高中数学-函数定义域、值域求法总结

1、函数定义域、值域求法总结一 .求函数的定义域需要从这几个方面入手：（ 1）分母不为零（ 2）偶次根式的被开方数非负。（ 3）对数中的真数部分大于 0。（ 4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1（ 5） y=tanx 中 x k +/2 ； y=cotx 中 xk 等等。( 6 )x 0 中 x0二、值域是函数y=f(x) 中 y 的取值范围。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元） （6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（ 11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数

2、学的始终。定义域的求法1、直接定义域问题例 1 求下列函数的定义域： f ( x)13x2 ； f (x)1； f ( x)x 1x 22 x解： x-2=0 ，即 x=2 时，分式1无意义，x2而 x 2 时，分式1有意义，这个函数的定义域是x | x 2 .x2 3x+20，即 x-2 时，根式3x2 无意义，32而 3x 20，即 x3x 2 才有意义，时，根式32这个函数的定义域是 x | x.31当 x 1 0且2x0，即 x 1且 x2 时，根式x 1和分式1同时有意义，x |x 1 且 x2 2x这个函数的定义域是x10x1另解：要使函数有意义，必须：x0x22例 2 求下列函数

3、的定义域：( )4x21f x f ( x)11111xx23x4 f ( x)12x( x1) 0 f ( x)xx yx 2 313x73解： 要使函数有意义，必须：4x 21即：3 x3函数 f ( x)4x 21 的定义域为： 3,3 要使函数有意义，必须：x 23x 4 0x 4或 x1x120x3且 x 1x 3或 3x1或 x 4定义域为： x|x3或 3x1或x4x01x0要使函数有意义，必须：0x11xx1110211x1函数的定义域为： x | xR且x0,1,2要使函数有意义，必须：x10x1xx0x0定义域为： x | x1或 1x02 要使函数有意义，必须：x 230

4、x R3x707x3即 x7定义域为： x | x73332 定义域的逆向问题例 3若函数 yax2ax1的定义域是 R，求实数 a 的取值范围(定义域的逆向问题 )aax 2ax10恒成立，解：定义域是 R, a等价于a010a 2a24a0aylog 2x2mx 3m 的取值范围；练习：定义域是一切实数，则3 复合函数定义域的求法例 4 若函数 yf (x) 的定义域为 1， 1，求函数 yf ( x1)f ( x1 ) 的定义域44解：要使函数有意义，必须：1x115x333444135x41x1x4444yf ( x1) f ( x1 )3x3x |4函数44的定义域为：4例 5 已知

5、 f(x) 的定义域为 1，1，求 f(2x 1)的定义域。分析：法则f 要求自变量在 1， 1内取值，则法则作用在2x 1 上必也要求 2x 1在 1，1 内取值， 即 1 2x 11, 解出 x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x 1)中 2x 1 与 f(x) 中的 x 位置相同， 范围也应一样， 1 2x 1 1, 解出 x 的取值范围就是复合函数的定义域。（注意： f(x) 中的 x 与 f(2x 1) 中的 x 不是同一个 x，即它们意义不同。 ）解： f(x)的定义域为 1， 1 ， 1 2x 1 1，解之 0 x 1， f(2x 1) 的定义域为 0 ，

6、1 。3例 6 已知已知 f(x) 的定义域为 1， 1，求 f(x 2)的定义域。答案： 1 x2 1x2 1 1 x1练习：设f ( x) 的定义域是 3，2 ，求函数 f (x2) 的定义域解：要使函数有意义，必须：3x22得： 1x 22x 0 0x 220 x 6 4 2 函数 f ( x2) 的定域义为：x | 0x64 2例 7 已知 f(2x 1)的定义域为 0， 1，求 f(x) 的定义域因为 2x 1 是 R 上的单调递增函数，因此由 2x 1， x 0,1 求得的值域 1， 1 是 f(x) 的定义域。练习：1已知 f(3x 1)的定义域为 1， 2），求 f(2x+1)

7、 的定义域。5 ,2 ）2（提示：定义域是自变量x 的取值范围）2已知 f(x 2)的定义域为 1， 1 ，求 f(x) 的定义域3若 yf x 的定义域是0,2，则函数 fx1 f2x1 的定义域是（）1,11 , 11,10,122224已知函数 fx1x 的定义域为，函数yff x的定义域为，则（）1x A U BB BA A I B B A B求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数 y=ax+b(a0) 的定义域为 R，值域为 R；yk ( k 0 )0 ，值域为 y|y0 ；反比例函数x的定义域为 x|x二次函数 f ( x)ax2bx c(a 0) 的定义域为R，4y

8、| y(4acb2 )y | y(4acb 2 )当 a0 时，值域为 4a ；当 a0， y x1 = ( x1 ) 22 2 ，xx-6当 x0 时，则当 xb 时，其最小值 ymin( 4ac b 2 ) ；2a4a当 a0）时或最大值（ a0）时，再比较f (a ), f (b) 的大小决定函数的最大（小）值.若 x0a,b,则 a,b是在 f (x) 的单调区间内， 只需比较 f (a), f (b) 的大小即可决定函数的最大（小）值 .注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习： 1、求函数

9、y=3+23 x 的值域解：由算术平方根的性质，知23x 0，故 3+2 3x 3。函数的值域为3,.2、求函数 yx 22x 5, x0,5 的值域x 1时 , ymin4解：对称轴x10,5x 5时 , ymax20值域为 4,201 单调性法例 3求函数 y=4x 13x (x 1/3)的值域。设 f(x)=4x,g(x)=13x ,(x 1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)=4x-13x在定义域为x 1/3 上也为增函数， 而且 yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为 y|y 4/3 。6小结 ：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的

10、区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习： 求函数 y=3+4x 的值域。 ( 答案： y|y 3 )2 换元法例 4求函数 yx2 1x的值域解： 设1xt ，则 yt22t1 (t0)对称轴 t10,，且开口向下当 t1时 ，ymax2值域为,2点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=x1x 的值域。（答案： y|y 3/4求 1 sin xcosx 的值域； sin x cos x例 5（三角换元法

11、）求函数yx1x 2的值域解：1 x1设xcos0,ycossincossin2 sin()1,24原函数的值域为1 ,2小结：（ 1）若题目中含有a1，则可设 asin,2(或设a cos ,0)2（ 2）若题目中含有a 2b21则可设 acos,bsin，其中 02（ 3）若题目中含有1x2，则可设 xcos，其中 0（ 4）若题目中含有1x 2，则可设 xtan，其中22（ 5）若题目中含有x y r (x 0,y0,r0)，则可设 x220 ,r cos,y r sin 其中23 平方法例 5（选）求函数解：函数定义域为：y x 3 5 x 的值域 x 3,57y2( x 3)2由3,

12、5 ,得x28x 15 0,1(5 x) 2 x8x 15 xy22,4原函数值域为2 ,24 分离常数法例 6x1求函数 y的值域x2x2 331，可得值域y y 1由 y1x2x2小结： 已知分式函数yaxb( c0) ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）cxd内，值域为y ya；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法cabad将原函数化为yc( adbc ) ，用复合函数法来求值域。ccxd练习2 x1求函数 y的值域求函数 y3x3x的值域1求函数y=2 x1 的值域；（ y (-1， 1)）22 x1t例 7 求 y x 3 x1的值域4, x1y0 1解法

13、一：（图象法） 可化为y22x ,1x3如图，44,x3观察得值域y4y 4-10 13x-4解法二：（不等式法）x 3x 1(x 3)(x1)4同样可得值域x 3x 1(x 1) 4x 1x 14x 14t练习 ： yxx1 的值域1,例 8求函数 y9x3x2( x0,1 )的值域8解：（换元法） 设3 xt，则1t3原函数可化为yt 2t2 ,对称轴t11,3t1时 ,y min2; t 3 时 , y max82值域为2,81x22x例 9 求函数 y的值域31t解：（换元法） 令 tx 22x( x1)21 ，则 y(t1)3由指数函数的单调性知，原函数的值域为1 ,y3例 10求函

14、数y 2x(x0)的值域1解：（图象法） 如图，值域为0,1x0（换元法） 设 3x1t，则 y3 x1 11111 1 t13x13xtt10110y1t原函数的值域为0,1例 13函数 yx 21的值域x 21解法一：（逆求法）x 21y01y11y原函数的值域为1,1解法二：（换元法） 设 x21t，则22112ty原函数值域即得10t解法三：（判别式法） 原函数可化为( y1) x 20xy101）y1时 不成立2）y1时，004( y1)( y1)01y191y1综合 1）、2）值域 y |1y1解法四：（三角换元法）xR设 xtan2,，则2y1tan 2cos22,cos 21

15、, 11tan 2原函数的值域为 y |1y1例 14求函数 y5的值域52x24 x3t解法一：（判别式法） 化为 2 yx 24 yx(3 y5)051） y0 时，不成立2） y0 时，0 得0 1t(4 y) 8 y(3 y5)00y50y5综合 1）、 2）值域 y | 0y5解法二：（复合函数法）令 2x24x 3t ，则 y5tt2( x1) 2110y5所以，值域 y | 0y5例 15函数 y x11的值域x解法一：（判别式法） 原式可化为x 2(1y)x1 00(1y)24 0y3 或 y1原函数值域为, 13 ,解法二：（不等式法）1）当 x12y30 时， xxx1(x

16、)12y1xx)2） x0时，(10综合 1） 2）知，原函数值域为, 13 ,例 16 (选 ) 求函数 yx 22x2( x1) 的值域x 1解法一：（判别式法） 原式可化为x 2(2y) x2y00(2 y) 24( 2 y) 0y 2 或 y2x1y2 舍去原函数值域为 2,解法二：（不等式法） 原函数可化为y( x1) 21x112 ( x1)x 1x1当且仅当 x0时取等号，故值域为2 ,例 17 （选） 求函数 yx22x2( 2x2) 的值域x1解：（换元法） 令 x1t ，则原函数可化为yt1 (1t3) 。t2小结：已知分式函数yaxbxc(a 2d 20) ，如果在其自然

17、定义域内可采用判别式法求dx2exf值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选） y二次式(或y一次式 ) 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的一次式二次式最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数去解。练习 ：y xa( x 0) 的单调性x1 、 yx 219( x0)；x 2解： x0， yx 219 ( x1) 211， y11.x2x另外，此题利用基本不等式解更简捷：yx219 2 9 11 (或利用对勾函数图像法 )x22 、 y52x 24x30y 5.3 、求函数的值域11 y x2 x ； y 24x x2解：令 u

18、2x0,则 x2u 2,原式可化为 y2u2u(u1 ) 29,24 u 0， y9 ，函数的值域是（-， 9.44解：令 t=4xx 20 得 0x4在此区间内(4xx2) m ax =4， (4xx 2) min=0函数 y24xx2的值域是 y| 0y24、求函数 y=|x+1|+|x-2| 的值域 .2 x1( x1)解法 1：将函数化为分段函数形式：y3(1 x2)，画出它的图象 （下图），由图象可知，2x1( x2)函数的值域是 y|y3.解法 2：函数 y=|x+1|+|x-2| 表示数轴上的动点x 到两定点 -1， 2的距离之和，易见y 的最小值是 3，函数的值域是3， +.如图x -1 O 12-1 Ox 12-1 O 12 x5、求函数 y2x4 1x 的值域解：设 t1x则 t 0x=1 t 2代入得 yf (t )2(1t 2 )4t2t 24t22(t1)24 t0 y46、（选）求函数 yx 25x6 的值域x