勾股定理典型例题详解与练习

1、典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A. CD、EF、GH C. AB、CD GH B. AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1）題意分析本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断 解答过整屮 在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇 EF = Q抡於十尸 = Q +F二艮 同理 HE = 2百* QH. =1 CD = 25 计算发现 W 十血尸=（鸥31即血+曲=GH2

2、 ,根据 勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF GH为辺的三角形是直毎三角形.故选 B. * 縮題后KJ思专：* 1. 勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形 因此辭题时一宦妾认真分析题目所蛤条件,看是否可用勾股定理来解口 * 2. 在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为 就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就 其实，同样是S6 不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐 3. 直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运 用是一个从卅形s个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪） 的过程，而直角三角形的判定是一从 嗦

3、（一个三角形的三辺满足 X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a 4在应用勾股定理解题叭 聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种 可能性，遊免漏辭.初 例玉如圏，有一块直角三角形椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m 现将直角边AC沿直绘AD折蠡 便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、* C/)禎 B. 3cmG -Icni n題童分析，本题着查勾股定理的应用刎 ：）解龜思路；車题若直接在MQ中运用勾股定理是无法求得仞的 长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直 线KQ对称.因而ACDhAED进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设 UD=

4、E2黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得 =（+=83=100,得 AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl） 2= d驚解得尸九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾 股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果 条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系， 这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求 线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3： 一场罕见的大风过

5、后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离 树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？” 占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角 “勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。 几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算 出来了吗？ 思路分析： 1）题意分析

6、：本题考查勾股定理的应用 2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确 的解答 设直角三角形削三边长分别为久 亠 如图，则圧二了米 10丿 十 g =U 又 c-b1 -a 20 （米）* c -b c+B 1010 （米）.事 解題后的慝曲 这是一道圈读理解奚试蕊 这种题型特点鲜明、內容丰富、趙越常规， 源于谨本，高干课本*不彳貝考査阅谨能力，而且还综合考杳数学意识和数 学嫌合应用能打尤其着查薮字思缝能力和创新意込解题时一股是通 过阅满理解槪念，拿握方法硕悟思想、抓住本质，然后才能解答间题汀 知识点二、构造直角三角形使用勾股定理 例4；如图,一个长方体形的木柜談在墙角处

7、（与墙面和地面均没有耀隙 有一只蚂蚊从柜阳丿处沿着木柜表面爬到柜角G处.“ 谜你画出蚂觀能够最快到达目的地的可能路径，Q 当 曲 ，C=4匚以 时.求蚂蚁爬过的震矩路径的长尹 匕、求点.国到餵短踣径的距篱口 备用图 思路分析：屮 1躍分析；卞题苇查勾股定理例应用.P 23解题思路；解決此粪间题的关国是把立悴圈形间題转化丸平面图形 问题.从而制用勾股定理解决.路径虽无数最短却唯一，要注意养洛哪一 条路径是最短的.心 解答过程：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩珈和 屮 r 蚂秋能够最快到达目的地的可自囲径有如图的/q和 蚂蛾沿着木柜表面经娃段禺到G,爬过的路径的桧是 押+(4 +对二坷” 蚂軾

8、沿着木柜表贡经线段刀耳到爬过的路徑的长是 右二奸遍匚亨二J., 最短路径的长是耳=毘屮 恥=坐 AA = = 5= 作耳左丄肚吁码则够、89沖 所求.4 解題后的恿考 转化的思想是将夏朶问题特他分解次简单旳I可题，或将陌生的I可題 转化为熟悉的间題来处理的一种慝想右法。如在许多实际间题中.首先 将師习題转化为数学问题，另外，当间题中没有给出直甬三甬形时，通 常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。 脣一块直垢三用形的绿地，爲得两直角边长分别为皿 8m现在 妾将绿地扩充成等腰三角形!且扩充部分是以如为直角边的直角三角形 求扩充后等腰三甬形绿地的周长.亠 思翳分析：此题如戶圈形将

9、变得很简单，搔圈形解答同网但若没有 图彩，则需藝讨论几种可能的情况.这正是肚无图题前细恩考，分粪讨论 保周到二心 解答5过程，在Rt曲C中，ZACB - 90a, AC- r-再 在RtAAB龟中，由AE = A求出九B=l ?再分别求出A AO0-. AABAl AAiBEr的面机 从中发现规律！猜想出结论。叙 在 RtAAEO 中，由ZAOB=?Ci OA=OB=1,可求出 AB= V2 , S 丄 2 Ob-2 41= 2 =2i； RtAAB Ai 中，由ZAiAB=?u% AB=AAi = J_ V2 P 可求出盘田=2, Sa=2xV2 x-JS =1=2）在 RtAAiBBi中，

10、由 N 1 AiBBi=?0% AiB=BBi = 2,可求出 AiB】=2 J区 耳=3 “a 2=2=24 在RiAAj BaBi中，由艺比：直出1 =死笃 扎珀=如比=池,可 2 求出Bi Ba=4i 4= 2x22 x 2y/2 =4=22： *由此可UA猜想 =2B3,*1 解題后的恩若；割匕归纳法是两种或两种以上在某些关系上表现相似 的对象诳行S寸比，作出归纳制断的一种科学硏究方法.在中苕數学中若查 类比归纳法，皆在引导学生通过对知识的类比和归纳，把知识由点连成线， 由红织成网.便知识有序化、系统f匕 从而使学生拿握知识內在的规律 気习导学屮 下一讲我（门将瞬認四辺形的应用.本讲內

11、容是中垮堇点之一，如特殊 四辺形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等B縣形）的性质和判定， 以圧运肩这些知识解决买际间题.中着中常比迭择题、埴空題、解答题和 证胡题諄膨式呈现，近年的中考中文出现了开議题、应用SL阅谨理 学科闾综台题、动点间题、折醫问题等，这些都是热点题型，应引起同学 们高度关注.4 同步练习（答题吋间；6。分钟）屮 一、选择题2 1. 如图，每个小正育形00边长为L A.是小正方理的顶点.则/ 肋C的度数为( C A 50ft. 604C. 45D 3C+J 2如圈所示扣&心分别耒示三个村庄，AB=10M米BC=6皿米, AC=S00米在社会主义新农村建设中，为了车富群金生活

12、，拟建一个文 化活动中心，宴求这三个村庄到活动中心的距离相奪，则活动中心F处的 位貫应在()屮 A. AB中点蛀 C. AC中点处 B. BC中核处 屮 D. 4；的平分线与朋的兗点处# 3. 如图，长方体的长为15,宽为10,高为2山点E到点C的距离汽5, 貝蚂蚁如果要沿看长方体的表面从点百爬到点. ,需要爬行的最題距篱 A 了QB. 25C. lCN + 5d 35 二、填空题赧 4. 某搂梯的侧面视图如图所示.其中AB二4米，二3， ZC二沁S園某种活动要求铺设红色地毯，则在曲段楼梯所铺地毯的长 JB应为卩 5. 已知应AABQ的周长是4 + 4楣，斜迦上的中线长是2, ffls加= 也

13、如匡 长方体的底面辺长分别为Mrn和3cm,高为Oum如果用一丰艮 細豪从巨月FfeSl 4 i观i滬決一圈到丄丸e、需妾 cm.如果从点A开始经过4个侧面麵疑圈到达点B,那么所用细趺最短 +* k_V 3cm 屮 7.圏甲是我国古代著名的”赵更弦圏的示竟图*它是由四个全等的直 角三角形圉成的-在RiAABC 若直角辺也C=, BC=&将四个矗麹三 驚理中边长为6的直角辺分别向夕涎长一e,得到图乙所示数学侃车 则这个风车的周按（图乙中的实线）是屮 團甲图乙J s.如圏，学校有一块长肓廠囿，有极少馥人为了建开拐幫走捷径3 在花圃內走出了一条潞他们仅又少走了歩路（假设2歩为1 米），却足采伤了花草

14、-# 2 9.如圈所示的圆柱体中底面圆的半径是2高九器若一貝小虫从占点 出发沿着圆柱悴的侧面爬行到C点，则小主爬厅的最短路程是 （结 杲保留根号）-屮 三、解答题 10如图！卫 B是:路F仃为东西走向）两旁的两个村庄！曲村到公路 前距离TlClkm, B村到公路！的距离BZ）=2km, B村在卫村的南偏东4亍 肓向上，屮 （1）求出儿行两村之间的距离；屮 （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公些汽车站R蔓求饮 车鮎到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位苴（保留渚晰的作 團痕迹，芥简要写明作陆）.4 你热愛生命吗那么别浪贵时间/因对时间是组成生 命的M輯-富苣克林 试题答案卢 1. （2+275）米 2. 舁 3 10, 2肘十16/ （或血）【解析】由题育碍细线从廉月 开始艷过4个侧面靈绕一圈到达点3、其最短扶度为将按亏体的四个侧面展 幵即可构戚一牛貢第辺分别为理cm和6逊的直角三角形，所以细线的最短 长度应沖lOcnii当细线经过四个侧面镰绕口闘h封诙点B的最短长度次 29 H孑或 J36+64）cm* 4 76 丁夙车的外围周扶7呻3打）=7如 5. 6. 2麗卩 7. 解析；(1)肓法一；设肿与CD的奁点矢O,根据题意可得 吕=4亍二 4J 二血0和厶0QO都是等腰直角三角形.* :.AO = -2