内对内对 必须在必须在周期的正弦级数周期的正弦级数 为为内展开成以内展开成以在在要将要将 x nxbx xxf n n ),0 ,(cos

58、, 00 ), 0(cos )( xx x xx xF令令 89教资借鉴 0 sincos 2 nxdxxbn 0 )1sin()1sin( 1 dxxnxn 1 )1(1 1 )1(1 1 11 nn nn mn n n mno 2, )1( 4 12, 2 )1( n , 0 n a 90教资借鉴 0 1 2sin 1 xdxb, 0 1 2 )0(.2sin )14( 8 cos m xmx m m x 上级数的和函数为上级数的和函数为在在 22x ),2 ,()0 ,(cos 2, 00 ),2(), 0(,cos )( xx x xx xs 91教资借鉴 和函数的图形为和函数的图形为

59、 x y o 2 2 92教资借鉴 的和的和由此求级数由此求级数为周期的付氏级数，并为周期的付氏级数，并以以 内展开成内展开成将函数将函数 1 2 1 2 )11(2)( n n xxxf例例7 7 解解,)11(2)(是是偶偶函函数数 xxxf 1 0 0 )2( 1 2 dxxa, 5 1 0 1 cos)2( 1 2 dx xn xan 1 0 cos2xdxnx 1 0 sin 2 xnxd n 1)1( 2 22 n n 93教资借鉴 12, 4 2, 0 22 kn n kn ), 2 , 1( k , 0 n b 1 22 )12cos( )12( 4 2 5 2 k xk k

60、x故故 1 22 . )12( )12cos(4 2 5 k k xk )11( x 94教资借鉴 , 0 x取取由上式得由上式得 1 22 , )12( 14 2 5 2 k k 1 2 2 , 8)12( 1 k k 1 2 1 2 1 2 )2( 1 )12( 11 kkn kkn 而而 , 1 4 1 )12( 1 1 2 1 2 kk kk 3 4 8 1 2 1 2 n n . 6 2 95教资借鉴 2222 2 2 n 1n 1 x x cos nxxcos nxxx x 426426n n 证明：当时， 例例8 8 解解, 24 )( 2 xx xf 设设 上展开成余弦级数：上