全国卷高考复习平面向量(知识总结题型)

1、第一部分平面向量的概念及线性运算 1. 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向 量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为土 |已 1 a| 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向 量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较 大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两

2、个向量和的运算 a *趾 平行四边爭法则 (1)交换律：a+ b= b+ a. (2)结合律： (a+ b) + c= a+ (b+ c) 减法 求a与b的相反向量 b的和的 运算叫做 a与b的差 a b= a + ( b) 数乘 求实数入与向量a 的积的运算 (1) 1 入 a| =入 | a| ; (2) 当入0时，入a的方向与a 的方向相同；当 入v 0时，入a 的方向与a的方向相反;当入= 0时，入a=0 入(ii a)=入 u a； (入+ u) a=入 a+ u a ； 入(a+ b)=入a+入b 3.共线向量定理 向量a( az 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使得b

3、i a. 【基础练习】 1.判断正误（在括号内打“2”或“X”） （1）零向量与任意向量平仃.（） (2)若 a/ b, b/ c,贝U a/ c.() 向量ABW向量CD是共线向量，贝y A B, C, D四点在一条直线上.（） （4）当两个非零向量a, b共线时，一疋有b=入a,反之成立.（） 在厶ABC中，D是BC中点，则 AD= 2（心 AB.（） 2. 给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a, b都是单位向量，则 a= b； 向量AB与BA相等.则所有正确命题的序号是（） A. B.C. D. 3.(2017 枣庄模拟 ）设DABC所在平面内一点， AD= gAB+ 4A

4、C 若X DC X R), 则X =( ) A.2 B.3C. 2 D. 3 4.(2015 全国n卷 ）设向量a, b不平行，向量入a+ b与a+ 2b平行，则实数X = 5. （必修4P92A12改编）已知？ABCD勺对角线 AC和BD相交于 Q且AA= a,OB= b,则AC=, BC=（用 a, b 表示）. 1 2 6. （2017 嘉兴七校联考）设D, E分别是 ABC的边AB BC上的点，AD= -AB BE=BC若De = 入lAB+入2AC入1 ,入2为实数）,贝V入1 = ,入2= . 考点一平面向量的概念 【例1】 下列命题中，不正确的是 （填序号）. 若 I a| =

5、|b| ,则 a= b； 若A, B, C, D是不共线的四点，则“ AB= A”是“四边形 ABCD为平行四边形”的充要条 件； 若 a= b, b= c,贝V a= c. 【训练1】 下列命题中，正确的是 （填序号）. 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 解析 不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； 不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相 同或相反； 正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小

6、 答案 考点二平面向量的线性运算 1 【例2】(2017 潍坊模拟)在厶ABC中, P, Q分别是AB BC的三等分点，且 AP= 3AB BQ= 1 3BC 若Ab= a, Ac= b,则 PQ=() 3 11 A3a+3b 11 B. 3a+ 3b 1 1 C.3a3b 11 d. - 3a- 3b 【训练2】(1)如图，正方形 ABCDK点 E是DC的中点, 靠近B点的三等分点，那么 EF等于( a.Ab 2 点F是BC的一个 AB C. 考点三共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a与b不共线. D三点共线; (1)若 AB= a+ b, BC= 2a + 8b, CD= 3(

7、 a b).求证：A, B, 试确定实数k,使ka+ b和a+ kb共线. 【训练 3】已知向量 AB= a+ 3b, BC= 5a + 3b, CD=- 3a+ 3b，则() A.AB,C三点共线B.A,B,D三点共线 C.A,CD三点共线D.B,C,D三点共线 第二部分平面向量基本定理与坐标表示 1. 平面向量的基本定理 如果e1, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有- 对实数入1,入2,使a=入e+入2e2. 其中，不共线的向量 e1, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向

8、量正交分解 3. 平面向量的坐标运算 (1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(X1, y” , b= (X2, y2)，贝U a+ b= (xi +X2,y土y), a b= (xiX2,yi y2), X a=(入 xi, hy , | a| =：x1+y?. (2) 向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(xi, yi) , B(x2, y2)，则 AB=(X2 Xi, y2 yi), | AB = : (X2Xi) 2+( y2 yi) 2. 4. 平面向量共线的坐标表示 设 a= (xi, yi) , b= (X?, y?)，贝y a/

9、b? xiy? x?yi = o. 【基础练习】 i.(20i7 东阳月考 )已知向量a= (2 , 4) , b= ( 1, 1)，则 2a+ b 等于() A.(5 , 7) B.(5 , 9) C.(3 , 7) D.(3 , 9) 2.(20i5 -全国I卷 )已知点A(0 , i), B(3 , 2), 向量 AC= ( 4, 3)，则向量 BC=() A.( 7, 4) B.(7 , 4) C.( 1, 4) D.(i , 4) 3.(20i6 -全国n卷 )已知向量a= (m 4) , b= (3 , 2)，且 a / b,则 m= 4.(必修4Pi0iA3改编)已知？ABCD勺

10、顶点A( i, 2),耳3 , i) , C(5 , 6)，则顶点D的坐 标为 考点一平面向量基本定理及其应用 【例i】(20i4 全国I卷)设D, E, F分别为 ABC的三边BC CA AB的中点，贝U EB+ FC= ( ) a.ADb.aDc. 1bcd. Bc4 【训练i】如图，已知AB= a , AC= b , BD= 3DC用a , b表示AD则AD=. aDC 考点二 平面向量的坐标运算 【例 2】(i)已知向量 a = (5 , 2) , b= ( 4, 3) , c= (x , y),若 3a 2b+ c = 0,则 c =() A.( 23 , i2)B.(23 , i2

11、) C.(7 ,0)D.( 7 , 0) 【训练2】(i)已知点A i , 5)和向量a= (2, 3),若AB= 3a ,则点B的坐标为() A.(7 ,4)B.(7 , i4) C.(5 ,4)D.(5 , i4) (20i5 江苏卷)已知向量 a= (2 , i), b= (i , 2).若 na+ nb= (9 , 8)( m n R),则 m n的值为. 考点三平面向量共线的坐标表示 【例3】(i)已知平面向量 a= (i , 2), b= ( 2 , m,且a / b,贝U 2a+ 3b= (2)(必修4P101练习7改编)已知A(2 , 3) , B(4 , - 3)，点P在线段

12、AB的延长线上，且| AR =| Bp，则点P的坐标为 【训练3】 (1)(2017 浙江三市十二校联考 )已知点A(1 , 3) , B(4 , - 1)，则与AB同方向的 单位向量是() 3 - 4 - - D 4 - 5 3 - 5 - 3 - 5 - 4 - 5 B 4 - 5 - 3 - 5 A 若三点A(1 , - 5) , B(a,- 2) , q 2, - 1)共线，则实数a的值为. 第三部分平面向量的数量积及其应用 1. 平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b,记OA= a, 0B= b,则/ AOB= 0 (0 0 180) 叫做向量a与b的夹角

13、. 数量积的定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为 0，则数量| a| b|cos 0叫做 a与b的数量积(或内积)，记作a b,即a b= | a| b|cos 0,规定零向量与任一向量的数 量积为0，即0 a= 0. 数量积几何意义：数量积a b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积. 2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a= (X1, yj , b= (X2, y2), 0为向量a, b的夹角. (1) 数量积：a b= | a| b|cos 0 = X1X2+ y/2. (2) 模：| a| = , a a=+ y1. 亠宀a bX1X2+ y

14、y (3) 夹角：COS 0 = 1冲=2222. 丨 all b| 寸X1+ y1 寸X2 + y2 两非零向量 a丄b的充要条件：a b= 0? X1X2+ y1y2= 0. (5)| a b| | a| b|(当且仅当a / b 时等号成立)？ | X1X2+ yyl w寸x：+ y：px2+ y2. 3. 平面向量数量积的运算律：(1) a - b= b a(交换律).(2)入a b = X(ab) = a (入b)(结 合律).(3)( a+ b) - c= a - c + b - c(分配律). 【基础练习】 1. (2015 全国 n 卷)向量 a= (1 , - 1), b=

15、( - 1, 2)，则(2a+ b) - a 等于() A. -1B.0C.1D.2 2. (2017 湖州模拟)已知向量a, b,其中|a| = 3, | b| = 2，且(a-b)丄a，则向量a和b的 夹角是. 2 n 3. (2016 石家庄模拟)已知平面向量a, b的夹角为, I a| = 2,| b| = 1，则| a+ b| =. 3 5. (必修4P104例1改编)已知I a| = 5, I b| = 4, a与b的夹角0 = 120,则向量 b在向量a 方向上的投影为. 6. (2017 瑞安一中检测)已知a, b, c是同一平面内的三个向量，其中 a= (1 , 2) , |

16、b| = 1, 且a+ b与a 2b垂直，则向量 a b=； a与b的夹角0的余弦值为 . 【考点突破】 | AB = 6, |AD| = 4，若点 M N 满 考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用(用已知表示未知) 【例1】(1)(2015 四川卷)设四边形ABCD为平行四边形, 足BM= 3c 6n= 2hfc 则 AM NM等于() A.20B. 15C.9D.6 D, E分别是边AB BC的中点, (2016 天津卷)已知 ABC是边长为1的等边三角形，点 连接DE并延长到点F,使得DE= 2EF,则AF BC的值为( 11 a. 8 B.8 1 【训练1】(1)(2017 义乌市调研)在Rt ABC中 , / A= 90 , AB= AC= 2,点D为AC的中 点，点E满足1BE= 3BC则尺EE3D= (2017 宁波质检)已有正方形 ABC啲边长为1,点E是AB边上的动点，贝U 0E- CB勺值为 ； 6e- 5C的最大值为 . 考点二平面向量的夹角与垂直 【例2】(1)(2016 全国n卷)已知向量a= (1 , m) , b= (3 , 2),且(a+ b)丄b,则 作() A. 8B. 6C.6D.8 若向量a= (k , 3), b= (1 , 4), c=