求二次函数解析式的四种方法详解

1、求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式： y=ax 2 +bx+c (a 0) 。2、顶点式： y=a(x h) 2 +k (a0) ，其中点 (h,k)为顶点，对称轴为x=h。3、交点式： y=a(x x 1 )(x x 2 ) (a 0) ，其中 x1 ,x 2 是抛物线与x 轴的交点的横坐标。4. 对称点式：y=a(x x 1 )(x x 2 )+m (a0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给

2、出抛物线上任意三点，通常可设一般式。2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。4. 若已知二次函数图象上的两个对称点（ x1 、m)(x 2 、m), 则设成： y=a(x x1 )(x x 2 )+m (a 0) ，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。探究问题，典例指津：例 1、已知二次函数的图象经过点(1, 5), (0, 4) 和 (1,1) 求这个二次函数的解析式分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2 +bx+c (a0)。解：设这个二次函数的解析

3、式为y=ax 2 +bx+c (a 0)abc5a2依题意得： c4解这个方程组得：b3abc1c4这个二次函数的解析式为y=2x 2 +3x 4。例、已知抛物线yax 2bxc 的顶点坐标为 (4, 1) ，与y轴交于点(0,3) ，求这条抛物线2的解析式。分 析 ： 此 题 给 出 抛 物 线 yax2bxc 的 顶 点 坐 标 为 (4, 1)，最好抛开题目给出的y ax 2bx c ，重新设顶点式y=a(x h)2 +k (a 0) ，其中点 (h,k)为顶点。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x 4) 2 1(a 0)又抛物线与 y 轴交于点 (0,3) 。1咨询热线： 2

4、306086a(0 4) 2 1=3 a= 14这个二次函数的解析式为y= 1 (x 4) 2 1，即 y= 1 x 2 2x+3 。44例 3、如图， 已知两点 A（ 8，0），（ 2，0），以 AB为直径的半圆与y 轴正半轴交于点C（0、4）。求经过 A、 B、 C三点的抛物线的解析式。分析： A、 B 两点实际上是抛物线与x 轴的交点，所以可设交点式y=a(x x1 )(x x) (a 0) ，其中 x 1 ,x 2 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标。2解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x 2)例 4、 已知函数 y=x 2+kx 3（ k0), 图象的顶点为C 并与

5、 x 轴相交于两点 A 、 B 且 AB=4（ 1）求实数 k 的值；（ 2）若 P 为上述抛物线上的一个动点（除点C 外），求使 S ABC =SABP 成立的点 P 的坐标。变式练习，创新发现1、已知抛物线过A（ 2， 0）、B（ 1， 0）、 C（ 0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）2、已知抛物线的顶点坐标为(2,1) ，与 y 轴交于点 (0,5) ，求这条抛物线的解析式。2、已知二次函数 yax2c 的图象的顶点为（ 1，9bx2 ），且经过点（ 2，0），求该二次函数的函数关系式。3、已知二次函数图象的对称轴是x=-3 ，且函数有最大值为2，图象与 x 轴的一个交点是 (-1 ，0) ，求这个二次函数的解析式。4、已知二次函数yax2bxc 的图象如图所示，则这个二次函数的关系式是_。5、已知：抛物线在 x 轴上所截线段为4，顶点坐标为（ 2，4），求这个函数的关系式6、已知二次函数 y(m21) x2mx (3m 2) (m 1) 的最大值是零，求此函数的解析式。7. 已知某抛物线是由抛物线 y=x 2-x-2 经过平移而得到的， 且该抛物线经过点 A（ 1，1），B（ 2，4），求其函数关系式。9、已知四点A（ 1， 2）， B（ 0， 6