一类非线性疟疾传播模型的Hopf分支(xiugai)

1、一类非线性疟疾传播模型的Hopf分支,（1.甘肃工业职业技术学院，甘肃 天水 ; 2. 陕西师范大学 数学与信息学院，陕西 西安 ）摘要：根据特征方程特征根的情况讨论了一类非线性疟疾传播模型的模型的Hopf分支问题. 使用消元法来检验模型的稳定性是否依赖于时滞；最后运用对模型的数值解进行图形拟合，验证了文中定理的可实现性.关键词：时滞；稳定性；Hopf分支；消元法中图分类号：O175.7 文献标识码：A0 引言众所周知，传染病历来就是人类的大敌，尽管随着医疗水平的提高和卫生设施的改革如天花等曾肆虐传染病已经得到有效的控制，但世界卫生组织的报告表明：目前全球60亿人中约有半数的人仍在受到不同传染

2、病的威胁。因此，对各种传染病的发病机理，传播过程和防治方法的研究已成为当今人类需要迫切解决的一个重大问题。传染病动力学是一种对传染病的流行病的流行规律进行理论定量研究的方法。文献1-6中人们根据疾病在种群中的传播规律，首先建立能够反映传染病动力学的模型，然后对模型进行定性分析和数值模型，为人们探索传染病蔓延和预防提供理论依据，并已有大量的研究成果应用于医学等诸多领域。如文献2中公共卫生医生Ross博士利用微分方程研究了疟疾在蚊子和人类之间传播的规律，其研究表明，若将蚊虫的数量控制在一个临界值以下，疟疾的流行将会得到控制。文献3中Kermack与McKendrick构造了SIS模型为传染病动力学

3、的研究奠定了坚实的基础，在以后的几十年里，传染病动力学得到了蓬勃的发展.1 模型引入文献1研究了一类具有潜伏期，接种率且无垂直传染的疟疾模型 的正平衡态的存在性，模型局部渐进稳定及Hopf分支的存在性条件.其中参数表示传染率，表示人的传染率即蚊虫被人感染的几率，表示人类的死亡率与康复率之和，表示蚊子的死亡率，表示发生率即人类的新患者数.同时，上述模型提出了无垂直传染，即只有完全康复了才能再次被再次感染的假设. 由于在传染病动力学中时滞是影响流行病传播的重要因素，疟原虫在人和蚊子体内分别有一定的潜伏期，所以必须得考虑是指对稳定性的影响，在本文中，将讨论模型(1.1)由时滞产生的分支问题。 ( 1

4、.1)模型（1.1）在满足条件 其中 即 时存在着唯一的正平衡态，近似变换以后得到了如下的近似系统 （1.2）下面根据特征方程特征根的情况讨论（1.1）模型的分支问题.2 局部分支的存在性模型（1.1）的特征矩阵为即有特征方程 (2.1)其中 下面将分三种情况进行讨论情形若，这是模型（1.1）的平衡态为，相当于模型是自由病例的情况，此时（2.1）变为 (2.2)即 （2.3）因为，所以模型在(1.1)平衡态处是渐近稳定的. 设是方程的一个根，记 显然，不是方程（2.2）的根，将代入（2.2）式有 令 设，因为，这时模型(1.1)的平衡态是不稳定的.情形2当且时，上述的特征方程（2.1）具有下面

5、的形式 (2.4)其中当时，（2.4）式变为,因，这时方程（2.4）有两个负实根，则在此情形下模型（1.3）的平衡态是渐近稳定的.其生态学的意义是流行病或自由病例，最终疾病消失.设是方程（2.4）的一个根，记显然，不是方程（2.4）的根，将代入有 令设，则上述方程变为 （2.5）对于方程（2.5）的系数，有以下的结论：（1） 当或，且时，方程（2.3）存在负实根;（2） 当时，方程（2.3）有两个不同的正实根. 若上述的条件（2）成立，设方程存在着两个正实根，分别记为且，则有 (2.6)其中由（2.1）式得，又,因此与符号是相同的. 将代入方程（2.2）得分离实虚二部由上式有所以，存在.从上述

6、的讨论中，当时模型（1.3）将产生分支周期解.通过如上讨论，可得如下定理：定理2.1 假设成立，则（i）若，模型（1.3）在平衡态处是局部渐进稳定的；(ii)若条件（1）成立，当时模型（1.3）在平衡态处是局部渐进稳定的；（iii）若条件（2）成立，模型（1.3）在平衡态处不稳定.情形3当时，特征方程（2.1）可以分解为 （2.7）即记 (2.8)显然，零不是方程的根. 设，则下列方程至少有一个成立.假设成立，则; 因此要使得方程有正实根，必有即 （2.9）又由于从而则存在使得当时，模型（1.3）是局部渐进稳定的；当时，模型（1.3）是不稳定的，其中如上所述.同理，假如方程成立，则; 因此很显

7、然，要使得方程有有正实根，必有即 （2.10）又由于从而则存在使得当时，模型（1.3）在平衡态处是局部渐进稳定的；当时，模型（1.3）在平衡态处是不稳定的，其中如上所述.综上所述，有如下结论定理2.2 假设且，则（i）若，模型（1.3）在平衡态处是局部渐进稳定的；(ii)若，模型（1.3）在平衡态处是不稳定的；（iii）若，模型（1.3）在平衡态处产生分支.其中3 消元法下面使用由Hertz和Zeheb提出的消元法来检验模型的稳定性是否依赖于时滞.先假设，在这种情况下模型（1.3）的特征方程（2.1）变为 (3.1)其中.设，即，联立方程得方程组 (3.2)记从而，方程组（2.10）可以简化为

8、 （3.3）即有消元行列式在此可以讨论正平衡态为时，上述方程的解与之间的关系.再假设，且，在这种情况下模型（1.3的特征方程（2.1）变为 （3.4）作代换联立方程得方程组 （3.5）记 从而，方程组（3.5）可以简化为 （3.6）下面根据特征方程的形式，检验稳定性不受时滞的影响。取，代入特征方程（2.1）得 （3.7）令，分离实虚二部有 （3.8）记方程（3,8）简化为 (3.9)由假设可知，则有从上述讨论可以看出的符号不变，平衡态稳定性也不发生变化。由于上述的结论较为复杂，所以可以通过数值处理进行简化，比如取4 实例分析例1 令这时模型为解 此例模型的平衡态存在且唯一。由于，满足定理2.1

9、的条件（1）即，则此时模型（1.3）在平衡态处是稳定的。例2 令这时模型（1.3）为解 此例模型的正平衡态存在且唯一.由于 ，满足定理2.2的条件知：当时，模型（1.3）在平衡态处是渐进稳定的；当时，模型（1.3）在平衡态处不稳定产生周期解.小结：在传染病动力学中时滞是影响流行病传播的重要因素，尽管本文内容中讨论了模型（1.3）产生的分支的条件，但是没有办法找到的显性表达式，所以文中的讨论仅仅是特征方程的特殊情形.通过用中心流形的理论推导时滞的临界值，而得到临界值的具体表达式，这部分工作有待进一步完成。参考文献1 Brauer F.Van den Driesssche P. Models fo

10、r transmission of disease with immigration of infectives.Math.Biosci.D,2001, 171, 143-154.2 Ross R. The prevention of Malaria,2nd ed.Marray,London,1911.3 Hallam T G,Clark C E,Jordan G S.Effects of toxicantson populations ;A qualitative approach II. First order kinetics .Math.BiolJ,1983.18:25-37.4 R

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