双曲线知识点归纳与例题分析

1、基本知识点双曲线标准方程（焦点在x轴）标准方程（焦点在y轴）双曲线2 2x2 y21(a 0,b 0)a b2 2；2 ：2 1(a ,b 0)第一定义：平面内与两个定点 , F2的距离的差的绝对值是常数（小于|FiF2p 的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。定义第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线丨的距离的比是常数e ,当e 1时, 动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线， 常数e （e 1 ）叫做双曲线的离心率。、Tkx范围对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中焦占坐八 、八、一I-原点0(0,0)F, c,0)

2、F2(c,0)F!(0, c)F2(0,c)2c焦点在实轴上，c Ja2 b2 ;焦距：IF1F2I顶点坐(a,0) ( a,0)(0, a,) (0 , a)离心率e a(e 1)准线方2 axc2a y T程2 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2ac顶点到顶点A( A)到准线ii(12)2的距离为a已准线的o距离顶点A( A2)到准线12(ii)的距离为L ac隹占至U八、八、亠J焦点F,( F2)到准线ii(12)的距离为c聖准线的焦点F,( F2)到准线12(ii)的距离为二c距离c渐近线b y xbx -ya方程共渐近2 2x y2 . 2k(k 0)2 2爲缶k(

3、k 0)线的双a bab曲线系方程2双曲线Xr2y21与直线ykx b的位置关系：ab22直线和Xy11转化利用a2b2为一元二次方程用判别式确定。双曲线y kxb的位置二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长|ABk2(xi x2 )2 4xix2通径：ABy2 yJ补充知识点:等轴双曲线的主要性质有：(1) 半实轴长=半虚轴长(一般而言是a=b,但有些地区教材版本不同，不一定用的是 a,b这两 个字母)；(2) 其标准方程为xT-yA2=C，其中Cm0;(3) 离心率e=V2;(4) 渐近线：两条渐近线y= x互相垂直；(5) 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点

4、 的距离的比例中项；(6) 等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条 渐近线之间的线段，必被P所平分；(7) 等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数aA2；(8) 等轴双曲线xA2-yA2=C绕其中心以逆时针方向旋转45后，可以得到XY=aA2/2,其中Cm0 所以反比例函数y=k/x的图像一定是等轴双曲线。例题分析：例1、动点P与点Fi(0,5)与点F2(0，5)满足PFiPF26，则点P的轨迹方程为()A.2 2乞 1B.2 x2乞19161692 222C.x 宁 1(y3)d.x审 1(y 3)169169同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为y3x4，则离心率为

5、A. 5B.5C. 5 或 5D. 3343422例2、已知双曲线-y_1的离心率为e 2，则k的范围为()4kA. 12 k 1B.k 0C. 5 k 0d.12 k 022同步练习二：双曲线笃 爲1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 a b22例3、设P是双曲线 务 仝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x 2y 0，F1, F2分别是双曲a 9线的左、右焦点，若|pr| 3，则PF2的值为.同步练习三：若双曲线的两个焦点分别为(0，2),(0 2)，且经过点(2, 15)，则双曲线的标准方程为。例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是2 22x2 yx(A) -y

6、=1 和 -=13 9322x 22 x(B) -y =1 和 y -=13322(C)y2- x =1 和 x2- y =1332 2 2x 2 x y(D)-y =1 和-=1393且PF1 PF?，且 PFE 的面积为1,则双曲线的方程为（）2A. -22C.42y_3B.D.2乙122y- 14例5、与双曲线2y161有共同的渐近线，且经过点A（ 3,2. 3的双曲线的一个焦点到一条渐同步练习四：已知双曲线的中心在原点，两个焦点Fi, F2分别为（岳0）和（屁0），点p在双曲线上近线的距离是（(A) 8(B) 4(C) 2(D) 1同步练习五：以y3x为渐近线，一个焦点是F （ 0,

7、2）的双曲线方程为（）例&下列方程中，2 2（21164x2y=0为渐近线的双曲线方程是 2 2 2 2(B)牛吕 1(C)牛 y2 1 (D)x2 牛 141622同步练习六：双曲线8kx2-ky 2=8的一个焦点是（0，3），那么k的值是例7、经过双曲线-的右焦点F2作倾斜角为30的弦AB(1)求 |AB|.（2） F是双曲线的左焦点，求 FAB的周长.三才=1同步练习七过点（0, 3）的直线I与双曲线J 只有一个公共点，求直线I的方程。 高考真题分析1.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点, 准线交于代B两点，AB 4亦；则C的实轴长为（焦点在x轴上，C与抛物线y2）16

8、x的(A) 2【答案】C(B) 2、2(C)(D)【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题【解析】由题设知抛物线的准线为：x 4，设等轴双曲线方程为：x2 y2 a2，将x 4代入 等轴双曲线方程解得y= J6 a2 , v | AB|=4.3，二2 16 a2 =4.3，解得a =2,C的实轴长为4，故选C.2 22.【2012高考山东文11】已知双曲线G :笃爲1(a 0,b 0)的离心率为2.若抛物线a bC2 :x2 2py(p 0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(A)x2(B) x2 曲 y (C) x2 8y (D) x2

9、16y33【答案】D 考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a，b，c的关系可知b . 3a，此题应注意C2的焦点在y轴上，即(0, p/2 )到直线y ,3x的距离为2,可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。3.【2012高考全国文10】已知F1、F2为双曲线C : x2 y2 2的左、右焦点，点P在C 上, | PF1 | 2| PF2 |,则 cos F1PF2(A)(B)(唁4(D)-5【答案】C【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。【解析】解：由题意可知，

10、a72b, c 2，设| PF112x,| PF21x，则| P |PF2| x 2a2血,故|PR| 4、2,|PF2| 2 2 , F1F24，利用余弦定理可得cos RPF2PF12 PF22 F1F22(4、2)2(2”2)24232PF1 PF22 2、2 4： 24 2士 1(a 0)的渐近线方程为3- 2y 0,则a的值为24. (2011年咼考湖南卷文科6)设双曲线2a()A. 4B . 3 C . 2 D . 1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为 y3，故可知a 2a5.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2y 2=1,点只尸2为其两个焦点，点P为双曲线上一点,若P

11、 F1丄P F2,则I P F1 I + I P F2 I的值为【答案】2J3【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。【解析】由双曲线的方程可知a 1,c 2, |PF1 |PF 2a 2,PF12 2PF1IIPF2I |PF24222Q PF1PF2, |PF|PF2|(2c)28,2PFPF24,(PF1PF2 )2 84 12,PF1PF22 晶【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差一积一和的转化。2 26.【2012高考江苏8】(5 分)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线-+1的离心率为5，m m 4则m的值为.【答案】2

12、。【考点】双曲线的性质。2 2 , i【解析】由1 得 a= . m， b= 4， c= m4。m m 4e=E=m2am4 一-=/5，即 m2 4m 4=0，解得 m=2。课后作业21 .双曲线Z32J 1的实轴长和虑轴长分别是（）4A. 2、3 , 4 B.4 , 2 3C.3, 4 D. 2,、322.双曲线笃a2殳1的焦点到它的渐近线的距离等于（）A. b.a2 b2B. b C.a D. a . a2 b23.如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为（）A.虫B.空C.2 2D.24.双曲线的渐近方程是，焦点在坐标轴一，焦距为10,其方程为（2A. 202y- 15

13、B.x2202221 或 L 1 C.匚20552仝1 D.202 y2025.双曲线9y2161的右准线与渐近线在第一象限的交点和右焦点连线的斜率是A. 34B.C.D.26.双曲线162 y251的两条渐近线所成的角是（A4A. 2 arctan-5B.52 arcta n C.442arcta n 5D.52 arcta n 427.双曲线令a2 yb21与其共轭双曲线有A.相同的焦点B.相同的准线C.相同的渐近线D.相等的实轴长8.已知双曲线的渐近线方程为,则此双曲线的A.焦距为10实轴长与虚轴长分别为C离心率e只能是4或i离心率e不可能是-或-439.等轴双曲线的一个焦点是F1（4,

14、 0）,则它的标准方程是，渐近线方程是10 若双曲线的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则其离心率为211.若双曲线二642361上的一点P到它的右焦点的距离是8,则到它的右准线之间的距离为12若双曲线的一条渐近线方程为3x 2y 0，左焦点坐标为(.26,0)，则它的两条准线之间的距离为13写出满足下列条件的双曲线的标准方程:2(1)双曲线的两个焦点是椭圆丄100264 1的两个顶点，双曲线的两条准线经过这个椭圆的两个焦占：八、八、._(2)双曲线的渐近线方程为y x，两顶点之间的距离为2:14. 双曲线的其中一条渐近线的斜率为 -，求此双曲线的离心率715. 已知双曲线x 2 19.已知双曲线过 1 8 16 my2 1(m 0)的右顶点为A,而B C是双曲线右支上的两点，如果ABC是正三角形，贝U m的取值范围是2 216. 设圆过双曲线 乞1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，贝U圆心到双曲线中心916的距离是2 217. 已知双曲线 y 1上一点M到左焦点F1的距离是它到右焦点距离的5倍，则M点的坐标169为18. 已知直线I过定点(0, 1)，与双曲线x2 y2