概率论与数理分析：第6-1节 总体与样本

1、本章开始转入课程的第二部分本章开始转入课程的第二部分 数理统计数理统计 数理统计的特点是应用面广，分支数理统计的特点是应用面广，分支 较多较多. 社会的发展不断向统计提出新的社会的发展不断向统计提出新的 问题问题. 计算机的诞生与发展，为数据处理计算机的诞生与发展，为数据处理 提供了强有力的技术支持，数理统计与提供了强有力的技术支持，数理统计与 计算机的结合是必然的发展趋势计算机的结合是必然的发展趋势. 前言前言: : 由于学时有限，本课程的这部分内由于学时有限，本课程的这部分内 容重点在于介绍数理统计的一些重要概容重点在于介绍数理统计的一些重要概 念和典型的统计方法，它们是实际问题念和典型的

2、统计方法，它们是实际问题 中最常用的知识中最常用的知识. 从历史的典籍中，人们不难发现许从历史的典籍中，人们不难发现许 多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的 记载，说明人们很早就开始了统计的工记载，说明人们很早就开始了统计的工 作作 . 但是当时的统计，只是对有关事实但是当时的统计，只是对有关事实 的简单记录和整理，而没有在一定理论的简单记录和整理，而没有在一定理论 的指导下，作出超越这些数据范围之外的指导下，作出超越这些数据范围之外 的推断的推断. 到了十九世纪末二十世纪初，随到了十九世纪末二十世纪初，随 着近代数学和概率论的发展，才真正着近代数学和概率论的发

3、展，才真正 诞生了数理统计学这门学科诞生了数理统计学这门学科. 数理统计学是一门应用性很强的学数理统计学是一门应用性很强的学 科科. 它是研究怎样以有效的方式收集、它是研究怎样以有效的方式收集、 整理和分析带有随机性的数据，以便对整理和分析带有随机性的数据，以便对 所考察的问题作出推断和预测，直至为所考察的问题作出推断和预测，直至为 采取一定的决策和行动提供依据和建议采取一定的决策和行动提供依据和建议. 第一节第一节 总体与样本总体与样本 一、总体与个体一、总体与个体 二、随机样本二、随机样本 三、统计量三、统计量 四、小结四、小结 1.1 总体与个体总体与个体 一一个统计问题总有它明确的研究

4、对象个统计问题总有它明确的研究对象. 研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体(母体母体)， 总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体. 研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量 考察国产考察国产 轿车的质量轿车的质量 总体总体 总体总体 然而在统计研究中，人们往往关心每个然而在统计研究中，人们往往关心每个 个体的一项个体的一项(或几项或几项)数量指标和该数量指标数量指标和该数量指标 在总体中的分布情况在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有这时，每个个体具有 的数量指标的全体就是的数量指标的全体就是总体总体. 该批灯泡寿命的该批灯泡寿命的 全体就是总体全体就是总体 灯泡的寿命灯泡的寿命

5、国产轿车每公里国产轿车每公里 的耗油量的耗油量 所有国产轿车每公里耗所有国产轿车每公里耗 油量的全体就是总体油量的全体就是总体 由于每个个体的出现带有随机性，即相应由于每个个体的出现带有随机性，即相应 的数量指标值的出现带有随机性。从而可把的数量指标值的出现带有随机性。从而可把 此种数量指标看作随机变量，我们用一个随此种数量指标看作随机变量，我们用一个随 机变量或其分布来描述总体。为此常用随机机变量或其分布来描述总体。为此常用随机 变量的符号或分布的符号来表示总体。变量的符号或分布的符号来表示总体。 通常，我们用随机变量通常，我们用随机变量X , Y , Z, 等表等表 示总体。当我们说到总体

6、，就是指一个具有示总体。当我们说到总体，就是指一个具有 确定概率分布的随机变量。确定概率分布的随机变量。 如如:研究某批灯泡的寿命时，我们关心的数研究某批灯泡的寿命时，我们关心的数 量指标就是量指标就是寿命寿命，那么，此总体就可以用随，那么，此总体就可以用随 机变量机变量X表示，或用其分布函数表示，或用其分布函数F(x)表示表示. 总体总体 某批某批 灯泡的寿命灯泡的寿命 寿命寿命X可用一概可用一概 率分布来刻划率分布来刻划 F(x) 类似地，在研究某地区中学生的营养状类似地，在研究某地区中学生的营养状 况时，若关心的数量指标是身高和体重，我况时，若关心的数量指标是身高和体重，我 们用们用X和

7、和Y分别表示身高和体重，那么此总体分别表示身高和体重，那么此总体 就可用二维随机变量就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数或其联合分布函数 F(x,y)来表示来表示. 统计中，总体这个概念统计中，总体这个概念 的要旨是：的要旨是：总体就是一个总体就是一个 概率分布概率分布. 为推断总体分布及各种特征，按一定规为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样抽样”，所抽取的部分个体称为，所抽取的部分个体称为样本样本. 样样 本中所包含的个体数目称

8、为样本容量本中所包含的个体数目称为样本容量. 1.2 1.2 简单随机样本简单随机样本 从国产轿车中抽从国产轿车中抽5辆辆 进行耗油量试验进行耗油量试验 样本容量为样本容量为5 1. 1. 样本的定义样本的定义 样本是随机变量样本是随机变量. 抽到哪抽到哪5辆是随机的辆是随机的 容量为容量为n的样本可以看作的样本可以看作n维随机变量维随机变量. 2. 独立性独立性： X1,X2,Xn是相互独立的随机是相互独立的随机 变量变量. 由于抽样的目的是为了对总体进行统计由于抽样的目的是为了对总体进行统计 推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体 的信息，必须考虑抽样

9、方法的信息，必须考虑抽样方法. 最常用的一种抽样方法叫作最常用的一种抽样方法叫作“简单随简单随 机抽样机抽样”，它要求抽取的样本满足下面，它要求抽取的样本满足下面 两点两点: 1. 代表性代表性： X1,X2,Xn中每一个与所考察中每一个与所考察 的总体有相同的分布的总体有相同的分布. 2. 2. 简单随机样本简单随机样本 . , )( , , )(, ,)( 21 21 简简称称样样本本的的简简单单随随机机样样本本 中中抽抽取取的的容容量量为为或或总总体体为为从从总总体体 则则称称相相互互独独立立的的随随机机变变量量 、是是具具有有同同一一分分布布函函数数若若 的的随随机机变变量量是是具具有

10、有分分布布函函数数设设 nxFX XXX xFXXX xFX n n . , 21 个个独独立立的的观观察察值值 的的又又称称为为称称为为样样本本值值 它它们们的的观观察察值值 nXxxx n 定义定义: : 若总体的分布函数为若总体的分布函数为F(x)，则其简单随则其简单随 机样本的联合分布函数为机样本的联合分布函数为 F(x1) F(x2) F(xn) 简单随机样本是应用中最常见的情形，简单随机样本是应用中最常见的情形， 今后，当说到今后，当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样是取自某总体的样 本本”时，若不特别说明，就指简单随机样本时，若不特别说明，就指简单随机样本. 事实上我们抽样后

11、得到的资料都是具事实上我们抽样后得到的资料都是具 体的、确定的值体的、确定的值. 如我们从某班大学生中如我们从某班大学生中 抽取抽取10人测量身高，得到人测量身高，得到10个数，它们是个数，它们是 样本取到的值而不是样本样本取到的值而不是样本. 我们只能观察我们只能观察 到随机变量取的值而见不到随机变量到随机变量取的值而见不到随机变量. 3. 3. 总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系 总体（理论分布）总体（理论分布） ？ 样本样本 样本值样本值 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料-样本值，去样本值，去 推断总体的情况推断总体的情况-总体分布总体分布F(x)的性质的性质.

12、 总体分布决定了样本取值的概率规律，总体分布决定了样本取值的概率规律， 也就是样本取到样本值的规律，因而可以由也就是样本取到样本值的规律，因而可以由 样本值去推断总体样本值去推断总体. 样本是联系二者的桥梁样本是联系二者的桥梁 ).(),( ),()3( ).(),( ),()2( ).(),( ),()1( .),( 1 21 1 21 1 21 21 n i iXn X n i iXn X n i iXn X n tfXXX tfX tpXXX tptXPX tFXXX tFX XXXX 的概率密度为的概率密度为 则样本则样本的概率密度为的概率密度为若总体若总体 的分布律为的分布律为则样本则样本 的分布律为的分布律为若总体若总体 的分布函数为的分布函数为 则样本则样本的分布函数为的分布函数为若总体若总体 的样本的样本为来自总体为来自总体设设 4.4.样本的分布样本的分布（书（书P139P139） 解解:, 21 有相同的分布有相同的分布且与且与