9A文空间几何体的内切球与外接球问题

1、MeiWei 81 重点借鉴文档】 空间几何体的内切球与外接球问题 1 2016 全国卷 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) 32 A12B. 3 C8D4 解析 A 因为正方体的体积为 8，所以正方体的体对角线长为2 3，所以正方体的外接球 的半径为 3，所以球的表面积为 4( 3) 12. 22016 全国卷 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1内有一个体积为 V的球若 ABBC，AB 6，BC8，AA13，则 V 的最大值是 () 932 A4B. 2 C 6 D. 3 解析 B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r1，ABBC，AB6，BC8，8r16 r

2、1 10，解得 r12，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r2， 则 2r23，即 r 2 23.球的最大半径为 32，故 V 的最大值为 34 2 29. 3. 2016 郑州模拟 在平行四边形 ABCD 中， CBA 120， AD4，对角线 BD2 3，将 其沿对角线 BD 折起，使平面 ABD 平面 BCD ，若四面体 ABCD 的顶点在同一球面上，则 该球的体积为 答案： 203 5；解析：因为 CBA 120，所以 DAB60，在三角形 ABD 中，由余弦 3 定理得 (2 3)242AB224ABcos60，解得 AB 2，所以 ABBD.折起后平面 ABD

3、 平面 BCD，即有 AB平面 BCD ，如图所示，可知 A，B，C，D 可看作一个长方体中的四 个顶点，长方体的体对角线 AC就是四面体 ABCD外接球的直径， 易知AC 22422 5， 所以球的体积为 203 5 . 3 4. 2016 山西右玉一中模拟 球 O 的球面上有四点 S，A，B， C，其中 O，A，B，C 四点共 面， ABC 是边长为 2 的正三角形，平面 SAB平面 ABC ，则棱锥 S-ABC 的体积的最大 值为 ( ) 选 A；解析(1)由于平面 SAB平面 ABC，所以点 S在平面 ABC 上的射影 H 落在 AB上， 根据球的对称性可知， 当S在“最高点”， 即H

4、为 AB的中点时， SH最大，此时棱锥 S-ABC 的体积最大 因为 ABC 是边长为 2 的正三角形，所以球的半径 rOC2CH2 32 2 3. 故所求体积的最大值为 13 43 221 33. MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 5. 2016 赣州模拟 如图 7-38-19 所示，设 A，B，C，D 为球 O 上四点， AB，AC，AD 两两 垂直，且 ABAC 3，若 AD R(R 为球 O的半径 )，则球 O的表面积为 ( ) A B 2C4 D 8 选 D；解析：因为 AB，AC，AD 两两垂直，所以以 AB， AC，AD 为棱构建一个长方体，

5、如 图所示，则长方体的各顶点均在球面上，ABAC 3，所以 AE 6，ADR，DE 2R， 则有 R26(2R)2，解得 R 2，所以球的表面积 S 4R28 . 6. 2016 安徽皖南八校三联 如图所示，已知三棱锥 A-BCD 的四个顶点 A，B，C，D 都在球 O的表面上， AC平面 BCD，BCCD，且 AC 3，BC2，CD 5，则球 O 的表面积 为() A 12 B7 C9 D 8 解析 A 由 AC平面 BCD，BCCD 知三棱锥 A-BCD 可以补成以 AC，BC，CD 为三条棱 的长方体，设球 O 的半径为 R，则有 (2R)2AC2BC2CD234512，所以 S 球4

6、R2 12 . 72016 福建泉州质检 已知 A，B，C 在球 O 的球面上， AB1，BC2，ABC60， 且点 O到平面 ABC的距离为 2，则球 O 的表面积为 答案： 20 解析在 ABC 中用余弦定理求得 AC 3，据勾股定理得 BAC 为直 角，故 BC 的中点 O1即为 ABC 所在小圆的圆心， 则 OO1平面 ABC ，在直角三角形 OO1B 中可求得球的半径 r 5，则球 O 的表面积 S 4r2 20. ，则该球的表面积为 ( ) 8.2016 河南中原名校一联 如图 K38 - 16所示，ABCD -A1B1 C1D 1是边长为 1的正方体， S-ABCD 是高为 1

7、的正四棱锥，若点 S，A1， A.196B.1256C.4196D.8116 MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 选D；解析如图所示作辅助线，易知球心O在SG1上，设 OG1R，则 OB1SO2 R，同时由正方体的性质知 B1G1 22，则在 RtOB1G1中，由勾股定理得 OB12G1B21 OG12，即 (2R)2R2 22 ，解得 R87，所以球的半径 R2 7889，所以球的表面积 S 4 R2 81 16. 920RR 课标全国 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一 个球放在容器口， 再向容器内注水， 当球面恰好接触水面

8、时测得水深为6cm，如果不计容器 的厚度，则球的体积为 ( ) 500 3 A. cm 866 3 B. cm 1 372 3 C. cm 2 048 3 D. cm 即OBA 解析： 设球半径为 R，由题可知 R，R2，正方体棱长一半可构成直角三角形， 为直角三角形，如图 BC2，BA 4，OBR2，OAR， 由 R2 (R2)242，得 R5， 4 3 500 3 所以球的体积为 3 53 3 (cm3)，故选 A 项 答案： A MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 10已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3 2，则这个四棱锥的外接球的表面积为( ) A

9、12B 36C 72D 108 选 B； 解析：依题意 得，该正 四棱锥 的底面 对角线长 为 3 2 26，高 为 3 2 2 12 6 2 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的 球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于 4 32 36 . 1120RR石家庄质检一 已知球 O，过其球面上 A、B、C 三点作截面，若 O 点到该截面的 距离是球半径的一半，且 ABBC2，B120，则球 O 的表面积为 ( ) 64 816 A. 3 B. 3 C 4D. 9 解析：如图，球心 O 在截面 ABC 的射影为 ABC 的外接圆的圆心 O.由题

10、意知 OO1 2R，OAR，其中 R为球 O的半径在 ABC 中， AC AB2BC2 2ABBCcos120 MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 AC 2 3 设ABC 的外接圆半径为 r ，则 2r sinA1C20 2 33 4，得 r2，即 OA2.在 RtOO1A 2 中，OO21O1A2OA2，即R4 4R2，解得 R2136，故球 O的表面积 S4R2 634，故选 A. 答案： A 12 20RR 郑州模拟 在三棱锥 A-BCD 中， ABCD6，ACBDADBC5，则该 三棱锥的外接球的表面积为 解析：依题意得， 该三棱锥的三组对棱分别相等

11、， 因此可将该三棱锥补形成一个长方体， 222 ab 6 ， 设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为 R，则 b2 c2 52， 得 222 c a 5 ， a2b2c243，即 (2R)2a2b2c243，易知 R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该 2 三棱锥的外接球的表面积为 4R 43 . 答案： 43 13 20RR 全国卷 正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为 2， 则该球的表面积为 ( ) 8127 A.B 16C9D. 44 答案：A； 解析如图所示， E为AC与BD 的交点因为正四棱锥的底面边长为2，所以 1 AE2AC 2.设球心为

12、O，球的半径为 R，则 OE4R， OAR.又因为 AOE 为直角三 角形，所以 OA2OE2AE2，即 R2(4R)22，解得 R 49，所以该球的表面积 S4 R2 4 9 2 81 44 142016 湖南八校联考 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积 为() A8B16 C 32 D 64 MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei 81 重点借鉴文档】 答案： C； 解析 该几何体为一个四棱锥，其外接球的球心为底面正方形的中心，所以半 径为 2 2，表面积为 4 (2 2)2 32. 15已知四棱锥 S-ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面 ABCD 是正方形且球心 O 在此平 面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于1616 3，则球 O 的体积等于 ( ) 4 2 16 2 32 2 64 2 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 则 AC2R，SOR，AB 2R，则有 ( 2R)2 4 12 2R22R R2 答案： D； 解析 由题意，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥设球O 的半径为 R， 1616 3，解得 R2 2，球 O的体积是 34R36432 16 2016武汉调研 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，