下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析

1、下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析，拟找到解决相应问题的有效方法。一、特殊优先，一般在后 对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时 “元素 优先”，有时 “位置优先 ”。例 1 0、2、3、4、5 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？ 解法一： （元素优先 ）分两类：第一类，含 0，0 在个位有 A42 种，0 在十位有 A21A31 种；第二类，不含 0，有 A21A32 种。故共有 （A42+A21A31）+A32A21=30 。 注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。 解法二： （位置优先 ）分两类：第一类， 0在个位有 A42 种

2、；第二类， 0不在个位，先从 两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有 A21A31A31 种。 故共有 A42+A21A31A31=30 。练习 1 （89 年全国）由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数， 其中小于 50000 的偶数共有 个（用数字作答） 。答案： 36二、排组混合，先选后排 对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。 例 2 （95 年全国 ）4 个不同的小球放入编号为 1、2、3、 4 的四个盒内，则恰有一个空盒 的放法有几种？解：由题意，必有一个盒内有 2 个球，同一盒内的球是组合， 不同的球放入不同的盒子 是排列。因此

3、，有 C42A43=144 种放法。练习 2 由数字 1，2，3，4，5，6，7 组成有 3个奇数字， 2 个偶数字的五位数，数字不 重复的有多少个？答案：有 C43C32A55=1440 （个）三、元素相邻，整体处理 对于某些元素要求相邻排列的问题， 可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其 它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排。例 3 5 个男生 3 个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？解：先把 3 个女生捆绑为一个整体再与其他 5个男生全排列。同时， 3 个女生自身也应 全排列。由乘法原理共有 A66A33 种。练习 3 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？ 答

4、案： A4424=384四、元素间隔，分位插入 对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。例 4 5 个男生 3 个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？ 解：先排无限制条件的男生，女生插在 5 个男生之间的 4 个空隙，由乘法原理共有 A55A43 种。注意： 必须分清 “谁插入谁 ”的问题。 要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元 素；数清可插的位置数；插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。练习 4 4 男 4 女站成一行，男女相间的站法有多少种？ 答案： 2A44A44例 5 马路上有编号为 1、2、3、9的 9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时 关掉

5、相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？解：由于问题中有 6 盏亮 3 盏暗，又两端不可暗，故可在 6 盏亮的 5 个间隙中插入 3 个暗的即可，有 C53 种。练习 5 从 1、2、10 这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法？ 答案： C83 。五、元素定序，先排后除或选位不排或先定后插 对于某些元素的顺序固定的排列问题， 可先全排， 再除以定序元素的全排， 或先在总位 置中选出定序元素的位置而不参加排列， 然后对其它元素进行排列。 也可先放好定序的元素， 再一一插入其它元素。例 6 5 人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？

6、解法一：先 5 人全排有 A55 种，由于全排中有甲、乙的全排种数A22 ，而这里只有 1种是符合要求的，故要除以定序元素的全排 A22 种，所以有 A55/A22=60 种。解法二：先在 5个位置中选 2个位置放定序元素 （甲、乙）有C52 种，再排列其它 3人有 A33 ，由乘法原理得共有 C52A33=60 种。解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有 3 种方法，接着插入第二人有 4 种方法，最后插入第三人有 5 种方法。由乘法原理得共有 345=60 种。练习 6 要编制一张演出节目单， 6 个舞蹈节目已排定顺序， 要插入 5 个歌唱节目， 则共 有几种插入方法？答案： A11

7、11/A66 或 C116A55=C115A55 或 7891011 种六、“小团体”排列，先 “团体”后整体对于某些排列问题中的某些元素要求组成 “小团体 ”时，可先按制约条件 “组团 ”并视为一 个元素再与其它元素排列。例 7 四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手 之间有两名男歌手，则出场方案有几种？解：先从四名男歌手中选 2 人排入两女歌手之间进行 “组团”有 A42A22 种，把这个 “女 男男女 ”小团体视为 1 人再与其余 2 男进行排列有 A33 种，由乘法原理，共有 A42A22A33 种。练习 7 6 人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站

8、法有多少种？答案： A22A44七、不同元素进盒，先分堆再排列对于不同的元素放入几个不同的盒内， 当有的盒内有不小于 2 个元素时， 不可分批进入， 必须先分堆再排入。例 8 5 个老师分配到 3 个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？解：先把 5 位老师分 3堆，有两类：3、1、1 分布有 C53 种和 1、2、2分布有 C51C42C22/A22 种，再排列到 3 个班里有 A33 种，故共有 （C53+C51C42C22/A22） A33 。注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位 （否则有重复计数 ）。即 “同一盒 内的元素必须一次进入 ”。练习 8 有 6 名同学，求下

9、列情况下的分配方法数： 分给数学组 3人，物理组 2 人，化学组 1人； 分给数学组 2人，物理组 2 人，化学组 2人； 分给数学、物理、化学这三个组，其中一组 3 人，一组 2 人，一组 1 人； 平均分成三组进行排球训练。答案： C63C32C11； C62C42C22 ； C63C32C11 A33 ； C62C42C22/A33 。八、相同元素进盒，用档板分隔例 9 10 张参观公园的门票分给 5 个班，每班至少 1 张，有几种选法？ 解：这里只是票数而已， 与顺序无关， 故可把 10 张票看成 10个相同的小球放入 5 个不 同的盒内，每盒至少 1 球，可先把 10 球排成一列，再

10、在其中 9 个间隔中选 4 个位置插入 4 块“档板 ”分成 5 格 （构成 5 个盒子 ）有 C94 种方法。注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。练习 9 从全校 10个班中选 12 人组成排球队，每班至少一人，有多少种选法？答案： C119九、两类元素的排列，用组合选位法 例 10 10 级楼梯，要求 7 步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？ 解：由题意知， 有 4 步跨单级， 3 步跨两级， 所以只要在 7 步中任意选 3 步跨两级即可。 故有 C73 种跨法。注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。练习 10 3面红旗 2 面黄旗，全部升上旗杆作信号

11、，可打出几种不同的信号？答案： C52例 11 沿图中的网格线从顶点 A 到顶点 B ，最短的路线有几条？解：每一种最短走法， 都要走三段 “|线”和四段 “”线， 这是两类元素不分顺序的排列问 题。故有 C74 或 C73 种走法。例 12 从 5 个班中选 10 人组成校篮球队 （ 无任何要求 ），有几种选法？解：这个问题与例 12 有区别，虽仍可看成 4 块“档板”将 10 个球分成 5 格（构成 5 个盒 子） ，是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故4 块“档板 ”与 10 个球一样也要参与排成一列而占位置，故有C144 种选法。练习 11 （a+b+c+d

12、）10 的展开式有几项？提示：因为每一项都是由 a,b,c,d中的一个或多个相乘而得到的 10 次式，所以可以看成 是 10 个球与 3 块档板这两类元素不分顺序的排列，故共有 C133 项。注意：怎样把问题等价转化为 “两类元素的排列 ”问题是解题的关键。 十、个数不少于盒子编号数，先填满再分隔例 13 15个相同的球放入编号为 1、2、3 的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不 同的放法？解：先用 6 个球按编号数 “填满”各盒（符合起码要求 ）,再把 9 个球放入 3 个盒内即可 ,可 用 2 块档板与 9 个球一起排列 （ 即为两类元素的排列问题 ）,有 C112 种。十一、多类元素

13、组合，分类取出。例 14 车间有 11 名工人，其中 4 名车工， 5 名钳工， AB 二人能兼做车钳工。今需调 4 名车工和 4 名钳工完成某一任务，问有多少种不同调法？解：不同的调法按车工分为如下三类： 第一类调 4 车工 4 钳工；第二类调 3 车工 4 钳工， 从 AB 中调 1 人作车工；第二类调 2 车工 4 钳工，把 AB 二人作为车工。故共有 C44C74+C43C21C64+C42C22C54=185 种不同调法。注：本题也可按钳工分类。若按 A、B 分类，会使问题变得复杂排列组合应用题的解法 排列组合应用题的解题方法既有一般的规律， 又有很多特别的技巧， 它要求我们要认真地

14、审 题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。一. 运用两个基本原理二. 特殊元素（位置）优先三. 捆绑法四. 插入法五. 排除法六 . 机会均等法七. 转化法八. 隔板法排列、组合、二项式定理 解题技巧 排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实 践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用， 本文介绍十二类典型排列 组合题的解答策略1相邻问题并组法2相离问题插空法3定序问题缩倍法4标号排位问题分步法5有序分配问题逐分法6多元问题分类法7交叉问题集合法8定位问题优先法9多排问题单排法10 “至少 ”问题间接法

15、11选排问题先取后排法 12部分合条件问题排除法 解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排 列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问 题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和 公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技 巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。一、合理分类与准确分步法 （ 利用计数原理 ） 解含有约束条件的排列组合问题， 应按元素性质 进行分类， 按事情发生的连续过程分步， 保证每步独立， 达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 例 1 、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排 尾，不同的排法有 （ ） A120种B96 种C78种D72 种分析：

16、由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有种排法； 2）若甲在第二，三，四位上，则有 种排法，由分类计数原理， 排法共有 种，选 C。解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后 排（排列）的方法解答。例 2、 4个不同小球放入编号为 1，2，3，4 的四个 盒中，恰有一空盒的方法有多少种？ 分析： 因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1）选：从四个球中选 2 个有 种，从 4个盒中选 3 个盒4 有 种；2）排： 把选出的 2 个球看作一个元素与其余 2 球共 3 个元素，对选出的 3 盒作全排列有 种，故所求 放法有 种。二、特殊元素与特殊位置优待法 对于有附

17、加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满 足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。例 3、 用 0，2，3， 4，5，五个数字，组成没有重复 数字的三位数，其中偶数共有（ ）。A 24 个B。30 个 C。40 个D。60个 分析 由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又 因为 0不能排首位，故 0 就是其中的“特殊”元素，应 该优先安排，按 0 排在末尾和 0 不排在末尾分两类： 1） 0 排末尾时，有 个， 2） 0 不排在末尾时，则有 个， 由分数计数原理，共有偶数=30 个，选 B。例 4、 马路上有 8 只路灯，为节约用电又不影响正常 的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉

18、相邻 的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的 关灯方法共有多少种？分析：表面上看关掉第 1 只灯的方法有 6 种，关第二只， 第三只时需分类讨论，十分复杂。若从反面入手考虑， 每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与 关灯的排列，于是问题转化为“在 5 只亮灯的 4 个空中 插入 3 只暗灯”的问题。故关灯方法种数为 。三、插空法、捆绑法 对于某几个元素不相邻的排列问题， 可先将其他元素排 好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中 插入即可。例 5、 7 人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？分析： 先将其余四人排好有 种排法，再在这人之间 及两

19、端的 5 个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则 有 种方法，这样共有 种不同排法。 对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑 在一起看作一个元，与其余元素一同排列，然后在进行 局部排列。例 6、 7 人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有 多少种不同排法？分析： 把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余 4 人共 5 个元作全排列，有 种排法，而甲乙、丙、之间 又有 种排法，故共有种排法。四、排除法 对于含有否定字眼的问题， 可以从总体中把不符合要求 的除去，此时需注意不能多减，也不能少减。例如在例 3 中，也可用此法解答：五个数字组成三位数的全排列有 个，排好后发现 0 不能排首位，而

20、且数字 3，5 也不能排末位， 这两种排法要除去， 故有 个偶数。五、顺序固定问题用“除法” （ 对等法 ） 对于某几个元素顺序一定的排列问题， 可先把这几个元 素与其他元素一同排列， 然后用总排列数除以这几个元 素的全排列数。例 7、 6 个人排队， 甲、乙、丙三人按 “甲 - 乙- 丙”顺序排的排队方法有多少种？分析： 不考虑附加条件，排队方法有 种，而其中 甲、乙、丙的 种排法中只有一种符合条件。故符合条 件的排法有 种。回复此发言作者： 202.101.10.* 2006-3-12 15:312 排列组合的解题策略六、构造模型 “挡板法” 对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造

21、一 个隔板模型来解决问题。例 8、方程 a+b+c+d=12 有多少组正整数解？分析：建立隔板模型：将 12 个完全相同的球排成一列， 在它们之间形成的 11 个间隙中任意插入 3 块隔板，把 球分成 4 堆，每一种分法所得 4 堆球的各堆球的数目， 对应为 a、b、c、d 的一组正整解，故原方程的正整数 解的组数共有 。例 9、把 10本相同的书发给编号为 1、2、3 的三个学 生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号 数，试求不同分法的种数？ 解：先让 2、3 号阅览室依次分得 1 本书、2 本书；再对 余下的 7本书进行分配， 保证每个阅览室至少得一本书， 这相当于在 7 本相同书

22、之间的 6 个“空档”内插入 2 块 隔板共有 C62 种插法，即有 15 种分法。 又如六个“优秀示范员”的名额分配给四个班级，有多 少种不同的分配方法？ 经过转化后都可用此法解。七、分排问题“直排法” 把几个元素排成前后若干排的排列问题， 若没有其它的 特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理。 例 9、 7个人坐两排座位，第一排 3 个人，第二排坐 4 个人，则不同的坐法有多少种？ 分析： 7 个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件， 故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有 种。八、构造方程或不等式 例 10 ：某赛季足球比赛的记分规则是：胜一场得3 分； 平一场得 1 分；负一场得 0

23、 分。一球队打完 15 场积 33 分，若不考虑顺序，该队胜、负、平情况共有( ) A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种解析：设该队胜 x 场，平 y 场，则负 (15-x-y) 场，由题 意得 3x+y=33y=33-3x 0, x 11 且 x+y 15 因此，有以下三种情况：x=11,y=0 或 x=10,y=3 或x=9,y=6 故选 A例 12 、把一张 20 元面值的人民币换成 1 元、 2 元或 5 元面值的人民币，有多少种不同的换法？解：设对换成 1元的人民币 x张，2元的人民币 y 张，5 元的人民币 z 张，则 x+2y+5z=20当 z =0 时，x+2y=20

24、, x 可以取 0、2、420，有 11 种方法。当 z =1 时，x+2y=15, x 可以取 1、3、515，有 8 种方法。当 z =2 时，x+2y=10, x 可以取 0、2、410，有 6 种方法。当 z =3 时， x+2y=5 ,x 可以取 1、 3、5有 3种方法。当 z =4 时，x+2y=0 ,x=0，y=0,1种方法。故共有 11+8+6+3+1=29 种方法。九、枚举法： 有些计数问题由于条件过多， 从排列或组合的角度思考 不太方便，可以尝试用枚举法，枚举时也要按照一定的 思路进行，才能做到不重不漏。例 11 ：某寝室 4 名同学各写了一张新年贺卡， 先集中起 来，然

25、后每人从中取走一张别人写的贺卡，问有多少种 不同的取法？解：设 4 位同学分别为 A、B、C、D，各人取别人贺卡的 不同取法可罗列成下表： 同学 A 同学 B 同学 C 同学 D1 B A D C2 B C D A3 B D A C4 C A D B5 C D A B6 C D B A7 D A B C8 D C A B9 D C B A故共有 9 种不同的取法。 排列组合是高中数学的重点和难点之一， 也是进一步学 习概率的基础。这一类问题不仅内容抽象，解法灵活， 而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这 些错误甚至不容易检查出来， 所以解题时要注意不断积 累经验，总结解题规律，掌握若

26、干技巧，最终达到能够 灵活运用。问题一、街道旁有编号 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 共十只路灯，为节约用电又不影响照明，可 以把其中的三只灯相灭，但不能同时熄灭相邻两只，在两端的两只路灯不熄灭的情况下，问不同的熄灯方 法有多少种 ?通过复习提问总结解决排列组合问题的基本思路和方法。设置问题情景，激发学生的学习欲望。通过引导，学生得出多种解法，从而优化思维，发现规律为构造数学模型一做好铺垫。2、创设情景练习（ 1）：四个相同苹果分给三个人，没人至少一个，有多少种分配方案?（提问，多解 ），电脑演示。（2）：把六个名额分给三个班级，没班至少一个名额，有多少种分法?（提问多解 ），电脑演

27、示，介绍插板法。巩固创设情景。体现化归思想，并将问题发散，从不同角度展示出问题的共性，给学生自主发现、探索的空间，引入“插板 ”这一解决问题的策略。3、提出猜想你能编一道与本题意思相近的习题或将本题推广吗 ?学生是学习的主体，是课堂教学的探索者、发现者和创造者，让他们的智慧火花充分闪亮。4、探得索出分结析论模型一：把 n 个相同的小球放入 m 个不同的盒子中， 要求每盒至少有一个球， 问有多少种不同的方法 ? 归纳出共性，推广到一般，抽象出数学模型，使学生的思维得到提升。5、问题解决进一步推广练习： （分组讨论 ）（1 ）求方程 x+y+z=16 的正整数解的组数。（2）15 个苹果分给三个人

28、，每人至少两个，有多少种分法?（3）把二十个相同的小球放入编号为 1、2、3、 4、的四个盒子中，要求每个盒子中的小球数目不少 于编号数，求不同的放法种数。弄清问题本质，将问题转化为模型，并能应用模型解决问题。6、新情境设计（1）第二小题条件改为每人至少三个，有多少种分法?（2）学生总结规律。（3）如果条件改为每人分得苹果个数不限，有多少种分法种数?（4）你能将本题推广吗 ?（5）改变条件提出新问题，让学生有一个再发现，再创造的过程。（6）培养学生自主探索创新意识。7、探索分析用电脑演示每人至少分得一个苹果、二个苹果和三个苹果的情形，并由学生总结规律。体现从特殊到 一般的思维方法，模拟发现，激

29、励探索，激活思路。8、得出结论模型二、把 n 个相同的小球放入 m 个不同盒子 （nm1，） 每个盒子容量不限，有多少种不同方法 ?比较差异，将模型一进一步推广，使学生在 “好奇”中产生 “内驱力 ”，进而产生不断探索的愿望。9、问题（1）中日围棋擂台赛规定各国各出 7 名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛 ，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜 利，形成一个比赛过程，试求中方获胜的所有可能出现的比赛过程的种数 ?（2）从 7 个学校选出 12 人组成足球联队，要求每校至少有一个人参加，问各校名额分配共有多少种 不同

30、情况 ?一、特殊优先，一般在后 对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时 “元素 优先”，有时 “位置优先 ”。例 1 0、2、3、4、5 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一： （元素优先 ）分两类：第一类，含 0，0 在个位有 A42 种，0 在十位有 A21A31 种；第二类，不含 0，有 A21A32 种。故共有 （A42+A21A31）+A32A21=30 。注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。解法二： （位置优先 ）分两类：第一类， 0 在个位有 A42 种；第二类， 0 不在个位，先从 两个偶数中选一个放个位，再选一个放百

31、位，最后考虑十位，有 A21A31A31 种。 故共有 A42+A21A31A31=30 。练习 1 （ 89 年全国） 由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数， 其中小于 50000 的偶数共有 个（用数字作答） 。答案： 36二、排组混合，先选后排对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。例 2 （95 年全国 ）4 个不同的小球放入编号为 1、2、3、 4 的四个盒内，则恰有一个空盒 的放法有几种？解：由题意，必有一个盒内有 2 个球，同一盒内的球是组合，不同的球放入不同的盒 子是排列。因此，有 C42A43=144 种放法。练习 2 由数字 1，2，3，4

32、，5，6，7 组成有 3 个奇数字， 2 个偶数字的五位数，数字不 重复的有多少个？10答案：有 C43C32A55=1440 （个）三、元素相邻，整体处理 对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与 其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排。例 3 5 个男生 3 个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？解：先把 3个女生捆绑为一个整体再与其他 5个男生全排列。同时， 3 个女生自身也应 全排列。由乘法原理共有 A66A33 种。练习 3 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？答案： A4424=384四、元素间隔，分位插入 对于某些元素要求有间

33、隔的排列，用插入法。例 4 5 个男生 3 个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？ 解：先排无限制条件的男生，女生插在 5 个男生之间的 4 个空隙，由乘法原理共有 A55A43 种。注意：必须分清 “谁插入谁 ”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的 元素；数清可插的位置数；插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。练习 4 4 男 4 女站成一行，男女相间的站法有多少种？答案： 2A44A44例 5 马路上有编号为 1、2、3、9的 9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时 关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？解：由于

34、问题中有 6 盏亮 3 盏暗，又两端不可暗，故可在 6 盏亮的 5 个间隙中插入 3 个暗的即可，有 C53 种。练习 5 从 1、 2、 、10 这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法？ 答案： C83 。五、元素定序，先排后除或选位不排或先定后插 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总 位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好定序的 元素，再一一插入其它元素。例 6 5 人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？解法一：先 5 人全排有 A55 种，由于全排中有甲、乙的全排种数A22 ，而

35、这里只有 1种是符合要求的，故要除以定序元素的全排 A22 种，所以有 A55/A22=60 种。解法二：先在 5个位置中选 2个位置放定序元素 （甲、乙）有 C52种，再排列其它 3人有 A33 ，由乘法原理得共有 C52A33=60 种。解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有 3 种方法，接着插入第二人有 4 种方法，最后插入第三人有 5 种方法。由乘法原理得共有 345=60 种。练习 6 要编制一张演出节目单， 6个舞蹈节目已排定顺序，要插入 5 个歌唱节目，则共 有几种插入方法？答案： A1111/A66 或 C116A55=C115A55 或 7891011 种六、“小团体

36、 ”排列，先 “团体”后整体对于某些排列问题中的某些元素要求组成 “小团体 ”时，可先按制约条件 “组团 ”并视为 一个元素再与其它元素排列。例 7 四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手 之间有两名男歌手，则出场方案有几种？解：先从四名男歌手中选 2人排入两女歌手之间进行 “组团”有 A42A22 种，把这个 “女11 男男女 ”小团体视为 1 人再与其余 2 男进行排列有 A33 种，由乘法原理，共有 A42A22A33 种。练习 7 6 人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种？答案： A22A44七、不同元素进盒，先分堆再排列 对于不同的元素放

37、入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于 2 个元素时，不可分批进 入，必须先分堆再排入。例 8 5 个老师分配到 3 个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？解：先把 5位老师分 3堆，有两类：3、1、1分布有 C53 种和 1、2、2分布有 C51C42C22/A22 种，再排列到 3 个班里有 A33 种，故共有 （C53+C51C42C22/A22） A33。注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位（否则有重复计数 ）。即 “同一盒内的元素必须一次进入 ”。练习 8 有 6 名同学，求下列情况下的分配方法数： 分给数学组 3 人，物理组 2 人，化学组 1 人； 分给数学组 2 人，物理组 2 人，化学组 2 人； 分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3 人，一组 2 人，一组 1 人； 平均分成三组进行排球训练。答案： C63C32C11 ； C62C42C22 ； C63C32C11 A33 ； C62C42C22/A33 。八、相同元素进盒，用档板分隔例 9 10