孙颖 公理化论文

1、学公理化方法之感08数教1班 孙颖 02050130818所谓公理化方法，就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。 公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。 现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。公理化方法发展的第一阶段是由亚里斯多德的完全三段论到欧几里得几何原本的问世大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻

2、辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统。 亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作几何原本他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理他总结概括出14个基本命题，其中有5个公设和9条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系几何原本一

3、书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。 公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性质和关系，由初始概念表示例如欧氏几何原本中只需取“点”、“直线”、“平面”；“在之上”、“在之间”、“叠合”作为初始概念前三个概念所表示的三类对象和后三个概念所表示的三种关系就是这种几何的论域按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，称为实质公理学这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性因此，欧氏几何原本就是实质公理学的典范。公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：实质（或实体）公理

4、化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别几何原本、几何基础和ZFC公理系统。 几何原本虽然开创了数学公理化方法的先河，然而它的公理系统还有许多不够完善的地方，其主要表现在以下几个方面：(1)有些定义使用了一些还未确定涵义的概念；(2)有些定义是多余的；(3)有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理来证明或代替这些问题成为后来许多数学家研究的课题，并通过这些问题的研究，使公理化方法不断完善，并促进了数学科学的发展。 第五公设(即平行公设)内容复杂，陈述累赘，缺乏象其它公设和公理那样的说服力，并不自明因此，它能否正确地反

5、映空间形式的性质，引起了古代学者们的怀疑从古希腊时代到公元18世纪，人们通过不同的途径和方法对这一问题进行了大量的研究工作，其中萨克里( Saccheri，16671733)和兰勃特( Lambert，1728-1777)等人考虑了两个可能的与平行公设相反的假设，试图证明出平行公设，但是他们的努力均归于失败然而，在这些失败中却引出了一串与第五公设相等价的新命题和定理，即非欧几何的公理和定理，它预示了一种新的几何体系可能产生。 19世纪年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基(1792-1856)产生了与前人完全不同的信念：首先，他认为第五公设不能以其余的公理作为定理来证明；其次，除掉第五公设成立的欧氏几何

6、之外，还可能有第五公设不成立的新几何系统存在于是，他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理的前提下，引进与第五公设相反的公理，从而构造了一个全新的几何系统，它与欧氏几何系统相并列后来人们又证明了这两个部分地相矛盾的几何系统竟是相对相容的，即假定其中之一无矛盾，则另一个必定无矛盾，这样以来，只要这两个系统是无矛盾的，第五公设与欧氏系统的其余公理就必定独立无关现在人们就用罗巴切夫斯基的名字命名了这一新的几何学，并把一切不同于欧氏几何公理系统的几何系统统称为非欧几何。 非欧几何的建立在数学史上具有划时代的意义，标志着人们对空间形式的认识发生了飞跃，从直观空间上升到抽象空间在建立非欧几何的过程中，公理化

7、方法得到了进一步的发展和完。 公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会科学部门，并在其中起着重要作用。 1、具有分析、总结数学知识的作用当一门科学积累了相当丰富的经验知识，需要按照逻辑顺序加以综合整理，使之条理化、系统化，上升到理性认识的时候，公理化方法便是一种有效的手段如近代数学中的群论，便经历了一个公理化的过程当人们分别研究了许多具体的群结构以后，发现了它们具有基本的共同属性，就用一个满足一定条件的公理集合来定义群，形成一个群的公理系统，并在这个系统上展开群的理论，推导出一系列定理。 2、为数学研究的一个基本方法不但对建立

8、科学理论体系，训练人的逻辑推理能力，系统地传授科学知识，以及推广科学理论的应用等方面起到有益的作用，而且对于进一步发展科学理论也有独特的作用例如在代数方面，由于公理化方法的应用，在群论、域论、理想论等理论部门形成了一系列新的概念，建立了一系列新的联系并导致了一系列深远的结果；在几何方面，由于对平行公设的研究导致了非欧几何的创立因此，公理化方法也是在理论上探索事物发展规律，作出新的发现和预见的一种重要方。 3、科学研究的对象介乎于逻辑学和数学之间的边缘学科 数理逻辑，用数学方法研究思维过程中的逻辑规律，也系统地研究数学中的逻辑方法因此，数学中的公理方法是数理逻辑所研究的一个重要内容由于数理逻辑是

9、用数学方法研究推理过程的，它对公理化方法进行研究，一方面使公理化方法向着更加形式化和精确化的方向发展，一方面把人的某些思维形式，特别是逻辑推理形式加以公理化，符号化这种研究使数学工作者增进了使用逻辑方法的自觉性。 4、在科学方法论上具有示范作用任何一门科学都不仅仅是搜集资料，也决不是一大堆事实及材料的简单积累，而都是有其自身的出发点和符合一定规则的逻辑体系公理化方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用例如牛顿在他的自然哲学的数学原理巨著中，系统地运用公理化方法表述了经典力学理论体系；本世纪40年代波兰的巴拿赫完成了理论力学的公理化；爱因斯坦运用公理化方法创立了相对论理论体系狭义相对论的出发点是两个基本假设：相对性原理和光速不变原理爱因斯坦以此为前提，逻辑地演绎出四个推论：“尺缩效应”、“钟慢效应”、“质量增大效应”和“关系式”这些就是爱因斯坦运用公理化方