(完整)初2103根式的恒等变形

1、第2103讲根式的恒等变形、知识和方法要点表示方根的代数式称为根式，即含有根号，且根号内有字母的代数式称为根式。对于根式中的字母的一 组允许的值，代入此根式得到的值称为根式的值。根式的恒等变形是指利用根式的基本性质将根式化为 与其恒等的根式。二次根式具有以下基本性质1）（a）2a ( a0）；aa02）a2|a|0a0 ；aa03）b , ac、a (bc) .a(a0 )；4）.a b .ab(a 0，b0 )；5）aa /0，b0 )；b.b( a6）（a）n.an(a 0 )。根式的恒等变形有它的特殊性，需要较强的代数式变形技巧。通常要对题目中的条件根式和欲变形根式 综合考虑，寻求一个简

2、单而清晰运算线路进行变形。常用的方法有：分解因式法，配方法，平方法，换 元法等。化简根式必须化到最简根式为止，所谓最简根式，是指满足以下三个条件的根式：1）被开方数（式）的幕指数与根指数互质；2）被开方数（式）的每一个因式的幕指数都小于根指数；3）被开方数（式）不含有分母。、典型题例选讲例1化简：i，4845。（复合根式化简；配方法）【分析】 这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。可通过配方法进行化简。应首先变形为适合配方的形 式，然后进行配方。【解答】化简如下.5 .） 4343（： 2）23）2 4 3（ ： 3） 43（： 6）。【评注】配方法是复合二次根式化简的最常用的方法。例2 化

3、简：2 32.33 2 23 2.2。（复合根式化简；平方法）【分析】 这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。，可通过平方法进行化简。应前两项使用平方法，后两项使用平方法后相加。【解答】因为2 G 23( 23; 2. 3) 242、23 236，3 2 23 2 2( 3 2 23 2、2)26 2一3 2 2. 3 2 2两式相加得232 . 33 2.2 . 3 2.2. 6 2。所以，原式 62。【评注】 为了书写简洁，平方运算在根号下进行。（复合根式化简；方程法）【分析】如果设x 2222 L ，两边平方可得关于 x的方程x2出x的值。【解答】设x 2222 L ，两边平方，得x

4、20，解这个方程就可能求于是即x满足方程 解方程得x22,22. 2 L2x 2 x，x2 x 20，x 2或x 1(舍去)。所以,2。【评注】 本题还涉及到、2 22FT 是否收敛，即它是否表示一个实数的问题。例4设y是偶数，最简根式3x y 2x y与y 64x y 2是同次根式，求y的值。（根式概念；分类讨论） 【分析】 首先利用偶次根式对根底数大于等于零（本题只能大于零）的要求，解得y的范围，然后讨论求得满足要求的y的值。【解答】 由同次根式的意义，得 3x y y 6，知x 2，于是给定根式为y 64 y与y 66 y，它们为偶次 根式，于是4 y 0, 6 y 0,推得y 4, 2

5、,0,或2。1 ）当y 4时，两个根式为 8与 三，其中 8不是最简根式；2）当y 2时，两个根式为46与44，其中4 4不是最简根式；3 ）当y 0时，两个根式为64与6 6，其中6 4不是最简根式；4 ）当y 2时，两个根式为82与8 8，它们是最简根式，符合题意； 所以，所求的y 2。【评注】 本题考察同次根式、最简根式等基本概念。例 5 已知 1 x 0，化简：x2 2 + . x2 2 *。（根式化简；配方法）【分析】 这是一个字母根式的化简问题。观察知，两个根底数都是完全平方式，而一个数平方再开根号等于 这个数绝对值，然后根据已知给出的x的范围打开绝对值解决问题。【解答】化简如下原

6、式 J（X *2 J（X *）2【评注】永远要记住平方再开根号等于绝对值。|x|xx1|(x 9(x *)2x 。2 2例6 设a, x, y是两两不同的实数，且a（x a）.a(y a)x a . a y，求二xy_彗 的值。x xy y（根式求值；隐含条件）【分析】考虑到偶次根式的根底数大于或等于零的隐含条件，容易从条件式解出x, y的值，就可以代入欲求值代数式进行简单求值。【解答】因为a(x a)0, x a0知a0 ,a(y a)0, a y0知a0 ,由此得a 0。于是、x.y xy。所以，原式【评注】2 2 2 23y y y y 1 o2 2 2 2y y y 3y 3从偶次根式

7、的根底数大于或等于零的隐含条件得到解题所需的中间结果。5x5，且x 0，化简:5 x5 x(根式化简；分式性质)【分析】同乘上 5 x即可一次性去掉根号解决问题。化简如下5【解答】观察欲化简根式的特点，注意到原式且互为倒数,2x x(5 x) (5 x)15 x5 x采用将此根式的分子、分母【评注】采用分母有理化解题将比较烦琐。例8已知ab 0，且a2 b2 a2b2，化简：a屮 占b1 b2【分析】观察所给条件式与欲化简式的特点，利用条件式首先可将欲化简式的根底数化简, 化了。(根式化简；分式性质) 这时问题就简单解:由X航2得7右1，所以a【评注】要对对a, b进行讨论。原式aa b|b|

8、 lT|a|a| b|b|ab2 2a bab2 2a bab2 2a bab2 2a babababa，b，c, x，y，z是非零实数，且 a2b2axbycz，观察所给条件式的特点,【分析】由此简单求值。【解答】由a2 b2 c2 x2 y2(a22 ax可以通过配方法,得到x 0，0, c z求 J - - .a b c(根式求值;0 ,即 a x， b的值。配方法)y，c z，配方得于是即axx2)(aaby cz，(b2x)2x得 22 by z(b0, bx，by)2 y y，)(c2 2cz(c0，cz)2 0，c z 0，z2)所以，x y z 厂H3 。Ya b c【评注】

9、巧妙利用条件式进行配方，妙！例 10 设 x 0, y 0 ,且2迥） “（6JX 5JV），求_的值。V2x 何 3y（根式求值；因式分解） 【分析】 观察欲求值式的特点，只须从条件式中求出x : y即可，由此将条件式分解因式，得到,x 5 y解决问题。【解答】 由条件式得（ x）2 4. x y 5（. y）2 0，分解因式得（ x 5, y）C x . y） 0，因为xy0,故匸 5 y 0，即x 5 y。x.xy y25y 5y y29 y 1所以，2x. xy 3y50 y 5y 3y58y2。例11化简. 2a222 一 a4a21。（根式化简；配方法）【分析】观察欲化简的根式，a

10、4 a21可以分解因式，这样.a4 a21就可以写成两个根式的乘积，再米用配方法进行化简。【解答】因为a4a21z 422(2(a 2a 1) a (a2 21) a(a2 a1)(a a 1)，所以原式 (a2 a 1) 2 a2 a 1 a2 a 1 (a2 a 1)-巒a 1)22 . a2a1 a2 a 1(a2a 1)2(a2a 1.a2a1)2a2 a1ai2 a 1。)【评注】由于 a2 a 1, a a 1 的J判别式:都小于零,有2a a 10，a a 10。例12设1 x 1，且x 0，化简:(1、1xx. 1x1 x.1 x2 x1)( x21|x|)（根式化简；提高题）

11、 【分析】 本题欲化简根式比较复杂，根据欲化简根式的特点，可以围绕着两个简单根式1一x和.1一x进行恒等变形达到化简的目的。【解答】化简如下(1x)2原式(-1 Xx(1 X、1 X )TZLJ1 x( 1 X . 1 xf|x|11 X 1 X|X|1 X 1 X . 1 X21.1 X . 1 X |x| ( rx rX)( .rx rX)(7L、2_x厂x)1|X| 厂X2 1|X| 当1 x 0 当 0x1。【评注】一边化简一边观察，寻找下一步的最佳运算方向。例 13 已知 2x3 3y3 4z3，X1 x21112x2221 X2X111，求 32x23y24z2 的值。(根式求值；

12、提高题)【分析】由第一个条件式，连比设则 3 2x2 3y2 4z23 k kx y- 派，下面只须解决求 Vk的值，将zx, y, z表示为k的表达式，代入第二个条件式即可解决冋题。【解答】令 2x3 3y3 4z3k，贝H3 2x2 3y2 4z2 ,3k。代入1X解之得所以，号y初，z323334_kVk迈亦34。3 2x2 3y2 4z23 23 33 4。【评注】 在奥数中，与本题类似的题还有几个。例 14 已知(.X22006 X)( .y22006 y) 2006，求x2 3xy【分析】 两边同乘以共轭根式，将已知式化简，从中可解出x入法解决问题。【解答】 将条件式两边乘.X26

13、x 6y 81 的值。(根式求值；提高题) y 0 ,再将欲求值式因式分解，采用整体代4y2同理，将条件式两边乘,y2 20062006 x，得.y22006y，得.x22006. X22006两式相加得所以，原式(x y)(x 4y 6)【评注】 在奥数中，与本题类似的题还有几个。-y22006y 0。81 81。三、同步练习题1.已知a 0,那么化简L a2 a |的结果是A. 0B. 2aC. 2aD.不能确定2. 已知a , b , x , y都是实数，且满足等式y | .X 2|1 a2, |x 4| 3y 3 b2 ,那么a b x y 。（2005年上海市初中数学竞赛试题）3 113. 当