小学-六年级奥数分数运算练习题

1、六年级奥数题1凑整法与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律 ( 如交换律、结合律、分配律 ) ，使部分的和、差、积、商成为整数、整十数 从而使运算得到简化1 (31 62 13 81)(2 7 )434320(3113) (62 81) (27)4433207 (5 15) (2 20)7 20 2 2020 40 7 33例 2 41 2532 4 40.2512457解：原式414 +44 255253270.25 4 31100114415831772约分法123 246 714 2131 3 5 2 610 7 2135123 23(123) 73(1

2、23)13 5 23 (1 35) 73 (1 3 5)(1 23)(1 2373 )(1 3 5) (1 2373 )12321 3554 99(1 1) (1 1)(1 1) (1 1 )2349999 1 23 9813裂项法23499d11d(n d)n ( nd)nn数之和时，若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算511111126122030421111111 223 3445 56 6711 11 1 11 1111122334455667 11 67 7例 61 11 113 35 5797 99解：原式 1 (2222)213 35 5

3、797 991(111111 1 1)2335579799 1(1 1 ) 198 4929929999例 7 在自然数 1100 中找出 10 个不同的数，使这 10 个数的倒数的和等于 1分析与解：这道题看上去比较复杂，要求 10 个分子为 1，而分母不同的分数的和等于 1，似乎无从下手但是如果巧用“1 11”nn1n(n1)来做，就非常简单了11111111因为11 ，所以可根据题中所求，添上括号此题要求的是10 个数的倒数和为1，于是做成：1(1 1)(1 1)(1 1)(1 1)(1 1)223344556 (1 1)(1 1)(1 1)(1 1 ) 167788991010 111

4、1123445612351111167788991010 1111111111 261220304256729010所求的 10 个数是 2，6，12，20， 30，42，56，72，90， 10本题的解不是唯一的，例如由1 111 推知，用 9和 451030945替换答案中的10 和 30，仍是符合题意的解4代数法例8 (1 11 1)(1 1 11)2342345(1 1 1 1 1)(1 1 1)2345234分析与解：通分计算太麻烦，不可取注意到每个括号中都有1 1 1，不妨设 1 1 1A，则234234原式 (1A) (A 1) (1A 1)A55 A 1 A2 1AAA 2 1

5、A 15555例2 计算：分析与解 题中的每一项的分子都是 1，分母不是连续相邻两个自然数之积，而是连续三个自然数的乘积 . 下面我们试着从前几项开始拆分，探讨解这类问题的一般方法 . 因为这里 n 是任意一个自然数 .利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果.例3 计算：分析与解 仿上面例 1、例 2 的解题思路，我们也先通过几个简单的特例试图找出其规律，再用裂项法求解 .这几个分数的分子都是2，分母是两个自然数的积，其中较小的那个自然数正好等于分母中自然数的个数，另一个自然数比这个自然数大 3. 把这个想法推广到一般就得到下面的等式：连续使用上面两个等式，便可求出结果来.因为第一个

6、小括号内所有分数的分子都是 1，分母依次为 2，3，4， ，199，所以共有 198 个分数 . 第二个小括号内所有分数的分子也都是 1，分母依次为 5， 6，7， ， 202，所以也一共有 198 个分数 . 这样分母分别为5，6，7， ， 199 的分数正好抵消，例 4 求下列所有分数的和：分析与解这是分数求和题，如按异分母分数加法法则算，必须先求1，2，3， ， 1991 这 1991 个数的最小公倍数，单是这一点就已十分麻烦，为此我们只好另找其他的方法 . 先计算分母分别为 1，2，3，4 的所有分数和各等于多少 .这四个结果说明， 分母分别为 1，2，3，4 的上述所有分数和分别为 1，2，3，4. 如果这一结论具有一般性， 上面所有分数的求和问题便能很快解决 . 下面我们来讨论一般的情况 .假定分数的分母是某一自然数k，那么分母为 k 的按题目要求的所有分这说明，此题中分母为 k 的所有分数的和为 k，利用这一结论，便可得到下面的解答 .例 5 自然数 m至 n 之间所有分母为 P 的最简分数和是多少 （这里 mn，P是奇质数）？分析与解 先写出这些分数来，因为 P 是奇质数，所以与 P 互质且比 P 小的数有 1，2，3， ， P-1，共（ P-1）个 . 换句话说，每相邻的两个自然数之间，以 P 为分母的最简分数都有（ P-1）个，故