高等数学下册期末考试及试题答案

1、E- Cio分解，作辅助线:-V* + V2 =/ 2 , 4含；i；4-r2 -ry2 1内.且斗的方向取帧时针方向* i己占利f祈国区域対，则保尸一二【“0M-.V + V-L& （L十厂厂 护10.任llll|f “ I.求一点，使诛恵处的仏线匪罚和酥+和+ . _90 .解:录尸（八-则在点（一n 的法向量为（-：-4），平面r + 3y+ Z+9-0的法向量为 | 1,）. -） 4?心-Jx Yf -1 y 又i* 儿 心 1 1故满足题意的点为（-3, -1, 3）1L将西数儿工2优用为、的昭级数.v + .r + 2解：/ ml十点 t-l)n-TP -1 A 1)高等数学A（

2、下册）期末考试试题一、填空题：（本题共5小题,1、已知向量a、b满足a每小题r O4分，满分20分，把答案直接填在题.中横线上）2，则 a b 大题-一-二三四五六七小题12345得分2、设 z x In(xy)，则3z2x y,223、曲面x y z9在点(1,2, 4)处的切平面方程为4、设f(x)是周期为2的周期函数，它在,)上的表达式为f (x)x，贝y f (x)的傅里叶级数在x 3处收敛于，在x 处收敛于5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则X y)ds以下各题在答题纸上作答， 答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上： 姓名、学号、班级.、解下列各题：(本题

3、共5小题，每小题7分，满分35分)1、求曲线2x22zo 2 23y zo 2 23x y9在点Mo(1, 1,2)处的切线及法平面方程.2、求由曲面2x2 2y2及z 6 x2 y2所围成的立体体积.n 13、判定级数(1)nln是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?nx4、设 zf(xy,)ysin y，其中f具有二阶连续偏导数，求x5、计算曲面积分坐，其中z是球面x2 y2z22a被平面zh (0 h a)截出的顶部.(本题满分9分)抛物面z2 2x y被平面z 1截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.(本题满分10分)mx)dy,计算曲线积分L(exsin

4、y m)dx (excosyax (a 0).其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点0(0,0)的上半圆周x2 y2四、(本题满分10分)xn求幕级数的收敛域及和函数.n 1 3 n五、(本题满分10分)332计算曲面积分 | 2x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy,其中为曲面z 1 x2 y2(z 0)的上侧.六、(本题满分6分)t是由曲面z x y2 2 2设 f (x)为连续函数，f (0) a , F(t) z f (x y z )dv，其中F(t)t与z t2 x2 y2所围成的闭区域，求limt 0备注：考试时间为 2小时;考试结束时，请每位考生按卷面答题纸 草稿纸

5、由表及里依序对折上交;不得带走试卷。高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】参考解答与评分标准2009年6月一、填空题【每小题4分，共20分】1、4 ;2、12 ； 3、y2x 4yz14； 4、3, 0；5、2二、试解下列各题【每小题7分，共35分】1、解：方程两边对x求导，得3y寻dxdz z -dx2x从而dy5xdz7x.4】dy y -dz z -3xdx4ydx4zdx dxur该曲线在1, 1,2处的切向量为T1(8,10,7).85D故所求的切线方程为y 110法平面方程为1020 即 8x 10y 7z12.7【】z2、解：z2x26 x22y22y该立体在xOy面上的投影区域

6、为2 Dxy ： x故所求的体积为Vdv2dz2 (6 3 2)d0.7【】3、解:由 lim n unlimnnln(1lim ln(1n0，知级数n 1un发散【3】又 |Un |ln(1ln(1七)|Un1|lim |unnlimnln(11)0 .故所给级数收敛且条件收敛.n【7】z.上1上1上4、解：(f1yf2)0yf1f2,【3】xyy2zf1y fnf12 (X11 , x1xx2) 2 f2 f21x f22 ( 2)f1 xyfn2 f23f22.【7】x yy yyyyy5、解:的方程为z.a22 2xy ，在xOy面上上的投影区域为 Dxy(x, y) |2 2x y2

7、 ah2 又 J2 2Jzya 222 2x y ，.【3】2a2 h2dSadxdy2 2 2z D a x yxy0a2 a 丄In(a222)02吩【7】、【9分】解：设M (x,y,z)为该椭圆上的任一点,则点M到原点的距离为dx2 y2 z2【1】2令 L(x, y,z) x(z x2(x yz 1),Lx 2x 2 Ly则由Lz2y 22zMd0，解得x2y1_32 ，z 2 m 3 .于是得到两个可能极值点,2J),1 V3 1 73厂(hh2,3).【7】又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在,所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得.故 dmax IOM2I x 9 5

8、3, dmin QM1 |9min5 3.【9】四、【10分】 解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得xI2? (e sin y m)dxL OA(ex cosy mx)dy2ma .8【5】而丨1(ex si ny m)dx(excosy mx)dyadx0ma【8】L (ex sin y m)dxx(e cosymx)dy I211ma2ma .8【10】五、【10分】解:limnan 1anlimnn3n n 1 :3n 13，收敛区间为(3,3)【2】又当x 3时，级数成为丄，发散；当x1 n3时，级数成为，收敛.【4】故该幕级数的收敛域为3,3【5】nx1 n3nx

9、 3)，则s(x)申11 31 131x/3x(|x|3) 【8】于是s(x)x0s(x)dxx dx03 xInIn 3 In 3 x ,(3x3 )【10】六、【10分】解：取21 为 z 0(x1）的下侧，记1所围成的空间闭区域为，有I22x3dydz12y3dzdxz21 dxdyx2dvdz而I12x3dydz12y3dzdx1 dxdydxdy3x2y2dxdy 31则由高斯公式,I.【7】【9】【10】七、【6分】解:4 sin0r cosf r2r 2dr .cosr3dr04sindrr20r2dr【4】limt 02 t2f(t2)3t2limt 0f(t2)二a.【6】3解.P:-vxcQ尸= r、Q -、J.一 04 + y4V + ya，v &v14.（10 分）计算积分先.rd* - yd.v4a: + v2其中厶为阴周（IF 、/（按逆时针方向）.故当z时，宀冷.-冷在所围的区域。内有连续僞导，满足格林公式条件.彳出二二訂%,n 4.v* 4- v3