抛物线的焦点弦性质

1、抛物线的焦点弦性质 二、抛物线的焦点弦性质二、抛物线的焦点弦性质 例例1.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和的焦点的一条直线和 抛物线相交抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则 (1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2 p (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; (4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2 (5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切. (6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。 O y A B F 112 (7) AFBFp 抛物线

2、的焦点弦性质 x x y y o o A A BB F x O y A B F 过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线的焦点的一条直线和抛物线 相交相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则 (1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2p 抛物线的焦点弦性质 A X y O F B l l A1 M1 B1 M 过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两 交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则 (5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切. 222 11 1 证

3、明：如图， AABBAFBFAB MM 故以故以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切. 抛物线的焦点弦性质 X y F A O B A1 B1 过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两 交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则 (6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。 1 2 3 4 5 6 0 00 2356 35180 49090AFB 证明：如图， 1=， 4=， 又 14， 1，即 抛物线的焦点弦性质 过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一

4、条直线和抛物线相交,两两 交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则 (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; 证明：思路分析：韦达定理证明：思路分析：韦达定理 0 1ABx当轴时， pp pp 易得A（ ， ），B（ ，- ）， 22 2 2 22 4 p ypx 11 y-，x； 0 2 AB斜率存在时设为k，（k0） p 则直线AB方程为y=k（x- ） 2 2px 2 代入抛物线方程y 2 2 20 2 yppy pp kk 22 消元得y（）即y 2 2 yp 1 y-； 222 11 2 224 yyp x pp 1 x x O y A B F 抛物线的焦点弦性质

5、2 2 22 2 12 2242 12 2 2 2() 2 2 20 ( 2244 ypx p yp my p xmy ypmyp y yp yypp ppp 12 即： （定值） x x定值） 2 p ABxmymR设方 程 法 二 ： 由 题 知 AB不 为， （ 与 x轴 平 行 ） x O y A BF 抛物线的焦点弦性质 QPBA,为点作准线的垂线，垂足，解：过 )0 , 2 (), 2 (), 2 ( 21 p Fy p Qy p P QFPF 0QFPF0),(),( 21 ypyp即 0 21 2 yyp 2 21 pyy即 4 2 21 p xx易得： F x O y A B

6、 P Q 过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两 交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; 法法3：利用性质焦点：利用性质焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90 。 抛物线的焦点弦性质 代入抛物线得代入抛物线得y2ms， 练习练习 (1).若直线过定点若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线与抛物线 y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证求证:x1x2=s2;y1y2=- 2ps. 证明：设证明：设AB 的方程为的方程为=ms

7、（m） 222 2 12 12 2 2 224 yyps x xs ppp （） 12 2syyp (2). 若直线与抛物线若直线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2), 且有且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点求证：直线过定点 (s,0)(s0) 证明证明： 2 11 2 22 2 2 ypx ypx 12 1212 2 AB yyp k xxyy 相减得 11 12 2p AByyxx yy 直线方程为（） 2 1121 022yyy ypxpx令得 2 11 2ypx 12 因为，y y =-2ps代入上式得 0 xsABs 直线必过点

8、（ ， ） l y y2=2 px A M x B 抛物线的焦点弦性质 过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两 交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则 (4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2 x O y A B F 证明证明: 思路分析思路分析 |AB|=|AF|+|BF|= 12 xxp 0 190 pp 20 （）时，k不存在， pp 易得A（ ， ），B（ ，- ）， 22 2p AB =2P= sin 90 0 2 290tantankyx px 1 2 p （ ）时，斜率，直线

9、方程为（） 2 2p 然后联立方程组用韦达定理得 ABx sin 思考：焦点弦何时最短？思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短过焦点的所有弦中，通径最短 抛物线的焦点弦性质 12 12 12 12 1212 222 121212 12 12 7) 22 111122 2222 ()() 24442 2 () 2 pp AFXBFX pp XX pppp AFBF XXXX xxpxxp ppppp x xxxxx xxp p p xxp x O y A B F 过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两 交点为交点为A(x1,y

10、1)、B(x2,y2),则则 112 AFBFp 抛物线的焦点弦性质 例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和的一条直线和 抛物线相交于抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (1)AO交准线于交准线于C,则直线则直线CB平行于抛线的对称轴平行于抛线的对称轴 . 2 22 2 1212 : ,2, 2 20. . AB p xmyypx ypmyp AyByy yp 12 证明 设直线的方程 代入得 设（x， ），（x ， ）则 xC 11 11 ypypp y=，x=-联立得（- ，-） x222x 12 1 2 2 1 y y y p y y 11

11、c2 11 pypy y- y2x 2 2p |BCX轴 y F A B C O 抛物线的焦点弦性质 例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和的一条直线和 抛物线相交于抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (2)过过B作作BC准线准线l,垂足为垂足为C,则则AC过原点过原点O共线共线. (2001年高考题年高考题) 2 22 2 1212 : ,2, 2 20. . AB p xmyypx ypmyp AyByy yp 12 证明 设直线的方程 代入得 设（x， ），（x ， ）则 |BX轴 2 Cy p （-， ）， 2 2 1 p C y p 即（

12、-，） 2 2 2 111 1111 21 2 OA p yyyp k p yxyx OC k |OC OAO且共点 ，ACO直线过点 y F A B C O 抛物线的焦点弦性质 例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的上的 两点，且两点，且OAOB， 1. 求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积； 2. 求证：直线求证：直线AB过定点；过定点； 3. 求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程； 4. 求求AOB面积的最小值；面积的最小值； 5. 求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程. 二、抛物线中的直角三角形问题二、抛物

13、线中的直角三角形问题 抛物线的焦点弦性质 例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上的两点，且 OAOB， (1) 求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积； 解答解答 (1)设设A(x1, y1)，B(x2, y2)，中点，中点P(x0, y0)， 2 2 1 1 , x y k x y k OBOA OAOB kOAkOB=-1， x1x2+y1y2=0 y12 = 2px1，y22 = 2px2 0 22 21 2 2 2 1 yy p y p y y10, y20, y1y2= 4p2 x1x2=4p2. 抛物线的焦点弦性质

14、 例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB， (2) 求证：直线求证：直线AB过定点；过定点； 解答解答(2) y12=2px1，y22=2px2 (y1 y2)(y1+y2) = 2p(x1 x2) 2121 21 2 yy p xx yy 21 2 yy p k AB )( 2 : 1 21 1 xx yy p yyAB 直直线线 21 1 1 21 22 yy px y yy px y 21 211 2 1 21 22 yy yypxy yy px y 2 211 2 1 4,2pyypxy 21 2 21 42 yy p yy px

15、 y )2( 2 21 px yy p y AB过定点过定点T(2p, 0). 抛物线的焦点弦性质 ) 2 , 2 ( 2 k p k p A 同理，同理， 以代以代k得得B(2pk2, -2pk) . k 1 ) 1 ( ) 1 ( 0 2 2 0 k k py k kpx 例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上的两点，且 OAOB， (3) 求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程； 2) 1 ( 1 2 2 2 k k k k 2)( 2 00 p y p x 即即 y02 = px0-2p2， 中点中点M轨迹方程轨迹方程 y2 = px-2p2

16、 (3)设设OA y = kx，代入，代入y2=2px 得得: k 0， 抛物线的焦点弦性质 |)|(|)|(| 2 1 2121 yypyyOT SSS BOMAOMAOB (4) 2 21 4|2pyyp 当且仅当当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立时，等号成立. 例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB， (4)求求AOB面积的最小值；面积的最小值； 抛物线的焦点弦性质 (5)法一：设法一：设M(x3, y3), 则则 3 3 x y kOM 3 3 y x k AB )(: 3 3 3 3 xx y x yyAB 得代入即p

17、xyxyy x y x2)( 2 33 3 3 , 02 22 3 3 2 3 3 3 2 px x py y x py y 例例3.3. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB， (5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程. 由由(1)知，知，y1y2=-4p2， 2 3 3 2 3 42 2 ppx x py 整理得：整理得：x32+y32 -2px3=0， 点点M轨迹方程为轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉去掉(0, 0). 抛物线的焦点弦性质 M在以在以OT为直径的圆上为直径的圆上 点点M轨迹方程为轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉去掉 (0, 0). 评注：此类问题要充分利用评注：此类问题要充分利用(2)的结论的结论. OMT=90 , 又又OT为定线段为定线段 法二：法二： AB过定点过定点T(2p, 0). 7.7. A、B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB， (5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.