理论力学第七版第十三章达朗贝尔原理

1、理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理( (动静法动静法) ) 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理( (动静法动静法) ) 达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学 问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。法。 引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运 动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动 力学问题力学问题 达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。 达

2、朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学 求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件 求解动应力。求解动应力。 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 工程实际问题工程实际问题 第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理( (动静法动静法) ) 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理( (动静法动静法) ) 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 质点达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理 13-1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 A B M 该质点的动力

3、学基本方程为该质点的动力学基本方程为 设质量为设质量为m的非自由质点的非自由质点M，在主，在主 动力动力F和约束力和约束力FN作用下沿曲线运动，作用下沿曲线运动， FI F FN 或或 引入质点的惯性力引入质点的惯性力FI =ma 这一概念，于是上式可改写成这一概念，于是上式可改写成 上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、 约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点 的达朗贝尔原理。的达朗贝尔原理。 ama 13-1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 一、质点达朗贝尔原理

4、 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 质点达朗贝尔原理的投影形式质点达朗贝尔原理的投影形式 13-1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点 上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一平上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一平 衡力系。衡力系。 上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将 达朗贝尔原理应用于每个质点，得到达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。个矢量平衡方程。 这就是质点系的达朗贝尔原

5、理。这就是质点系的达朗贝尔原理。 13-2 质点系质点系达朗贝尔原理达朗贝尔原理 二、质点系达朗贝尔原理二、质点系达朗贝尔原理 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 对于所讨论的质点系，有对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程，个形式如上式的平衡方程， 即有即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有空间任意力系的平衡条件，有 13-2 质点系质点系达朗贝尔原理达朗贝尔原理 理论力学第七版第十三章达朗贝尔

6、 原理 上式表明上式表明在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束 力和该点的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一力和该点的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一 点点O的主矩也等于零。的主矩也等于零。 达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系 动力学方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动动力学方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动 态平衡方程。态平衡方程。 13-2 质点系质点系达朗贝尔原理达朗贝尔原理 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 由质心运动定理有由质心运动定

7、理有 F = maC ,得得 对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性 力各自向任意点力各自向任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作简化后所得的主矢、主矩分别记作F，MO 和和FIR ，MIO ，于是，由力系平衡条件，可得，于是，由力系平衡条件，可得 即即, ,质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度 的乘积，而取相反方向。的乘积，而取相反方向。 一、一、 惯性力系的简化惯性力系的简化 1.1.惯性力系的主矢惯性力系的主矢 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化 理论力学第七版第十三

8、章达朗贝尔 原理 由对任意固定点由对任意固定点O的动量矩定理有的动量矩定理有 ， 现将上式两端投影到任一固定轴现将上式两端投影到任一固定轴Oz上，上， 上式表明上式表明质点系的惯性力对于任一固定点（或固定轴）质点系的惯性力对于任一固定点（或固定轴） 的主矩，等于质点系对于该点（或该轴）的动量矩对时间的导的主矩，等于质点系对于该点（或该轴）的动量矩对时间的导 数，并冠以负号。数，并冠以负号。 2.2.惯性力惯性力系的主矩系的主矩 代入代入 得得 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 上式表明：质点系的惯性力对质心（或通过质心的平动轴）上式表明：质点系的惯性

9、力对质心（或通过质心的平动轴） 的主矩，等于质点系对质心（或该轴）的动量矩对时间的导数，的主矩，等于质点系对质心（或该轴）的动量矩对时间的导数， 并冠以负号。并冠以负号。 以及它在通过质心以及它在通过质心C的某一平动轴的某一平动轴上的投影表达式上的投影表达式 利用相对于质心的动量矩定理，可以得到质点系的惯性力利用相对于质心的动量矩定理，可以得到质点系的惯性力 对质心对质心C的主矩表达式的主矩表达式 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 惯性力惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。系的主矩与刚体的运动形式有关。 惯性力惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。系的

10、主矢与刚体的运动形式无关。 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 1. 1. 刚体作平动刚体作平动 aC a1 a2 an M m2 mn m1 FIRn FIR1 FIR2 FIR 刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。 刚体平移时，惯性力系向质心简化刚体平移时，惯性力系向质心简化 主矢主矢 主矩主矩 13-3 惯性力系的简化惯性力系的简化 二、刚体常见运动情况下惯性力的主矢和主矩二、刚体常见运动情况下惯性力的主矢和主矩 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 O C 2. 2. 刚体做定轴转动刚体做

11、定轴转动 设刚体绕固定轴设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬转动，在任意瞬 时的角速度为时的角速度为，角加速度为，角加速度为。 主矢主矢 具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。 设质心设质心C的转动半径为的转动半径为rC，则，则 和和 的大小可分别表示为的大小可分别表示为 13-2 惯性力系的简化惯性力系的简化 rC 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 显然，当质心显然，当质心C在转轴上时，刚在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。体的惯性力主矢必为零。 其中其中 13-2 惯性力系的简化惯性力系的简化 O C z y x rC 理

12、论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 主矢主矢 具有质量对称平面的刚体绕垂直于具有质量对称平面的刚体绕垂直于 质量对称平面的固定轴转动时，惯性力质量对称平面的固定轴转动时，惯性力 系向固定轴简化，得到的惯性力系主矢系向固定轴简化，得到的惯性力系主矢 的大小等于刚体质量与质心加速度大小的大小等于刚体质量与质心加速度大小 的乘积，方向与质心加速度方向相反的乘积，方向与质心加速度方向相反。 13-2 惯性力系的简化惯性力系的简化 O C z y x rC 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 O C z y x n C a t C a In F It F dt d J)(J dt d dt dL M

13、zz z Iz 即即 zIz JM 对转轴的主矩对转轴的主矩 将刚体对转轴将刚体对转轴Oz的动量矩的动量矩 代入代入 可得刚体惯性力对可得刚体惯性力对 轴轴Oz的主矩的主矩 dt dL M z Iz zz JL 13-2 惯性力系的简化惯性力系的简化 rC 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 具有质量对称平面的刚体绕垂直具有质量对称平面的刚体绕垂直 于质量对称平面的固定轴转动时，惯于质量对称平面的固定轴转动时，惯 性力系向固定轴简化的结果，得到合性力系向固定轴简化的结果，得到合 力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩， 其大小等于刚体对转动轴的转动惯量其大小等于刚体对

14、转动轴的转动惯量 与角加速度的乘积，方向与角加速度与角加速度的乘积，方向与角加速度 方向相反。方向相反。 对转轴的主矩对转轴的主矩 13-2 惯性力系的简化惯性力系的简化 zIz JM O C z y x n C a t C a In F It F 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 主矢主矢 对转轴的主矩对转轴的主矩 合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质 量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。 具有质量对称平面的刚体绕垂直于具有质量对称平面的刚体绕垂直于 质量对称平面的

15、固定轴转动时，惯性力质量对称平面的固定轴转动时，惯性力 系向固定轴简化的结果，得到一个合力系向固定轴简化的结果，得到一个合力 和一个合力偶。和一个合力偶。 合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体 对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方 向相反。向相反。 O C I F MIz 13-2 惯性力系的简化惯性力系的简化 zIz JM )aam(amF n C t CCI 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 3. 3. 刚体作平面运动刚体作平面运动 具有质量对称平面的刚体作平

16、面运动，并且运动具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动 平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将 刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这 一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作 进一步简化。进一步简化。 13-2 惯性力系的简化惯性力系的简化 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 3. 3. 刚体作平面运动刚体作平面运动 若取质心若取质心C为基点，则刚体的平面运动为基点，则刚体的平面运动 可以分解为随质心可以分解为随质心C的平动和绕

17、质心（通过的平动和绕质心（通过 质心且垂直于运动平面的轴）的转动。质心且垂直于运动平面的轴）的转动。 C aC ri mi aC t r i a n r i a 刚体上各质点的加速度及相应的惯性刚体上各质点的加速度及相应的惯性 力也可以分解为随质心的平动和绕质心轴力也可以分解为随质心的平动和绕质心轴 的转动两部分。的转动两部分。 于是，此刚体的牵连平动惯性力可合于是，此刚体的牵连平动惯性力可合 成为作用线通过质心、且在对称面内的一成为作用线通过质心、且在对称面内的一 个力个力FI。 因质心因质心C在相对运动的转轴上，故刚在相对运动的转轴上，故刚 体的相对转动的惯性力合成为一力偶。体的相对转动的

18、惯性力合成为一力偶。 FI MIC 13-2 惯性力系的简化惯性力系的简化 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 CI amF 具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与 质量对称平面互相平行。这种情形下，惯性力系向质心简化质量对称平面互相平行。这种情形下，惯性力系向质心简化 的结果得到一个合力和一个合力偶，二者都位于质量对称平的结果得到一个合力和一个合力偶，二者都位于质量对称平 面内。面内。 合力的矢量即为惯性力系的合力的矢量即为惯性力系的 主矢，其大小等于刚体质量与质心主矢，其大小等于刚体质量与质心 加速度大小的乘积，方向与质心加加速度

19、大小的乘积，方向与质心加 速度方向相反。速度方向相反。 主矢主矢 13-2 惯性力系的简化惯性力系的简化 C aC ri mi aC t r i a n r i a FI MIC 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 合力偶的力偶矩即为惯性力合力偶的力偶矩即为惯性力 系的主矩，其大小等于刚体对通系的主矩，其大小等于刚体对通 过质心的转动轴的转动惯量与角过质心的转动轴的转动惯量与角 加速度的乘积，方向与角加速度加速度的乘积，方向与角加速度 方向相反。方向相反。 zCIC JM 主矩主矩 13-2 惯性力系的简化惯性力系的简化 C aC ri mi aC t r i a n r i a FI MI

20、C 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 zCIC JM 主矩主矩 CI amF 主矢主矢 CiiI am )am(F 主矢主矢 主矩主矩 0 I M 主矢主矢 )aam(amF n C t CCI JM zIz 对转轴的主矩对转轴的主矩 综上所述：综上所述： 13-2 惯性力系的简化惯性力系的简化 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 例题例题 13-1 汽车连同货物的总质量是汽车连同货物的总质量是m ，其质心，其质心 C 离前后离前后 轮的水平距离分别是轮的水平距离分别是 b 和和 c ，离地面的高度是，离地面的高度是 h

21、 。当汽车以。当汽车以 加速度加速度a沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。 轮子的质量不计。轮子的质量不计。 AB C c b h 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 取汽车连同货物为研取汽车连同货物为研 究对象。汽车实际受到的究对象。汽车实际受到的 外力有：重力外力有：重力 G，地面对，地面对 前、后轮的铅直反力前、后轮的铅直反力 FNA 、 FNB 以及水平摩擦力以及水平摩擦力 FB (注注 意：前轮一般是被动轮，意：前轮一般是被动轮， 当忽略轮子质量时，其摩当忽略轮子质量时，其摩 擦力可以不计擦力可以

22、不计)。 解： 因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心 C 上的上的 一个力一个力 FI= ma 。 C c b h 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 ) 1 ( 0)( , 0 N cbFmgchFM AIB 于是可写出汽车的动态平衡方程于是可写出汽车的动态平衡方程 由式由式(1)和和(2)解得解得 cb ahgbm F cb ahgcm F B A )( )( N N ) 2( 0)( , 0 N cbFmgbhFM BIA 动静法应用举例动静法应用举例 C c b h 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 汽车刹

23、车时，前轮和后轮哪个容易汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易“抱死抱死”？ 车轮防抱死装置车轮防抱死装置ABS: Anti-Brake System 动静法应用举例动静法应用举例 思考题 1 l 2 l h gm 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 1 l 2 l h gm 1 F 1N F 2 F 2N F 分析汽车刹车时的动力学特性分析汽车刹车时的动力学特性 I F 0)(, 0 2211N hFmglllFM IB 21 2 1N ll hFmgl F I 0)(, 0 1212N hFmglllFM IA 21 1 2N ll hFmgl F I 刹车时的动力学特性：车头下沉；刹车时的动力

24、学特性：车头下沉； 若质心在中间，后轮容易打滑。若质心在中间，后轮容易打滑。 A B 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 例题例题13-2 如图所示，如图所示， 匀质滑轮的半径为匀质滑轮的半径为r，质，质 量为量为m，可绕水平轴转动。，可绕水平轴转动。 轮缘上跨过的软绳的两端轮缘上跨过的软绳的两端 各挂质量为各挂质量为m1和和m2的重物的重物, 且且m1 m2 。绳的重量不计，。绳的重量不计， 绳与滑轮之间无相对滑动，绳与滑轮之间无相对滑动， 轴承摩擦忽略不计。求重轴承摩擦忽略不计。求重 物的加速度和轴承反力。物的加速度和轴承反力。 O A B r O 13-3 动静法应用举例动静法应用举例

25、 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 以滑轮与两重物一起组成所研究的以滑轮与两重物一起组成所研究的 质点系。作用在该系统上的外力有重力质点系。作用在该系统上的外力有重力 m1g，m2g，mg和轴承约束反力和轴承约束反力FN。 , 11 amF I amFI 22 O A B r y 解：解： 已知已知m1m2，则重物的加速度，则重物的加速度a方向方向 如图所示。如图所示。 在系统中每个质点上假想地加上在系统中每个质点上假想地加上 惯性力后，可以应用达朗贝尔原理。惯性力后，可以应用达朗贝尔原理。 重物的惯性力方向均与加速度重物的惯性力方向均与加速度a 的方向相反，大小分别为：的方向相反，大小分

26、别为： O 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 滑轮定轴转动，惯性力向转轴滑轮定轴转动，惯性力向转轴O简简 化。化。 0 2211 IOII Mg)rmFFg(m 应用达朗贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，得 主矢主矢 FI=maO=0 主矩主矩 MIO=JO = O A B r y O , 0 y F ,(F)MO0 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 g mmm mm a 2 1 21 21 解得解得 0 2211 IOII MgrmrFrFgrm , 0 y F ,(F)MO0 0 212

27、1 IIN FFgmgmmgF 0 2121N amamgmgmmgF a ,mF I22 marMIO 2 1 O A B r y O 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 例题例题13-3飞轮质量为飞轮质量为m，半径为，半径为R，以匀角速度，以匀角速度转动。转动。 设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重 力的影响，求轮缘横截面的张力。力的影响，求轮缘横截面的张力。 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 取四分之一轮缘为研究对象，如取四分之一轮缘为研究

28、对象，如 图所示。将轮缘分成无数微小的弧段，图所示。将轮缘分成无数微小的弧段， 每段加惯性力每段加惯性力 n iiIi amF 2 2 RR R m amF i n iiIi 建立平衡方程建立平衡方程 , 0 x F 0 cos AiIi FF 令令 ，有，有 0 i 2 d cos 2 2 2 0 2 mR R m FA 解： 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 由于轮缘质量均分布，任一截由于轮缘质量均分布，任一截 面张力都相同。面张力都相同。 再建立平衡方程再建立平衡方程 , 0 y F 0sin BiIi F F 2 2 mR F B 同样解得同

29、样解得 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 x y O C A 例题例题13-4 车辆的主动轮车辆的主动轮 如图所示。设轮的半径为如图所示。设轮的半径为r， 重为重为W1(W1= mg)，在水平直，在水平直 线轨道上运动。车身对轮子线轨道上运动。车身对轮子 的作用力可分解为的作用力可分解为W和和F，驱，驱 动力偶矩为动力偶矩为M。车轮对通过。车轮对通过 其质心并垂直于车轮对称面其质心并垂直于车轮对称面 的轴的回转半径为的轴的回转半径为C ，轮与轮与 轨道间的滑动摩擦系数为轨道间的滑动摩擦系数为fs， 不计滚动摩阻的影响。求在不计滚动摩阻的影响。求在 不

30、滑动条件下，驱动力偶矩不滑动条件下，驱动力偶矩 M的最大值。的最大值。 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 惯性力系：因车轮作平面运动，设车惯性力系：因车轮作平面运动，设车 身有向前的加速度身有向前的加速度a，则惯性力系向，则惯性力系向 质心质心C简化的主矢量简化的主矢量FI和主矩和主矩MIC为：为： 分析车轮的受力情况如下。分析车轮的受力情况如下。 主动力系主动力系: 车身的载荷车身的载荷F和和W，驱动，驱动 力偶矩力偶矩M，车轮的重量，车轮的重量W1=mg。 约束力系：法线约束力约束力系：法线约束力FN ，滑动摩擦，滑动摩擦 力力Ff 。 解：解：

31、 x y O C A 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 应用动静法，写出动态平衡方程：应用动静法，写出动态平衡方程： , 0 x F 0 f I FFF , 0 y F 0 1N WWF ,(F)MC0 0 f MrFMIC x y O C A 0 (F)M A 是否可以是否可以？ 0)( MrFFM IIC 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 再利用再利用Ff fsFN的条件，可得的条件，可得 22 2 f r FMr F C C 1N WWF 上三式包含上三式包含Ff ，FN和和a三个未三个未 知量，故可

32、解出知量，故可解出 x y O O A 2 2 2 2 1s )1)( r F r WWfrM CC 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 例题例题13-5 如图所示，如图所示， 匀质圆盘的半径为匀质圆盘的半径为r，质，质 量为量为m，可绕水平轴，可绕水平轴O转转 动。突然剪断绳，求圆盘动。突然剪断绳，求圆盘 的角加速度和轴承的角加速度和轴承O处的处的 反力。反力。 A B rO C 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 A B r O C y x t C a n C a 圆盘定轴转动，惯性力向转轴圆盘定轴转动，惯

33、性力向转轴O简化。简化。 0 IOItOy M)rF(F 应用达朗贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，得 主矢主矢 FIt=matC= m r 主矩主矩 MIO= JO = 2 2 3 mr , 0 y F ,(F)M C 0 FOx +FIn=0 , 0 x F FOy + FItmg= 0 FIn=mr2= 0 0 (F)M O 是否可以是否可以？ 0 IO Mmgr 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 解：解： 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 A B r O C y x t C a n C a 若认为圆盘平面运动，则惯性力应向圆心若认为圆盘平面运动，则惯性力应向圆

34、心C简化。简化。 0 ICOy MrF 应用达朗贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，得 主矢主矢 FIt=matC= m r 主矩主矩 MIC= JC = 2 2 1 mr , 0 y F ,(F)MC0 FOx +FIn=0 , 0 x F FOy + FItmg= 0 FIn=mr2= 0 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 讨论 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 例题例题 13-6 用长用长 l 的两根绳子的两根绳子 AO 和和 BO 把长把长 l ，质量质量 是是 m 的匀质细杆悬在点的匀质细杆悬在点 O (图图 a )。当杆静止时，突然剪断。当杆静止时，突然剪断

35、 绳子绳子 BO ，试求刚剪断瞬时另一绳子，试求刚剪断瞬时另一绳子 AO 的拉力。的拉力。 O l l l B A C （a） 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 绳子绳子BO剪断后，杆剪断后，杆AB将开始在铅直将开始在铅直 面内作平面运动。由于受到绳面内作平面运动。由于受到绳OA的约束，的约束， 点点A将在铅直平面内作圆周运动。在绳子将在铅直平面内作圆周运动。在绳子 BO刚剪断的瞬时，杆刚剪断的瞬时，杆AB上的实际力只有绳上的实际力只有绳 子子AO的拉力的拉力F和杆的重力和杆的重力mg。 解：解： 在引入杆的惯性力之前，须对杆作加在引入杆的惯性力之前

36、，须对杆作加 速度分析。取坐标系速度分析。取坐标系Axyz 如图如图(c)所示。所示。 aA = anA + atA= aCx + aCy + atAC + anAC O B A C O x y B A （c） t AC a t A a Cy a Cx a Cy a Cx a 利用刚体作平面运动的加速度合成定利用刚体作平面运动的加速度合成定 理，以质心理，以质心C作基点，则点作基点，则点A的加速度为的加速度为 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 在绳在绳BO刚剪断的瞬时，杆的角速度刚剪断的瞬时，杆的角速度 = 0 ，角加速度，角加速度 0。因此。因此

37、又又 anA=0，加速度各分量的方向如图，加速度各分量的方向如图(c)所示。所示。 把把 aA 投影到点投影到点A轨迹的法线轨迹的法线 AO上，就得到上，就得到 anAC = AC 2 = 0 atAC = l2 sin sin cos0 t ACCyCx aaa 这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的 条件。条件。 即即 0 sin 2 l sin- cos CyCx aa （1） O B A C O x y B A （c） t AC a t A a Cy a Cx a Cy a Cx a 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达

38、朗贝尔 原理 杆的惯性力合成为一个作用在质心杆的惯性力合成为一个作用在质心 的力的力 FIC 和一个力偶和一个力偶MIC ，两者都在运动，两者都在运动 平面内，平面内， FIC的两个分量大小分别是的两个分量大小分别是 FICx = maCx , FICy = maCy 力偶矩力偶矩 MIC 的大小是的大小是 MIC = JCz 旋向与旋向与相反相反( 如图如图b)。 O B A C O x y B A （c） t AC a t A a Cy a Cx a Cy a Cx a 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 FICx FICy MIC 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 由动静法写出杆

39、的动态平衡方程，有由动静法写出杆的动态平衡方程，有 且对于细杆且对于细杆 , JCz = ml 212 。 联立求解方程联立求解方程(1)(4)，就可求出，就可求出 mg mg F 13 32 cossin4 sin 22 0 sin 2 , 0)F( 0 sin , 0 0 cos , 0 l FJM FmgmaF FmaF zCC Cyy Cxx （2） （3） （4） O B A C O x y B A （c） t AC a t A a Cy a Cx a Cy a Cx a 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 FICx FICy MIC 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 例题例

40、题13-8 半径为半径为R，重量为，重量为W1的大圆轮，由绳索牵引，的大圆轮，由绳索牵引， 在重量为在重量为W2的重物的重物A的作用下，在水平地面上作纯滚动，系的作用下，在水平地面上作纯滚动，系 统中的小圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩统中的小圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩 擦力。擦力。 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 解：解： 先应用动能定理，求出先应用动能定理，求出 加速度，再对大圆轮应加速度，再对大圆轮应 用动静法。用动静法。 sWT R v R g W v g W v g W 20 2212122 )( 2 1 (

41、 2 1 2 1 2 1 1. 应用动能定理。应用动能定理。 A 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 sWT R v R g W v g W v g W 20 2212122 )( 2 1 ( 2 1 2 1 2 1 sWTv g W g W 20 212 ) 2 3 ( 2 1 v t s d d 12 2 2 3 WW gW a 1. 应用动能定理。应用动能定理。 两边对时间两边对时间t求导，且求导，且 得得 A 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 12 2 2 3W W gW a 0 0,)F( FRJM

42、 CC ) 2 3 ( 2 12 12 2 WW WW R aJ R J F CC 2. 应用动静法。应用动静法。 取轮子为研究对象。取轮子为研究对象。 将将 带入上式得带入上式得 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 例例13-9 铅直轴铅直轴AB以匀角速度以匀角速度转动，轴上转动，轴上 固连两水平杆固连两水平杆CD和和EF，两杆分别和转轴，两杆分别和转轴 形成的平面夹角是形成的平面夹角是，两杆长度都是，两杆长度都是l，其，其 余尺寸如图余尺寸如图14-9所示。今在两杆端上各固所示。今在两杆端上各固 连一小球连一小球D和和F，它们的质量都是，它们的质量

43、都是m，不计，不计 转轴和杆的质量。试求轴承转轴和杆的质量。试求轴承A、B对轴的动对轴的动 反力。反力。 x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 2 laa FD 2 mlQQ FD 当转轴以匀角速度当转轴以匀角速度转动时，两小转动时，两小 球只有法向加速度，其大小是球只有法向加速度，其大小是 两小球惯性力的大小是两小球惯性力的大小是 方向分别沿方向分别沿CD和和EF，真实力与惯性力构，真实力与惯性力构 成空间任意力系，如图所示。因对象上的成

44、空间任意力系，如图所示。因对象上的 惯性力是两个集中力，所以不必简化。惯性力是两个集中力，所以不必简化。 x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 解：取转轴连同两杆和两小球为研究对解：取转轴连同两杆和两小球为研究对 象。它所受的真实力有两球的重力象。它所受的真实力有两球的重力 G=mg和轴承和轴承A、B的反力。的反力。 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 ,Fx0 0sin 2 mlFF BxAx ,Fy0 0cos 22 mlmlFF ByAy ,F z 0 0 mgmgFA

45、z ,(F)m x 0 aml)(hmlhF By cos 22 0cos mglmgl ,(F)m y 0 0sinsin 2 mglamlhF Bx 取坐标系如图，并根据达朗伯原理列出平衡方程取坐标系如图，并根据达朗伯原理列出平衡方程 x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 )(hg h ml FAxsin 2 )g(aa)(h h ml FAycos1cos 22 mgFAz2 g)(a h ml F Bx sin 2 )g(aa)(h

46、 h ml F By cos1cos 22 联立求解上列联立求解上列13个方程，得到轴承的反力个方程，得到轴承的反力 是是 （1） 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 上述解答式中，不含上述解答式中，不含2的项是转子（机器中的转动部件，的项是转子（机器中的转动部件， 本题中是转轴、杆及小球所组成的转动刚体）静止时的静反本题中是转轴、杆及小球所组成的转动刚体）静止时的静反 力；而含力；而含2的项是转子匀速转动时的惯性力引起的附加动反的项是转子匀速转动时的惯性力引起的附加动反 力，它们的反作用力是轴承所受的附加动压力。力，它们的反作用力是轴承所受的附加动压

47、力。 转子匀速转动时的附加动压力随转子匀速转动时的附加动压力随的增大而急剧增大（与的增大而急剧增大（与 2成比例），且其在空间的方向随时间而周期性变化它将影成比例），且其在空间的方向随时间而周期性变化它将影 响轴承的使用寿命，并引起周围物体的振动。响轴承的使用寿命，并引起周围物体的振动。 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 0 BxAx FF 2 2a)(h h ml FF ByAy mgF Az 2 (2) 为了寻找减小或消除上述附加动压力的途径，现考虑本为了寻找减小或消除上述附加动压力的途径，现考虑本 例的如下两种特例：例的如下两种特例： 1. 当

48、当=时，由式（时，由式（1），有），有 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 0 BxAx FF 2 ByAy ah h ml FF)2( mgF Az 2 (2) 为了寻找减小或消除上述附加动压力的途径，现考虑本为了寻找减小或消除上述附加动压力的途径，现考虑本 例的如下两种特例：例的如下两种特例： 1.当当=时，由式（时，由式（1），有），有 事实上，当事实上，当=时，转子质心在转轴上，从而转子惯性力时，转子质心在转轴上，从而转子惯性力

49、主矢等于零，使得附加动压力中由惯性力主矢引起的部分得以主矢等于零，使得附加动压力中由惯性力主矢引起的部分得以 消除。注意到质心在转轴上的转子若除自身重力外不受其他主消除。注意到质心在转轴上的转子若除自身重力外不受其他主 动力作用，则转子可在任意放置的位置上静止平衡，所以这种动力作用，则转子可在任意放置的位置上静止平衡，所以这种 质心在转轴上的情况称为静平衡。质心在转轴上的情况称为静平衡。 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 可以看出，式（可以看出，式（2）中的第二式表）中的第二式表 示了两小球惯性力所形成的力偶示了两小球惯性力所形成的力偶 所引起的附加

50、动反力。一般也如所引起的附加动反力。一般也如 此，即仅静平衡的转子，还不能此，即仅静平衡的转子，还不能 完全消除附加动反力。完全消除附加动反力。 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 0 BxAx FF 2 2a)(h h ml FF ByAy mgF Az 2 当当=时，由式（时，由式（1），有），有 (2) x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 理论力学第七版第十三章达朗贝尔 原理 2. 当当=时，且时，且h=2a时，时， 由式（由式（2）有）有 0 ByAyBxAx FFFF mgF Az 2 (3) 13-3 动静法应用举例动静法应用举例 0 BxAx FF 2 2a)(h h ml FF ByAy mgF Az 2 当当=时，由式（时，由式（1），有），有 (2) x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 即这时惯性力系自成平衡，附加动反力全部消除。这种转子惯性即这时惯性力系自成平衡，附加动反力全部消除。这种转子惯性