11.1.2三角形的高、中线与角平分线[教资优择]

1、你还记得你还记得 “过一点画过一点画 已知直线的垂线已知直线的垂线” 吗吗? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 1教资借鉴 过三角形的一个顶点，你能画出过三角形的一个顶点，你能画出 它的对边的垂线吗它的对边的垂线吗? B A C 2教资借鉴 3教资借鉴 1了解三角形的高、中线、角平分线等有了解三角形的高、中线、角平分线等有 关概念关概念 2掌握任意三角形的高、中线、角平分线掌握任意三角形的高、中线、角平分线 的画法，通过观察认识到三角形的三条高、三条的画法，通过观察认识到三角形的三条高、三条 中线、三条角平分线分别交于一点中线、三条角

2、平分线分别交于一点 3提高动手操作及解决问题的能力提高动手操作及解决问题的能力 4教资借鉴 经历探索与三角形有关的线段的过程，发经历探索与三角形有关的线段的过程，发 现学习几何的乐趣、发展空间观念现学习几何的乐趣、发展空间观念 培养良好的几何推理和简单的分析思想，培养良好的几何推理和简单的分析思想， 感受三角形高线、中线与角平分线的巧妙与美感受三角形高线、中线与角平分线的巧妙与美 感感 5教资借鉴 1了解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解三角形的高、中线与角平分线的概念， 会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线 2了解三角形的三条高、三条中线与

3、三条角了解三角形的三条高、三条中线与三条角 平分线分别交于一点平分线分别交于一点 1三角形平分线与角平分线的区别，三角形三角形平分线与角平分线的区别，三角形 的高与垂线的区别的高与垂线的区别 2钝角三角形高的画法钝角三角形高的画法 3不同的三角形三条高的位置关系不同的三角形三条高的位置关系 6教资借鉴 从三角形的一个顶点向它的对边所在从三角形的一个顶点向它的对边所在 的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 三角形的高三角形的高 AD BC， AD是是 ABC的的BC边上边上 的高的高 AD是是 ABC 的的BC边上边上 的高，的高， AD BC A B C

4、 D 三角形的高 7教资借鉴 试着做其他两条边上的高试着做其他两条边上的高 A B C E F 8教资借鉴 用三角尺分别作锐角三角形用三角尺分别作锐角三角形ABC，直，直 角三角形角三角形DEF和钝角三角形和钝角三角形GHI的各边上的各边上 的高观察三条高线是否交于一点？的高观察三条高线是否交于一点？ A B C E F D 锐角三角形的三条高线相交于三角锐角三角形的三条高线相交于三角 形内部形内部 9教资借鉴 直角三角形的三条高交于直角顶点直角三角形的三条高交于直角顶点 D EF O 10教资借鉴 G H I P Q 钝角三角形的三条高相交于三角形的外部钝角三角形的三条高相交于三角形的外部.

5、 M 11教资借鉴 高高锐角三角形锐角三角形直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形 条数条数 位置位置 垂足垂足 交点交点 图形图形 333 都在三角都在三角 形内部形内部 直角边上的高分别与直角边上的高分别与 另一条直角边重合，另一条直角边重合， 还有一条高在三角形还有一条高在三角形 内部内部 夹钝角两边上的高夹钝角两边上的高 在三角形外部，另在三角形外部，另 一条高在内部一条高在内部 在相应顶点在相应顶点 的对边上的对边上 是直角的顶点是直角的顶点 在斜边上在斜边上 在相应顶点的对在相应顶点的对 边的延长线上边的延长线上 在钝角的对边上在钝角的对边上 在三角形内部在三角形内部 在直角顶点

6、在直角顶点在三角形外部在三角形外部 三角形中三条高线位置与三角形之间的关系 12教资借鉴 在三角形中，连接一个顶点与它对应边在三角形中，连接一个顶点与它对应边 中点的线段，叫做这个三角形这条边的中中点的线段，叫做这个三角形这条边的中 线线 三角形的中线 D A B C BDDC 13教资借鉴 A B C D AD是是 ABC的中线，的中线， BD=CD= BC 1 2 14教资借鉴 试着画其他两条边上的中线试着画其他两条边上的中线 A B C FE 15教资借鉴 A B C 用直尺分别作锐角三角形用直尺分别作锐角三角形ABC，直角，直角 三角形三角形DEF和钝角三角形和钝角三角形GHI的各边上

7、的的各边上的 中线中线 锐角三角形的三条中线相交于一点，锐角三角形的三条中线相交于一点， 交点在三角形的内部交点在三角形的内部 D E F O 16教资借鉴 D EF P O I 直角三角形的三条中线相交于一点，直角三角形的三条中线相交于一点， 交点在三角形的内部交点在三角形的内部 17教资借鉴 G H I M N P 钝角三角形的三条中线相交于一点，钝角三角形的三条中线相交于一点， 交点在三角形的内部交点在三角形的内部 18教资借鉴 试把三角形试把三角形ABC分成面积大小相同的分成面积大小相同的 4个小三角形，有多少种分法？个小三角形，有多少种分法？ A B C 19教资借鉴 三角形的角平分

8、线 在三角形中，一个内角的平分线与它的对在三角形中，一个内角的平分线与它的对 边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫 做三角形的角平分线做三角形的角平分线 A CBD 1 2 12 20教资借鉴 AD是是 ABC的角平分线，的角平分线， A BD 1 2 BAD = CAD = ABC 1 2 C 21教资借鉴 试着做其他两个角的角平分线试着做其他两个角的角平分线 F E A B C BE是是ABC的角平分线的角平分线 _ _ 1 2 ACB=2_=2_ ABECBEABC ACF CF是是ABC的角平分线，的角平分线， BCF 22教资借鉴 三角形的

9、三条角平分线相交于三角形的三条角平分线相交于 一点，交点在三角形的内部一点，交点在三角形的内部 任意画一三角形作出各角的角平任意画一三角形作出各角的角平 分线，你发现了什么？分线，你发现了什么？ C A B F E D O 23教资借鉴 1三角形的角平分线是一条线段三角形的角平分线是一条线段. 2三角形的角平分线平分所对应的角三角形的角平分线平分所对应的角 注意注意 24教资借鉴 如图，在如图，在ABC中，中， 1=2，G为为AD 中点，延长中点，延长BG交交AC于于E，F为为AB上一点，上一点， CFAD于于H，判断下列说法那些是正确的，判断下列说法那些是正确的， 哪些是错误的哪些是错误的

10、（1）AD是是ABE的角平分线的角平分线 ( ) （2）BE是是ABD边边AD上的中线上的中线 ( ) （3）BE是是ABC边边AC上的中线上的中线 ( ) （4）CH是是ACD边边AD上的高上的高 ( ) A BC D E 1 2 F G H 25教资借鉴 三条角平分线的交点三条角平分线的交点内心内心 三边的垂直平分线的交点三边的垂直平分线的交点外心外心 三条中线的交点三条中线的交点重心重心 三条高（所在直线）的交点三条高（所在直线）的交点垂心垂心 三角形的“四心” 26教资借鉴 ? D ? C ? B ? A ? D ? C ? B ? A ? 2 ? 1 ? D ? C ? B ? A

11、三角形的 重要线段 概念图形表示法 三角形 的高线 从三角形的一个 顶点向它的对边 所在的直线作垂 线，顶点和垂足 之间的线段 AD是ABC的BC上的高 线 ADBC ADB=ADC=90 三角形 的中线 三角形中，连结 一个顶点和它对 边中点的线段 AD是ABC的BC上的中 线 BD=CD= BC 三角形的 角平分线 三角形一个内角 的平分线与它的 对边相交，这个 角顶点与交点之 间的线段 AD是ABC的BAC 的平分线 1=2= BAC 1 2 1 2 27教资借鉴 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角如果一个三角形的三条高的交点恰是三角 形的一个顶点，那么这个三角形是（形的一个顶点，那么

12、这个三角形是（ ） A锐角三角形锐角三角形 B直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D不等边三角形不等边三角形 B 28教资借鉴 2如图所示，在如图所示，在ABC中，中，ACB=90， 把把ABC沿直线沿直线AC翻折翻折180，使点，使点B 落在点落在点B 的位置，则线段的位置，则线段AC具有性质具有性质( ) A是边是边BB上的中线上的中线 B是边是边BB上的高上的高 C是是BAB的角平分线的角平分线 D以上三种性质合一以上三种性质合一 ? B ? ? C ? B ? A D 29教资借鉴 3如图所示，如图所示，D、E分别是分别是ABC的边的边AC， C的中点，则下列说法正确的是的中

13、点，则下列说法正确的是( ) ADE是是ABC的中线的中线 BAD是是ABC的中线的中线 CAD=DCBD=EC DAD=DC，BE=EC ? E ? D ? C ? B ? A D 30教资借鉴 4如图，如图，AD是是BC边上的中线，边上的中线，BF为为AD边上边上 的中线，若的中线，若ABC的面积为的面积为12，则，则ACD的面积为的面积为 _， ABF的面积为的面积为_ A B CD F 63 31教资借鉴 E C B A 5如图，如图，AE是是ABC的角平分线，已知的角平分线，已知 B40，C56，求下列角的度数：，求下列角的度数： （1）BAE （2）AEB （1）BAE42； （2）AEB98 32教资借鉴 A E C B 6如图，在如图，在ABC中，中，ACB=90，CE 是是ABC的角平分线，已