24.3正多边形和圆（经典实用）

1、24.3正多边形和圆 A B C D E 24.3正多边形和圆 观察下列图形他们有什么特点？观察下列图形他们有什么特点？ 24.3正多边形和圆 正三正三 角形角形 正方形正方形 24.3正多边形和圆 正正n边形与圆的关系边形与圆的关系 1.把正把正n边形的边数无限增多边形的边数无限增多,就接近于圆就接近于圆. 2.怎样由圆得到多边形呢？怎样由圆得到多边形呢？ A B C D 思考思考1: 把一个圆把一个圆4等分等分, 并依次连并依次连 接这些点接这些点,得到正多边形吗得到正多边形吗? 24.3正多边形和圆 思考思考2: 把一个圆把一个圆5等分等分, 并依次连接这些点并依次连接这些点, 得到正多

2、边形吗得到正多边形吗?A B CD E 定理定理1 1：把圆分成把圆分成n n（n3n3）等份：）等份： 依次连结各分点所得的多边形是这个圆依次连结各分点所得的多边形是这个圆 的的内接正多边形内接正多边形. . 24.3正多边形和圆 又又五边形五边形PQRST的各边都与的各边都与 O相切，相切， 五边形五边形PQRST的是的是O外切正五边形。外切正五边形。 证明：连结证明：连结OA、OB、OC，则：，则： OAB=OBA=OBC=OCB TP、PQ、QR分别是以分别是以A、B、C 为切点的为切点的 O的切线的切线 OAP=OBP=OBQ=OCQ PAB=PBA=QBC=QCB 又又AB=BC

3、AB=BC PAB与与QBC是全等是全等 的等腰三角形。的等腰三角形。 P=Q PQ=2PA 同理同理Q=R=S=T QR=RS=ST=TP=2PA A B CD E P P Q Q R R S S T T O O 定理定理2 2：经过各分点作圆的切线，以相邻切经过各分点作圆的切线，以相邻切 线的交点为顶点的多边形是这个圆的线的交点为顶点的多边形是这个圆的 外切正多边形外切正多边形. 思考思考3: 过圆的过圆的5等份点画圆的切线等份点画圆的切线, 则以相邻切则以相邻切 线的交点为顶点的多边形是正多边形吗线的交点为顶点的多边形是正多边形吗? 24.3正多边形和圆 E F C D 中心角中心角 边

4、心距边心距r r 24.3正多边形和圆 1. O是正是正ABC的中心，它是的中心，它是ABC的的_ 圆与圆与_圆的圆心。圆的圆心。 2. OB叫正叫正ABC的的_, 它是正它是正ABC的的_圆圆 的半径。的半径。 3. OD叫作正叫作正ABC_, 它是正它是正ABC的的_ 圆的半径。圆的半径。 A BC .O D 外接外接 内切内切 半径半径 外接外接 边心距边心距 内切内切 4. BOC是正是正ABC的的_角角; 中心中心 BOC=_度度; BOD=_度度.12060 24.3正多边形和圆 5、正方形、正方形ABCD的外接圆圆心的外接圆圆心O叫做叫做 正方形正方形ABCD的的_ 6、正方形、

5、正方形ABCD的内切圆的半径的内切圆的半径OE叫做叫做 正方形正方形ABCD的的_ A BC D .O E 中心中心 边心距边心距 24.3正多边形和圆 7、 O是正五边形是正五边形ABCDE的外接圆，弦的外接圆，弦AB的的 弦心距弦心距OF叫正五边形叫正五边形ABCDE的的_， 它是正五边形它是正五边形ABCDE的的_圆的半径。圆的半径。 8、AOB叫做正五边形叫做正五边形ABCDE的的_角，角， 它的度数是它的度数是_ D E A B C .O F 边心距边心距 内切内切 中心中心 72度度 24.3正多边形和圆 9、图中正六边形、图中正六边形ABCDEF的中心角是的中心角是_; 它的度数

6、是它的度数是_; 10、你发现正六边形、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？什么数量关系？为什么？ BA E F C D .O AOB 60度度 24.3正多边形和圆 A B CD E F 24.3正多边形和圆 A B C D E 3.求证求证：正五边形的对角线相等。正五边形的对角线相等。 证明：证明： 在在BCDBCD和和CDECDE中中 BC=CDBC=CD BCD=CDE BCD=CDE CD=DE CD=DE BCDBCDCDECDE BD=CE BD=CE 同理可证对角线相等。同理可证对角线相等。 已知：已知：ABCDE是正五边形，是正五

7、边形， 求证：求证：DB=CE 24.3正多边形和圆 E F C D . n 360 中心角 n BOGAOG 180 边心距把边心距把AOBAOB分成分成 2 2个个全等的直角三角形全等的直角三角形 设正多边形的边长为设正多边形的边长为a,a,半径为半径为R,R,则周长为则周长为L=na.L=na. R R a a ）边心距（）边心距（面积 ，边心距 ）（ rnarLS r a R 2 1 2 1 2 2 2 24.3正多边形和圆 60 3 180 3 360 2 1 2 1 3中心角时，当AOMn 45 4 180 4 360 2 1 2 1 4中心角时，当AOMn 30 6 180 6

8、360 2 1 2 1 6中心角时，当AOMn 边心距r 半径R 60 O M C A 边心距r 半径R 30 M C O A 边心距r 半径R 45 O M C A 探索新知 24.3正多边形和圆 n n1802）（ n 360 F A D E . . B B C C R R P P 24.3正多边形和圆 例例 有一个亭子它的地基是半径为有一个亭子它的地基是半径为4m4m的正六边形的正六边形, , 求地基的周长和面积求地基的周长和面积( (精确到精确到0.10.1平方米平方米). ). F A D E . . B B C C r R R P P 24.3正多边形和圆)(6 .413224 2

9、 1 2 1 32 2 2 4 2 4 2 22 24 m LrS r BC PCOCOPCRt 亭子的面积 心距根据勾股定理，可得边 ，中，在 . 60 6 360 半径六边形的边长等于它的 是等边三角形，从而正 ，它的中心角等于 是正六边形，所以由于 OBC ABCDEF 亭子的周长亭子的周长 L=6L=64=24(m)4=24(m) F A D E . . B B C C rR=4 R=4 P P 24.3正多边形和圆 3.正多边形都是轴对称图形，一个正正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。边形的中心。 四、

10、正多边形的性质及对称性四、正多边形的性质及对称性 4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，边数是偶数的正多边形还是中心对称图形， 它的中心就是对称中心。它的中心就是对称中心。 1、正多边形的各边相等、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等、正多边形的各角相等 24.3正多边形和圆 怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知O的半径为2cm，求作 圆的内接正三角形. 120 用量角器度量，使 AOB=BOC=CO A=120 用量角器或30角 的三角板度量，使 BAO=CAO=30 A O CB 探索新知 24.3正多边形和圆 你能用以上方法画出正四边形、正 五边形、正六边形吗？ A B C

11、D O A B CD E O O A B C D E F 9072 60 探索新知 24.3正多边形和圆 你能尺规作出正六边形、正三角形、正 十二边形吗？ O A B C E F D 以半径长在圆周上截取六段 相等的弧，依次连结各等分点， 则作出正六边形. 先作出正六边形，则可作正 三角形，正十二边形，正二十四 边形 探索新知 24.3正多边形和圆 A B CD E O 你能作出正五边形的内切圆吗？你能作出正五边形的内切圆吗？ 探索新知 24.3正多边形和圆 A B C D 探索新知 你能作出五角星吗？你能作出五角星吗？ 24.3正多边形和圆 1、两个正六边形的边长分别是、两个正六边形的边长分

12、别是3和和4，这两，这两 个正六边形的面积之比等于个正六边形的面积之比等于_ 2圆内接正方形的半径与边长的比值是圆内接正方形的半径与边长的比值是 _ 3圆内接正四边形的边长为圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边，那么边 心距是心距是_ 4已知圆内接正方形的边长为，则该圆已知圆内接正方形的边长为，则该圆 的的 内接正六边形边长为内接正六边形边长为_ 5 圆内接正六边形的边长是圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正用么该正 六边形的半径为六边形的半径为_；边心距为；边心距为 _ 五五.拓展练习拓展练习 24.3正多边形和圆 6、已知正多边形的边心距与边长的比是，则此、已知正多边形的边心距与边长的

13、比是，则此 正多边形是正多边形是( ) A正三角形正三角形 B、正方形、正方形 C正六边形正六边形 D正十二边形正十二边形 7以下有四种说法：以下有四种说法：顺次连结对角线相等的顺次连结对角线相等的 四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；四边形各边中点，则所得的四边形是菱形； 等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图 形；形；顶点在圆周上的角是圆周角；顶点在圆周上的角是圆周角；边数相边数相 同的正多边形都相似，其中正确的有（）同的正多边形都相似，其中正确的有（） A1个个 B2个个 C3个个 D 4个个 8正多边形的中心角与该正多边形一个内角的正多边形的

14、中心角与该正多边形一个内角的 关系是（）关系是（） A.互余互余 B.互补互补 C.互余或互补互余或互补 D.不能确定不能确定 24.3正多边形和圆 9若一个正多边形的每一个外角都等于若一个正多边形的每一个外角都等于 36,那么这个正多边形的中心角为（那么这个正多边形的中心角为（ ） A36 B、 18 C72 D54 10将一个边长为将一个边长为a正方形硬纸片剪去四正方形硬纸片剪去四 角，使它成为正角，使它成为正n边形，那么正边形，那么正n边形的面边形的面 积为（积为（ ） A、 11正六边形螺帽的边长为正六边形螺帽的边长为a，那么扳手，那么扳手 的开口的开口b最小应是最小应是( ) A、 3 3 D. a 2 3 C. a 2