机电控制工程课件

1、机电控制工程 1 第第1章章状态反馈控制及二次型最优控制状态反馈控制及二次型最优控制 1.1 简介简介 1.1.1状态反馈控制的概念状态反馈控制的概念 线性控制理论线性控制理论已发展为现代控制理论的一个非常重要 的独立分支，其本质是一种时域分析法时域分析法，即状态空间法状态空间法，它 的目标是要揭示系统的内在规律，实现系统在一定意义下控 制的最佳化。 严格来讲，纯粹的线性控制系统并不存在。但在一定 条件下，将某些系统近似按线性化的方法处理，并不会带来 太大误差，应用线性控制理论设计，基本可以满足工程要求。 状态反馈控制系统状态反馈控制系统主要以线性控制理论为基础，是线 性控制理论综合应用最成熟

2、、最实用的部分之一。状态反馈 控制系统的分析和综合，既涉及系统的稳定性，可控性与可系统的稳定性，可控性与可 观性，状态反馈与状态估计等观性，状态反馈与状态估计等基本概念，又包括极点配置、极点配置、 状态观测器状态观测器的理论与设计等基本内容，而这些也均是现代控 制理论的重要基础。 应用状态反馈方法，可以实现系统在二次性能指标函数意义 下的控制的最优化，即二次型最优控制。二次型最优控制。 机电控制工程 2 1.1.2 可控性与可观性的概念可控性与可观性的概念 系统的可控性（能控性）可控性（能控性）与可观性（能观性）可观性（能观性）是现代控制理论 中两个非常重要的基本概念。是卡尔曼(Kalman)

3、在60年代初提出来 的。可控性可控性研究的是系统的输入变量输入变量U对系统的状态变量状态变量X的控制作控制作 用用；可观性可观性则研究的是系统的输出变量输出变量y对系统的状态变量状态变量X的观测观测 能力能力；现代控制理论中的状态反馈，最优控制和最优估计状态反馈，最优控制和最优估计都是以系 统具有可控性和可观性为先决条件先决条件的。 图图1-1可控性与可观性可控性与可观性 机电控制工程 3 用数学的语言来讲，可控性的定义是：用数学的语言来讲，可控性的定义是：“在有限的时间内在有限的时间内(t。tf)，通，通 过改变系统的控制量过改变系统的控制量U, 如果能使系统的全部状态变量如果能使系统的全部

4、状态变量X，由任意的初态，由任意的初态 X(t。)转移到终态转移到终态X(tf)=0，则系统的状态，则系统的状态 是完全可控的是完全可控的”，简称，简称“可控可控”。如图。如图12；如果在有限时间内；如果在有限时间内( t。 tf) ，通过改变控制量，通过改变控制量u，能使系统的全部状态变量，能使系统的全部状态变量X，由初态，由初态 X(t。)=0转移到终态转移到终态X(tf)为任意值，则系统的状态是为任意值，则系统的状态是“完全完全 可达的可达的”，简称，简称“可达可达”。如图。如图l-3。对于线性定常连续系统，可控性与。对于线性定常连续系统，可控性与 可达性是等价的。可达性是等价的。 图图

5、1-2 可控性可控性图1-3 可达性可达性 机电控制工程 4 机电控制工程 5 机电控制工程 6 机电控制工程 7 可观性可观性的定义是：“在有限的时间内( t。tf) 通过对系统的输出 变量y的不断观测，如果能把系统全部全部初态初态X(t。)都唯一的确定下 来，则该系统是完全可观测的”，简称“可可观观”。“如果在有限 的时间内( t。tf) ，通过对Y的不断观测，能把系统的全部全部终态终态 X(tf) 都唯一的确定出来，则称该系统是完全可检测的”简称 “可检可检”。对于线性定常连续系统，可观测性与可检测性也是完 全等价的。 判定线性定常系统可观的充要条件系统可观的充要条件是 矩阵的秩为n,

6、即N满秩满秩. 1n C CA N CA 对于单输入系统，单输出系统或单输入单输出系统，使系统是对于单输入系统，单输出系统或单输入单输出系统，使系统是可控并可观可控并可观 的充要条件的充要条件是其传递函数的分子分母间是其传递函数的分子分母间没有零极点对消没有零极点对消。 机电控制工程 8 对于单输入系统，单输出系统或单输入单输出系统，使对于单输入系统，单输出系统或单输入单输出系统，使 系统是系统是可控并可观的充要条件可控并可观的充要条件是其传递函数的分子分是其传递函数的分子分 母间母间没没有零极点对消有零极点对消。 机电控制工程 9 1.2 输出反馈与状态反馈输出反馈与状态反馈 控制系统最基本

7、的形式是由受控系统和反馈控制环节所构成的反馈系统。 在古典控制论中。习惯于采用输出反馈输出反馈；而在现代控制理论中，通常采用状 态反馈，这就构成了反馈的两种基本形式。 1.2.1 输出反馈输出反馈 反馈能改变系统的动、静态性能，是自动控制的一个基本原理。 机电控制工程 10 图图1-6 未加反馈之前系统的状态变量图未加反馈之前系统的状态变量图 图图17 引入反馈后系统的状态变量图引入反馈后系统的状态变量图 机电控制工程 11 由图可知 u = r - FX 所以 = AX+Bu = AX+B(r-FX) 即 = (A-BF)X+Br (1-4) X 加入状态反馈后，系统的状态变量图变成了图加入

8、状态反馈后，系统的状态变量图变成了图l.7 X 式式(1-4)就是加入状态反馈后，闭环系统的状态方程。式中，就是加入状态反馈后，闭环系统的状态方程。式中，A、B矩阵都是原矩阵都是原 系统给定的，是不能任意改变的。但反馈矩阵系统给定的，是不能任意改变的。但反馈矩阵 F 却是可以人为改变的，只要却是可以人为改变的，只要 改变改变F，就可以使，就可以使(A - BF)发生改变，从而可以改变系统的动态性能。发生改变，从而可以改变系统的动态性能。 例如，当例如，当r = 0时，系统的状态方程就简化成时，系统的状态方程就简化成 = (A - BF)X (1-5) 其解为其解为 x(t) = exp(A -

9、 BF)tX(0) (1-6) 如果原系统如果原系统A所对应的特征根不完全具有负实部，则系统将是不完全稳定的，所对应的特征根不完全具有负实部，则系统将是不完全稳定的， 这时，只要适当选取反馈阵这时，只要适当选取反馈阵F，使，使(A - BF)所对应的特征根均为负实部，就可所对应的特征根均为负实部，就可 以使原来不稳定的系统转化为稳定系统以使原来不稳定的系统转化为稳定系统 X 状态反馈不改变受控系统状态反馈不改变受控系统 的可控性，的可控性， 但不保证系统的可观性不变但不保证系统的可观性不变 0 ( , , )ABC 机电控制工程 12 1.3 状态反馈控制系统的极点配置状态反馈控制系统的极点配

10、置 1.3.1 极点配置理论与方法极点配置理论与方法 在古典控制理论中早已知道，系统的各种动态性能主 要是由极点在S平面上的位置所决定的，在现代控制理论 中，系统的极点实际上就是状态方程中的系数矩阵A所对 应的特征根，当系统结构确定之后，矩阵A也就确定了， 因而A所对应的特征根是不能任意改变的。 但是，当系统中引入状态反馈之后，矩阵A变成了 (A - BF), A，B虽然不能改变，但虽然不能改变，但F是可以是可以 人为改变的，因此人为改变的，因此(A - BF)所对应的特征根也是所对应的特征根也是 能任意改变的，这种利用改变反馈阵能任意改变的，这种利用改变反馈阵F的办法的办法 来改变特征根来改

11、变特征根(极点极点)的方法的方法,称为称为”极点配置极点配置”。 机电控制工程 13 1.3.1.1 任意极点配置任意极点配置 为了简单起见，我们只研究单输入、单输出系统。 设系统的状态空间表达式为 机电控制工程 14 机电控制工程 15 以上所讲的过程，只适用于状态方程具有可控标准型的情以上所讲的过程，只适用于状态方程具有可控标准型的情 况。利用况。利用MATLAB软件很容易将一般的状态方程转换为标准软件很容易将一般的状态方程转换为标准 型：型： sys1= ss(A,B,C,D) csys=canon(sys1,companion) 用用co1= ctrb（A，B）可计算出系统的可控性矩阵

12、）可计算出系统的可控性矩阵co1=B，AB，An-1B 用用n1= rank(co1) 可以计算出可以计算出co1的秩的秩n1, 如果如果n1=n, 则系统则系统sys1可控可控 同样同样,用用ob1= obsv(A, C)可计算出系统的可观性矩阵可计算出系统的可观性矩阵 ob1 用用n2= rank(ob1) 可以计算出可以计算出ob1的秩的秩n2, 如果如果n2=n, 则系统则系统sys1可控可控 另外另外,用用co1=gram(sys1,c)和和 ob1=gram(sys1,o)也可求出可控性和可观也可求出可控性和可观 性矩阵。性矩阵。 实际上，实际上，不用转换成可控标准型不用转换成可控

13、标准型也可进行极点配置也可进行极点配置,具体办具体办 法如下：法如下： 机电控制工程 16 机电控制工程 17 1.3.1.2 极点配置举例极点配置举例 例12 设线性定常连续系统的传递函数为 试确定反馈矩阵试确定反馈矩阵F，使闭环系统的极点配置在，使闭环系统的极点配置在S1= -2, S2 = -1+j, S3 = -1- j位位 置上置上. 解：因为给定的传递函数无零极点对消现象，所以给定系统为状态完全可因为给定的传递函数无零极点对消现象，所以给定系统为状态完全可 控且可观。控且可观。 与给定传递函数对应的状态方程为 机电控制工程 18 机电控制工程 19 利用利用MATLAB可以方便地进

14、行极点配置可以方便地进行极点配置 对于对于SISO系统（单输入单输出系统），系统（单输入单输出系统），若 采用全反馈采用全反馈 u= -Kx 的反馈系统，且要使其具有指定的极点的反馈系统，且要使其具有指定的极点p， 即即p=eig（A-BK） 可由表 K=acker（A，B，p） 得到需添加的反馈矩阵 K。 例如例1.2 要确定反馈矩阵F，使闭环系统的极点配置在S1= -2, S2 = -1+j, S3 = -1- j位置上. p= -2,-1-j,-1+j; num=10; den=1,3,2,0; A,B,C,D=tf2ss(num,den) K=acker（A，B，p） 得到得到: K=

15、 1,4,4 注意反馈矩阵次序要倒过来写注意反馈矩阵次序要倒过来写 K=4,4,1,和上页推导结和上页推导结 果一致果一致. 另外注意这里的另外注意这里的K是反馈矩阵是反馈矩阵,而不是反馈传递函数模块而不是反馈传递函数模块. 对于对于MIMO系统系统(多输入多输出系统多输入多输出系统) 可采用函数可采用函数 K=place(A,B,p) X= AX+ B u 机电控制工程 20 1.4 线性二次型最优控制线性二次型最优控制 v式中式中Q、R是正定实对称矩阵，若系统的变量为标量是正定实对称矩阵，若系统的变量为标量(即方程为一阶即方程为一阶)，这时式，这时式(1- 15)就可写成就可写成 线性二次

16、最优控制是在状态空间研究线性系统的最优化问题。作为优化 依据是二次型目标函数 机电控制工程 21 二次型最优控制就是使上述二次型目标函数为最小的控制。二次型最优控制就是使上述二次型目标函数为最小的控制。 若系统的输入信号u为已知，求解满足J为最小(如误差为最小) 时系统的某些参数时，则这是属于参数最优控制参数最优控制问题； 若系统处于某平衡状态，要寻找一控制信号u(t)，使系统受 外来干扰等后，系统回复到原来的平衡状态过程中，J为最小， 则这是最优调节器最优调节器的研究； 如果输入信号是一理想的(所要求的)信号，使系统输出信 号跟踪该输入信号时满足J为最小，则这时是关于最佳跟踪控最佳跟踪控 制

17、制问题。 在最优调节和最佳跟踪控制问题中，J还表示了在调节或跟 踪过程中，将对控制量u 的能量加以约束，这在工程中意味着 防止出现过大的能量输入，而导致被控设备的损伤。 上式中x1 ,x2等变量代表各种物理量，在机电控制中它们可 代表位移、速度、加速度、压力等位移、速度、加速度、压力等。如取系统的平衡状态X=0， 那么X=x1 ,x2 ，xn T 便表示系统偏离平衡状态的偏差(或 误差)，加一积分即为偏差的累积。式中采取各变量的平方可以 避免累积(积分)时正负偏差相互抵消。 机电控制工程 22 在最优控制时，通常给出的条件是：系统的动态方程， 控制(或输入)向量，约束条件，目标函数，系统除动态

18、方程 外的其他一些必要参数。所谓最优控制问题就是根据以上这 些条件找出最优控制规律。最优控制规律通常取决于：确定 的性能指标及控制目的，约束条件，初始状态及初始输出， 希望状态或希望输出以及代表系统动态特性的方程式。 Q及R为权矩阵，一般要求为正定实对称矩阵， 用来确定状态变量与控制变量在性能指标中所占的 比重。最后所得的控制作用函数与Q、R有关，合理 的选择它们的数值十分重要，通常要凭经验多次反通常要凭经验多次反 复选择复选择，使其既能很好满足目标函数J的要求，又能 使系统在调节过程中有优良的动态特性。在系统的 设计阶段，可通过对系统的控制仿真来初步确定。 机电控制工程 23 1 .4.1

19、代数代数Riccati方程求解方程求解 设线性系统的状态方程模型(A，B，C，D)已知，如果 希望这样一个系统能够满足某种最优的要求，最简单的可 以引入线性二次型最优控制指标，即 J = 其中其中Q(t)和和R(t)分别是对状态变量和控制量的加权矩阵。一般情况下，分别是对状态变量和控制量的加权矩阵。一般情况下， 假定这两个矩阵为定常矩阵假定这两个矩阵为定常矩阵(即不随时间变化即不随时间变化)，并简记，并简记Q(t)=Q，R(t)=R。 线性二次型最优控制就是求出线性二次型最优控制就是求出J最小时的控制量最小时的控制量u(t)，从而获得性能最优。，从而获得性能最优。 为了达到这一目的，首先构造一

20、个为了达到这一目的，首先构造一个Hamilton函数：函数： 对对u求偏导数求偏导数 可以求出最优控制信号可以求出最优控制信号u(t)为：为： 其中P(t)矩阵就是以下Riccati方程的解： 0 0( (t t) )B BR R( (t t) )u u u u H H T T 机电控制工程 24 上面的方程是微分Riccati方程，一般是多个相互耦合的非线性微分方 程组，除了特殊情况外，一般不存在解析解。这就给求解最优控制信 号u(t)造成了困难。因此，我们一般求解u(t)的稳态解。即令tf趋于无 穷，则P(t)趋于一个常值矩阵，P(t)的一阶导数趋于零，有： 上式被称为代数Riccati方

21、程，其求解就比较容易了。 MATLAB提供了一条求解代数Riccati方程的函数care()，其基本调用 格式为 它所求解的代数Riccati方程形式为 此式中的的此式中的的X是前式中的是前式中的P 一般缺省设置一般缺省设置S=0，E=1，这样该方程就和原始的代数，这样该方程就和原始的代数 Riccati方程一致了。方程一致了。X是求得的代数是求得的代数Riccati方程的解，方程的解，L是是 闭环状态方程参数矩阵的特征值，闭环状态方程参数矩阵的特征值，G是状态反馈矩阵，是状态反馈矩阵，RR 是残留矩阵的是残留矩阵的Frobenius范数。范数。 有了代数有了代数Riccati方程的解，就可以

22、求出最优控制信号方程的解，就可以求出最优控制信号u(t) 和和 系统的响应曲线。请看下例：系统的响应曲线。请看下例： 0 0Q Q) )S SX XE E( (B BS S) )R RX XB B( (E EX XE EA AX XA AE E T TT T1 1T TT TT T 机电控制工程 25 某控制系统的状态方程描述以及Q、R矩阵如下。试求解其代数 Riccati方程的解和最优控制信号U(f)，并绘制系统对两个输入量 的阶跃响应曲线。 本例是一个22的多输入多输出系统，因此最优控制信号是二维的。Q是 状态变量的加权矩阵，R是控制信号的加权矩阵，其意义是衡量二者在性能 指标J里的权重。

23、除了要求它们必须是正定矩阵之外没有什么特殊要求。不 过不同Q和R会得出不同的代数Riccati方程的解，进而会得出不同的最优控 制信号u（t）。 机电控制工程 26 求解过程： 本例的解题步骤分为以下几步： 1求解代数Riccati方程 调用care()函数可以很快得到代数Riccati方程的解。程序如下: 机电控制工程 27 结果：系统的代数Riccati方程的解为 机电控制工程 28 2求解系统的最优控制信号 根据最优控制信号的表达式： 得到系统的代数Riccati方程的解之后可以求出最优控制信号的变 化曲线，其中，状态反馈矩阵K等于： 紧接上一步，输入以下代码： 机电控制工程 29 机电

24、控制工程 30 机电控制工程 31 得到系统的二维最优控制信号如图119所示。 图图119最优控制信号变化曲线最优控制信号变化曲线 从图l19中可以看出，在阶跃输入下，控制信号基本上在05s。07s左 右就趋于稳定，也就是说，系统的过渡过程时间不会大于这个值。当然， 在实际的控制系统中，最优信号的值是不必我们手工计算的，只需求出状 态反馈矩阵，也就是最优控制器即可。 机电控制工程 32 3系统对输入的响应曲线系统对输入的响应曲线 紧接上一步，在MATLAB Command Window键入下列语句即 可获得图1.20和图1.21所示的曲线： 图图120系统对第一个输入系统对第一个输入 量的阶跃

25、响应曲线量的阶跃响应曲线 机电控制工程 33 图图1 21 系统对第二个系统对第二个 输入量的阶跃响应曲线输入量的阶跃响应曲线 这里求解系统的闭环参数矩阵时用的是A+B*K而不是A- B*K， 这是因为在计算状态反馈矩阵K时已经包含负号了。从图 1.20和图l.21中还可以看出，系统的过渡过程时间都在 05s一07s之间. 机电控制工程 34 1.3.2线性二次型最优控制器设计举例线性二次型最优控制器设计举例 使用线性二次型最优控制器进行控制系统设计和校正的最大优点就 是不必根据要求的性能指标确定闭环极点的位置，只需根据系统的响应 曲线寻找出合适的状态变量和控制量的加权矩阵即可。因为求得的控制

26、 器是误差指标 J 最优意义下的控制器，所以系统的性能也是 J 指标意 义下最优的。 某倒立单摆系统如图1.22所示，其中小车的质量为其中小车的质量为M=0.5kg，倒立单摆，倒立单摆 的质量为的质量为m=0.2kg，小车的摩擦系数为，小车的摩擦系数为b=0.1，端点与倒立单摆质心的，端点与倒立单摆质心的 距离为距离为l=0.3m，倒立单摆的惯量为，倒立单摆的惯量为I=0.006kg，输入量，输入量u=F是施加在是施加在 小车上的外力，四个状态变量分别是小车的坐标小车上的外力，四个状态变量分别是小车的坐标x，x的一阶导数，倒的一阶导数，倒 立单摆的垂直角度立单摆的垂直角度，及，及的一阶导数。输

27、出的被控量分别是小车的坐的一阶导数。输出的被控量分别是小车的坐 标标x和倒立单摆的垂直角度和倒立单摆的垂直角度。试根据误差指标最优意义下最优的规则。试根据误差指标最优意义下最优的规则 设计线性二次型最优控制器和相关的参考输入以及观测器，满足以下设计线性二次型最优控制器和相关的参考输入以及观测器，满足以下 指标指标 : (1)输出量输出量x和和 的过渡过程时间小于的过渡过程时间小于2 s， (2)输出量输出量x的上升时间小于的上升时间小于0.5 s (3)输出量输出量 的超调量小于的超调量小于20(0.35 rad/s)。 下面首先需要建立倒立单摆系统的数学模型：下面首先需要建立倒立单摆系统的数学模型： 机电控制工程 35 图图1-22倒立单摆系统示意图倒立单摆系统示意图 机电控制工程 36 假设假设很小很小, sin, cos 1 1。 忽略推导过程忽略推导过程,可得出倒立单摆系统倒立单摆系统的状态方程： 机电控制工程 37 机电控制工程 38 机电控制工程 39 机电