高中数学平面向量专题复习(含例题练习)

1、平面向量专题复习一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：2零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意零向量的方向是任意的；uuuruuur3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 AB 共线的单位向量是AB) ；uuur| AB|4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作：a b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量

2、不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；r平行向量无传递性！ （因为有 0 ) ；uuur uuur三点 A、 B、 C 共线AB、AC 共线；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。如rrrr（ 3）若例 1：（ 1）若 ab，则 ab 。（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。uuuruuuruuuruuurrr rrABrDC ，则 ABCD 是平行四边形。 （4）若 ABCD 是平行四边形，则 ABDC 。（ 5）若 ab,bc ，则rr r rrrrac

3、。（ 6）若 a / b, b / c ，则 a / c 。其中正确的是 _二、向量的表示1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ， j 为基底，rrrx, y，称 x, y 为向量 a 的坐标， a x, y 叫做向量 a 的则平面内的任一向量 a 可表示为 a xiy j坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三 平面向量的基本定理：如果e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量

4、，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1 、2，使 a=12rr1 e 2 e 。如(1,r( 1,2)r_例 2（ 1）若 a(1,1),b1),c，则 c（ 2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是uruururuurA. e1(0,0), e2(1, 2)B.e1( 1,2), e2(5,7)uruur(6,10)uruur(1, 3)C. e1(3,5), e2D.e1(2, 3),e2uuur uuur24uuurr uuurruuurr r（ 3）已知 AD , BE 分别是ABC 的边 BC, AC 上的中线 ,且 ADa, BEb ,则 BC 可用向量 a, b

5、表示为_（ 4）已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD2DB，CDr ABs AC ，则 rs 的值是 _四实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下：1rra 的方向与 a 的方向相同， 当0 时，0 时，rra 0。当a0，注意：1五平面向量的数量积：uuurr uuurrAOB1两个向量的夹角：对于非零向量a ， b ，作 OA a, OBb ，0称为向量 a ， b 的夹角，当 0 时， a ， b 同向，当时， a ， b 反向，当时，2a ， b 垂直。r r2平面向量的数量积： 如果两个非零向量 a ， b ，它们的夹角为叫做 a

6、，我们把数量 | a | b | cosrr与 b 的数量积（或内积或点积） ，记作： a ? b ，即 a ? b a b cos。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。r3 b 在 a 上的投影为 |b | cos，它是一个实数，但不一定大于0。4 a ? b 的几何意义：数量积ra ? b 等于 a 的模 | a |与 b 在 a 上的投影的积。5向量数量积的性质：设两个非零向量a ， b ，其夹角为，则：rrr r aba ?b 0 ；r rr 2r rr 2 rr 2当 a ， b 同向时， a ? b a b ，特别地， aa ? aa, aa

7、 ；当 a 与 b 反向时， a ? b r r为锐角时， a ? b 0，且r rr r0 是 a b ；当a、b 不同向，a b为锐角的必要非充分条件；当为钝r rr r0 是角时， a ? b 0，且 a、b 不反向， a b非零向量 a ， b 夹角的计算公式： cos为钝角的必要非充分条件；r rr r r ra ?br r； | a ?b | | a | b |。a b例 3 如（1）ABC 中， | AB |3，|AC |4，| BC |5，则 AB BC_r1 r1 rrr urrrrur，则 k 等于 _（ 2）已知 a(1, ),b (0,), ca kb,dab ， c

8、与 d 的夹角为r2rr r2rr等于 _4（ 3）已知 a2, b5, agb3 ，则 abrrrrrrrrr（ 4）已知 a,b 是两个非零向量，且abab ，则 a与 ab 的夹角为 _例 4 已知 | a | 3， | b |5 ，且 a b12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为 _例 5（ 1）已知 a( ,2) ， b(3 ,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是 _（ 2）已知OFQ的面积为S，且OF FQ，若1S3，则OF,FQ夹角的取值范围是。122六向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如

9、此之uuurruuurruuurrr外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ABa, BCb ，那么向量AC 叫做 a 与 b 的和，即rruuuruuuruuurabABBCAC ；uuurr uuurrrruuuruuuruuur向量的减法：用“三角形法则”：设 ABa, ACb, 那么 abABACCA ，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。rr(x2 , y2 ) ，则：2坐标运算：设 a(x1, y1 ), brr向量的加减法运算：ab( x1x2 ， y1y2 ) 。r实数与向量的积：ax1 , y1x1 ,y1。2uuur若 A( x1 , y

10、1), B( x2 , y2 ) ，则 ABx2x1 , y2y1 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。rrx xy y平面向量数量积：a? b。如1212已知向量 a （ sinx，cosx ）,b （ sinx ， sinx ） ,c （ 1，0）。（1）若 x，求向量 a 、 c的夹角；（ 2）若 x 31 ，求3, ，函数 f (x)ab 的最大值为的值84r 2r2rx2x2y2 。向量的模： | a |y2 , a| a |2Ax1, y1, B x2 , y2，则|AB|x2x12y22两点间的距离：若y1 。uuuruuuruuuruuuruuu

11、ruuuruuuruuuruuuruuur例 6： ABBCCD_； ABADDC_； ( ABCD )( ACBD ) _例 7（ 1）已知点 A(2,3), B(5,4)， C(7,10)uuuruuuruuurR) ，则当 _时，点 P 在第一、，若 APABAC (三象限的角平分线上且 1 uuur（ ）已知A(2,3), B(1,4),(sin x,cos y)，,y(,)，则 x y2ABx222例 8 设 A(2,3), B(uuur1 uuuruuuruuur1,5) ，且 AC3AB，AD3AB ，则 C、 D 的坐标分别是 _rruurr例 9 已知 a, b均为单位向量，

12、它们的夹角为60 o ，那么 | a3b | _七向量的运算律：rrrrrrrrrr1交换律： abba ，aa ， a ?bb ? a ；rrrrrr rrrrrrrrrrrr2结合律： abcabc, abcabc，a ? ba ?ba ?b ；rrrrrrrrrrr rr r3分配律：aaa,abab ，ab?ca ?cb ? c 。例 10 下列命题中：a (bc )aba c ；a (bc)( a b)c ；( ab)2| a |2r rrr rr rrrr 2r 22 | a | b |2； 若 a b0 ，则 a0 或 ba b b| b |0 ；若 a bc b, 则 ac ；

13、 aa ；r 2r ；r rr 2 r 2rrr 2r rr 2aa。其中正确的是 _ (a b)2ab ； (ab)2a2abb提醒：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约 )；（ 2）向量的“乘法”不满足结合律，即a(b ? c) (a ? b)c ，为什么？rrrrrrr r八向量平行 ( 共线 ) 的充要条件： a / bab( a b)2(| a | b |)2x1 y2 y1 x2 0。rrrr例 11(1)

14、若向量 a( x,1), b(4, x) ，当 x _时 a 与 b 共线且方向相同rrrrrrrrr r（ 2）已知 a(1,1),b (4, x) ， ua2b ， v2ab ，且 u / v ，则 x_uuuruuuruuur(10,k) ，则 k_时， A,B,C 共线（ 3）设 PA(k,12), PB(4,5), PC3rrrrr rr r九 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ： a ba b 0| a b | | a b |x1 x2 y1 y2 0 . 特 别 地uuuruuuruuuruuurABACABAC) 。( uuuruuur )( uuuruuurABACABAC

15、uuuruuuruuuruuur例 11(1)已知 OA( 1,2),OB (3,m) ，若 OAOB ，则 m（ 2）以原点O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，B 90，则点 B 的坐标是 _rrurrurur（ 3）已知 n(a,b), 向量 nm ，且 nm，则 m 的坐标是 _十向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；rrrrrrrrrrrr r（ 2） | a |b | ab | | a |b |，特别地，当 a、b 同向或有 0| ab | a | b |r rrrrrr rrr rrrrrr r| a | | b |

16、 | a b | ； 当 a、b 反 向 或 有 0| a b | | a | | b | a | | b | | a b | ； 当 a、b 不 共 线rrrrrr).|a | | b | | ab | a | b | ( 这些和实数比较类似（3 ） 在ABC中 ， 若 A x1 , y1, Bx2 , y2,Cx3 , y3，则其重心的坐标为Gx1x2x3 , y1y2y3 。33uuur1uuuruuuruuurG为ABC的重心，特别地uuuruuuruuurr为ABC 的重PG3( PAPBPC)PAPBPC0P心；uuuruuuruuuruuuruuuruuurP 为ABC 的垂心；

17、PA PBPB PCPC PAuuuruuur向量(ABAC)(0)所在直线过ABC 的内心 ( 是BAC 的角平分线所在直线) ；uuuruuur|AB |AC|uuuruuuruuuruuur uuuruuur（4）向量 PA、PB、PC 中三终点 A、B、C 共线存在实数 、 使得 PAPBPC 且1 .例 12 若 ABC 的三边的中点分别为（ 2， 1）、（ -3， 4）、（ -1， -1），则 ABC 的重心的坐标为 _例 13平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1) , B( 1,3) ,若点 C 满足 OC1 OA 2 OB,其中1 ,2R且121则点C的轨迹是_

18、,4高考真题选讲一、选择题设 xR ,rr(1,2), 且rrrr1向量 a(x,1),bab ,则 | ab |（）A 5B 10C2 5D10在 ABC中 ,A90 ,uuuruuur uuur(1uuurR.3,设点 P,Q 满足 APAB, AQ)AC,AB 1uuuruuur2,则若BQ CP（）A 1B 2C 4D 2333rrrrab4设 a 、 b 都是非零向量 , 下列四个条件中, 使成立的充分条件是（）rr| a | b |rrrrrrrrrrA | a | | b | 且 a / bB abC a / bD a 2b5已知向量 a = (1, 1),b = (2,x).若

19、 ab = 1,则 x =（）A1B 1C 1D 1226对任意两个非零的平面向量和, 定义, 若平面向量 a 、 b 满足 ab0 , a 与 b 的夹角0, 且 a ob 和 b oa 都在集合nZ中 ,则 a ob（）n42A 1B 1C 3D 52uuuruuuruuur2271,23,4若向量 AB, BC,则AC（）A 4,6B 4,6C2,2D 2,2 ABC 中,uuurruuurrrr0 ,rruuur9AB 边的高为 CD , 若 CBa ,CA b ,a b|a |1, | b |2,则AD（）A 1 r 1 rB 2 r2 rC3 r3 rD4 r4 r3abab5ab

20、ab333555二、填空题uuuruuur10在 ABC中 ,M 是 BC的中点 ,AM=3,BC=10, 则 AB AC =_.12已知向量 a , b 夹角为 450, 且 |a |=1,| 2ab |=10,则|b |=_.14如图 , 在平行四边形 ABCD中 ,AP BD,垂足为 P, APuuuv uuuv3且 AP AC=.ADgPB5Crr15已知向量a(1,0), b(1,1), 则rr_;( ) 与 2ab 同向的单位向量的坐标表示为rrr( ) 向量 b3a 与向量 a 夹角的余弦值为 _.uuuruuur16已知正方形 ABCD的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点 , 则 DECB 的值为 _.rrrrrrr17设向量 a(1,2m),b(m 1,1),c (2, m) , 若 (ac) b , 则 a _.巩固练习例 1 设 A、B、C、 D、O 是平面上的任意五点，试化简：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur ABBCCD ， DBACBD OAOCOBCOrrr r rr rrrr例 2 设非零向量 a