基本不等式求最值（经典实用）

1、基本不等式求最值 3.43.4基本不等式基本不等式 基本不等式求最值 基本不等式求最值 一、知识梳理一、知识梳理 1.重要的不等式重要的不等式 重要不重要不 等式等式 应用应用 条件条件 “”何何 时取得时取得 作用作用 变形变形 ab ba 2 Rba, ba 积和 2 2 ba ab abba2 22 Rba,ba 积平方和 2 22 ba ab 一.知识梳理 基本不等式求最值 2、已知、已知 都是正数，都是正数， （1）如果积）如果积 是定值是定值P，那么当，那么当 时，时， 和和 有最小值有最小值 （2）如果和）如果和 是定值是定值S，那么当，那么当 时，时， 积积 有最大值有最大值

2、xy yx yx, yx P2 yxyx xy 2 4 1 S 基本不等式求最值 讲授新课：讲授新课：一、配凑法求最值 基本不等式求最值 讲授新课：讲授新课：一、配凑法求最值 的最值，求是正数且：例abbaba4,1 的最值，求是正数且：变形abbaba42,1 4 2 4 2 22 b a ab解：当且仅当a=b=2时等号成立 所以ab的最大值为4 2 2 1 2 1 2 2 1 2 4 2 2 22 ba baab 解： 当且仅当2a=b 时等号成立，即a=1,b=2时ab的最大值为2 例例1 基本不等式求最值 的最值，求是正数且：变形ab b aba4 2 ,2 822 2 2 2 4

3、2 2 2 2 b a b aab 当且仅当a= 时等号成立，即a=2,b=4时， ab的最大值为8. 2 b 解: 基本不等式求最值 已知a0,b0,且b b a a 2 2 2 1, 1 2 求 的最大值。 变式3： 基本不等式求最值 基本不等式求最值 题型二：拆项法求函数的最值 2 axbxc y mxn 二 类型函数求最值 基本不等式求最值 例例3 基本不等式求最值 类型三 ：含两个变量的最值问题 基本不等式求最值 类型三 ：含两个变量的最值问题 基本不等式求最值 例例5 （1)已知已知 且且 ，求，求 的最小值的最小值. （2）已知正数）已知正数 满足满足 ，求，求 的的 最小值最小

4、值. ,0 x y 1xy , x y 11 2 xy 2xy yx 12 (1)原式= )( 12 (yx yx x y y x2 3223 （2） ) 11 )(2( 2 1 2 yx yxyx) 2 3( 2 1 y x x y 2 2 3 基本不等式求最值 的最小值，求）已知（ yx yxyx 11 12, 0, 02 . 223 11 2 2 112 2 223 11 22 2 2 2 , 0, 0 2 2 1 2211 12 的最小值为 时等号成立。且即当且仅当 解： yx yx y x x y yx y x x y y x x y yx y x x y y yx x yx yx

5、yx 类型三 ：含两个变量的最值问题 基本不等式求最值 例5、当0 x0,b0) 2 ab ab 基本不等式求最值 3. 利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出 定值，再利用基本不等式求解。定值，再利用基本不等式求解。 基本不等式求最值 1、 (1)a,b都是正数且都是正数且2ab2,求求a(1b) 的最值和此时的最值和此时a、b的值的值. . )21(, 22, 222 的的最最值值是是 是是正正数数bababa (2) 作业： 基本不等式求最值 作业：作业： 19 ,1,x yRxy xy 若且求的最小值。（4） 基本不等式求最值 作业： 3、（1）若x3,求函数 的最小值 3 1 x xy ) 1( 1 13 )( 2 x x xx xf （3）求函数）求函数 的最小值的最小值. . 24)(, 22)4( ba xfba ba 和此时的 的最值及求已知 基本不等式求最值 ,0,x yRxyxy xy 若且2