控制工程基础-控制系统的频率法分析(1)（控制工程基础）

1、2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）1 控制工程基础控制工程基础 清华大学机械工程系清华大学机械工程系 朱志明朱志明 教授教授 2010-11-222010-11-22 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）2 时域法时域法： 通过求解系统微分方程的时间解来分析、研通过求解系统微分方程的时间解来分析、研 究控制系统的性能；究控制系统的性能； 频域法频域法： 通过系统的频率特性图来分析、研究控制系通过系统的频率特性图来分析、研究控制系 统的性能。统的性能。 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）3 概述概述 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 系统开环频率

2、特性的绘制系统开环频率特性的绘制 用频率法分析控制系统的稳定性用频率法分析控制系统的稳定性 用频率法分析控制系统的品质用频率法分析控制系统的品质 小结小结 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）4 输入：正弦交流电压：输入：正弦交流电压： 输出：电流输出：电流 i i 对于线性电路：对于线性电路： 稳态时的输出量和输入量之间有以下关系：稳态时的输出量和输入量之间有以下关系： 同同 频频 变变 幅幅 移移 相相 R-LR-L串联电路串联电路 （惯性环节）（惯性环节） tUusin R L e LR U IUeU tjtj arctan )( )( 22 2021-4-28第七讲 控制

3、系统频域法分析（1）5 定义：定义： 该复数量的幅值和相位（相角）都随频率而变化，称为该电路的该复数量的幅值和相位（相角）都随频率而变化，称为该电路的 频率特性频率特性。 频率特性反映了电路在不同频率下传递正弦函数的性能，频率特性反映了电路在不同频率下传递正弦函数的性能，A A（ ） 与与 的关系称为的关系称为幅频特性幅频特性， （ ）与）与 的关系称为的关系称为相频特性相频特性。 )( )()( j eA U I jG R L LR A arctan)( )( 1 )( 22 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）6 频率响应：频率响应：系统对正弦输入信号的稳态响应。系统对正弦输

4、入信号的稳态响应。 频率特性：频率特性：系统稳态时的正弦输出量复数表达与相应的正弦系统稳态时的正弦输出量复数表达与相应的正弦 输入量复数表达之比。输入量复数表达之比。 可以证明：对于稳定的系统，用可以证明：对于稳定的系统，用j j 代替系统传递函数中的代替系统传递函数中的s s， 就可得到系统的频率特性，即就可得到系统的频率特性，即 )( )( )( jR jY jG js sGjG | )()( 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）7 频率特性描述的是稳态正弦输出量和输入量之间的关系（包括幅值频率特性描述的是稳态正弦输出量和输入量之间的关系（包括幅值 和相位）。但大多数控制系统

5、的输入量不仅不是和相位）。但大多数控制系统的输入量不仅不是正弦函数正弦函数，而且，而且 是非周期函数。是非周期函数。 非正弦周期函数非正弦周期函数可以分解成傅立叶级数，即分解成一系列频率不可以分解成傅立叶级数，即分解成一系列频率不 同的谐波（正弦函数）。由于线性系统满足比例性和叠加性，系统同的谐波（正弦函数）。由于线性系统满足比例性和叠加性，系统 在非正弦周期函数作用下的响应，可以由这些谐波分别作用在系统在非正弦周期函数作用下的响应，可以由这些谐波分别作用在系统 上的频率响应之和求得。因此可以应用频率特性研究在非正弦周期上的频率响应之和求得。因此可以应用频率特性研究在非正弦周期 函数作用下的响

6、应。函数作用下的响应。 非周期函数非周期函数可以看作是周期无限延长的非正弦周期函数，因此可可以看作是周期无限延长的非正弦周期函数，因此可 以把非正弦周期函数分解为各次谐波的方法推广应用到非周期函数以把非正弦周期函数分解为各次谐波的方法推广应用到非周期函数 的谐波分析中去，从而可以用频率响应研究非周期函数的响应。的谐波分析中去，从而可以用频率响应研究非周期函数的响应。 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）8 在研究系统的暂态响应指标时，常采用单位阶在研究系统的暂态响应指标时，常采用单位阶 跃信号作为典型输入信号。跃信号作为典型输入信号。 通过频率特性求系统的阶跃响应时，先把单位通过

7、频率特性求系统的阶跃响应时，先把单位 阶跃信号分解成一系列谐波函数，求系统对这阶跃信号分解成一系列谐波函数，求系统对这 些谐波函数的频率响应，再把它们叠加成系统些谐波函数的频率响应，再把它们叠加成系统 的单位阶跃响应。的单位阶跃响应。 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）9 单位阶跃函数的傅氏级数展开式：单位阶跃函数的傅氏级数展开式： 设系统（或环节）的频率特性为：设系统（或环节）的频率特性为： 系统或环节的单位阶跃响应（频率特性和阶跃过渡函数的关系系统或环节的单位阶跃响应（频率特性和阶跃过渡函数的关系 式）：式）： 上式说明单位阶跃输入作用下的暂态响应，可以用稳态的频率特上式说

8、明单位阶跃输入作用下的暂态响应，可以用稳态的频率特 性来描述。性来描述。 0 sin1 2 1 )( 1 d t t )( )()( j eAjG 0 )sin( )(1 2 )0( )( dt AA ty 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）10 用频域法来分析控制系统的性能，不必求解系统的用频域法来分析控制系统的性能，不必求解系统的 微分方程，而是作出系统的频率特性图，然后通过微分方程，而是作出系统的频率特性图，然后通过 频域和时域之间的关系来分析系统的性能。频域和时域之间的关系来分析系统的性能。 频率特性不仅可以反映系统的性能，而且还可以频率特性不仅可以反映系统的性能，而且

9、还可以反反 映系统的结构和参数与系统性能的关系映系统的结构和参数与系统性能的关系。因此，通。因此，通 过研究系统的频率特性，可以了解如何改变系统的过研究系统的频率特性，可以了解如何改变系统的 参数和结构来改善系统的性能。参数和结构来改善系统的性能。 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）11 利用频率特性通频带的概念，可以设计出既满足系利用频率特性通频带的概念，可以设计出既满足系 统动态性能指标，又能使不希望有的噪声减小到满统动态性能指标，又能使不希望有的噪声减小到满 意程度的系统。意程度的系统。 频率特性也是一种数学模型频率特性也是一种数学模型，而且系统或元部件的，而且系统或元部

10、件的 频率特性可以用实验的方法测定。对于难于用机理频率特性可以用实验的方法测定。对于难于用机理 法建立数学模型的系统或元部件非常实用。法建立数学模型的系统或元部件非常实用。 频域法不仅适用于线性系统，还可以应用于某些非频域法不仅适用于线性系统，还可以应用于某些非 线性系统。是广大工程技术人员熟悉并广泛使用的线性系统。是广大工程技术人员熟悉并广泛使用的 有效方法。有效方法。 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）12 概述概述 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 系统开环频率特性的绘制系统开环频率特性的绘制 用频率法分析控制系统的稳定性用频率法分析控制系统的稳定性 用频率法分析控制

11、系统的品质用频率法分析控制系统的品质 小结小结 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）13 概述概述 对数坐标图或伯德（对数坐标图或伯德（BodeBode）图）图 极坐标图或奈奎斯特（极坐标图或奈奎斯特（NyquistNyquist）图）图 对数幅相图或尼柯尔斯（对数幅相图或尼柯尔斯（NicholsNichols）图）图 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 比例环节的频率特性比例环节的频率特性 积分环节的频率特性积分环节的频率特性 惯性环节的频率特性惯性环节的频率特性 振荡环节的频率特性振荡环节的频率特性 微分环节的频率特性微分环节的频率特性 延迟环节的频率特性延迟环节的频率特性

12、 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）14 对数坐标图由对数幅频对数坐标图由对数幅频 特性和对数相频特性两特性和对数相频特性两 幅图组成。幅图组成。 对数幅频特性对数幅频特性是是A A（ ） 的对数值的对数值L L（ ） 20lg 20lg A A（ ）和频率）和频率 的的 关系曲线。关系曲线。 对数相频特性是相位对数相频特性是相位 （ ）和频率）和频率 的关的关 系曲线。系曲线。 对数幅频特性的坐标对数幅频特性的坐标 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）15 当系统由许多环节组成时，系统的频率特性为环节频率特当系统由许多环节组成时，系统的频率特性为环节频率特 性的

13、乘积：性的乘积： 在绘制系统的对数频率特性时，只需将各个环节的对数坐在绘制系统的对数频率特性时，只需将各个环节的对数坐 标图进行加减即可。标图进行加减即可。 )( 21 )()()().().()()( i j iini eAjGjGjGjGjGjG )(.)()()( )(.)()()(lg20)( )().()()( 21 21 21 n n n LLLAL AAAA 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）16 当当 从从0 0变到变到 时，向量时，向量G G（j j ）的端点将绘出一条曲线，这条曲）的端点将绘出一条曲线，这条曲 线称为线称为G G（j j ） 的的极坐标图或乃

14、奎斯特图极坐标图或乃奎斯特图。 极坐标图极坐标图 )( )()( j eAjG 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）17 对数幅相图对数幅相图以角频率以角频率 为参数绘制，它将为参数绘制，它将 对数幅频特性和相频特性组合成一张图。对数幅频特性和相频特性组合成一张图。 纵坐标表示对数幅值（纵坐标表示对数幅值（dBdB），横坐标表示），横坐标表示 相应的相位（相应的相位（ ） 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）18 概述概述 对数坐标图或伯德（对数坐标图或伯德（BodeBode）图）图 极坐标图或奈奎斯特（极坐标图或奈奎斯特（NyquistNyquist）图）图 对数

15、幅相图或尼柯尔斯（对数幅相图或尼柯尔斯（NicholsNichols）图）图 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 比例环节的频率特性比例环节的频率特性 积分环节的频率特性积分环节的频率特性 惯性环节的频率特性惯性环节的频率特性 振荡环节的频率特性振荡环节的频率特性 微分环节的频率特性微分环节的频率特性 延迟环节的频率特性延迟环节的频率特性 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）19 比例环节的传递函数及频率特性为：比例环节的传递函数及频率特性为： 比例环节的对数幅频特性为一水平线。比例环节的对数幅频特性为一水平线。K1K1，在，在0dB0dB线以线以 上；上； 0K10K1K1，

16、在，在 0dB0dB线以上；线以上； K1K1 K1 ( )G sK ( )G sK 幅频特性 相频特性 ( )G sK( )G sK Im Re 极坐标图 K=1 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）22 传递函数：传递函数： 频率特性：频率特性： 对数幅频特性：对数幅频特性： 相频特性：相频特性： 的对数频率特性如何？的对数频率特性如何？ 积分环节的对数频率特性积分环节的对数频率特性 s sG 1 )( 2 111 )( j ej j jG lg20)(lg20)(AL 2 )( s sG 1 )( 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）23 积分环节积分环节 的

17、极坐标图为的极坐标图为 一与负虚轴重合一与负虚轴重合 的直线。的直线。 积分环节的极坐标图积分环节的极坐标图 s sG 1 )( 的极坐标图如何？的极坐标图如何？ s sG 1 )( 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）24 s sG 1 )( s sG 1 )( s sG 1 )( s sG 1 )( 270 s sG 1 )( s sG 1 )( 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）25 传递函数：传递函数： 频率特性：频率特性： 对数幅频特性：对数幅频特性： 相频特性：相频特性： Ts sG 1 1 )( T e T Tj jG j arctan)( 1 1

18、1 1 )( )( 22 2 )(1lg20)(lg20)(TAL Tarctan)( 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）26 为简化作图，分段用渐近线近似为简化作图，分段用渐近线近似 代替对数幅频特性：代替对数幅频特性： 低频段低频段（ T1T1T1）：高频渐近线）：高频渐近线 转角频率：转角频率： 惯性环节的对数频率特性惯性环节的对数频率特性 01lg20)(1lg20)( 2 TL TTLlg20)(1lg20)( 2 T/1 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）27 用渐近线代替对数幅频特性会带来误差，最大误差发生在转角用渐近线代替对数幅频特性会带来误差，

19、最大误差发生在转角 频率处：频率处： 当需要绘制精确对数幅频当需要绘制精确对数幅频 特性时，可按误差曲线对特性时，可按误差曲线对 近似曲线加以修正。近似曲线加以修正。 惯性环节对数幅频特性惯性环节对数幅频特性 用渐近线时的误差曲线用渐近线时的误差曲线 dBTT01. 302lg20)lg20()(1lg20 2 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）28 惯性环节具有低通滤波器特性。惯性环节具有低通滤波器特性。 在对数幅频特性和相频特性中，在对数幅频特性和相频特性中， 是以与是以与T T的乘积的乘积 T T的的 形式出现的。当时间常数变为形式出现的。当时间常数变为nTnT， 变为变

20、为 /n/n时，时， T T 保持不变，幅值和相角就不变。保持不变，幅值和相角就不变。 变为变为 /n/n，相当于横坐标移过相当于横坐标移过lgnlgn的距离。因此当的距离。因此当 惯性环节的时间常数惯性环节的时间常数T T变化时，对数幅频特性及相频特变化时，对数幅频特性及相频特 性左右移动，但形状不变。性左右移动，但形状不变。 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）29 惯性环节的极坐标图为惯性环节的极坐标图为 一个半圆。一个半圆。 半圆的圆心坐标为（半圆的圆心坐标为（1/21/2， 0 0），半径为），半径为1/21/2。 惯性环节的极坐标图惯性环节的极坐标图 2 2 2 22

21、 22 2 1 )( 2 1 )( 1 )( 1 1 )( QP T T Q T P 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）30 传递函数：传递函数： 频率特性：频率特性： Ts sG 1 1 )( T e T Tj jG j arctan180)( 1 1 1 1 )( )( 22 180 270 1 对数频率特性对数频率特性极坐标图极坐标图 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）31 传递函数：传递函数： 频率特性：频率特性： Ts sG 1 1 )( T e T Tj jG j arctan)( 1 1 1 1 )( )( 22 极坐标图极坐标图对数频率特性对数频

22、率特性 90 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）32 传递函数：传递函数： 频率特性：频率特性： 1 1 1 1 )( TsTs sG T e T Tj jG j arctan180)( 1 1 1 1 )( )( 22 极坐标图极坐标图对数频率特性对数频率特性 180 90 1 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）33 Ts sG 1 1 )( Ts sG 1 1 )( Ts sG 1 1 )( 1 1 1 1 )( TsTs sG 180 180 270 9090 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）34 1 1 1 1 )( TsTs sG T

23、s sG 1 1 )( Ts sG 1 1 )( Ts sG 1 1 )( 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）35 传递函数：传递函数： 频率特性：频率特性： 幅频特性：幅频特性： 相频特性：相频特性： 2222 )2()1 ( 1 )( TT A ) 1 2 arctan()( 22T T 01 21 1 )( 22 sTTs sG )( 2 )( )()(21 1 )( j eA TjTj jG 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）36 对数幅频特性：对数幅频特性： 低频段低频段（ T1 T1 T1 ）：高频渐近线为）：高频渐近线为40dB/dec40dB/d

24、ec。 当频率增大当频率增大1010倍时：倍时： 2222 )2()1 (lg20)(lg20)(TTAL 01lg20)(L TTLlg40lg20)( 22 )40lg40(10lg40)(TTL 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）37 T T1 1时：时： L L（ ）0 0 即低频渐近线和高频渐近线的即低频渐近线和高频渐近线的 转角频率为转角频率为 1/T1/T。 用渐近线代替精确对数幅频特性用渐近线代替精确对数幅频特性 时会带来误差，误差的大小和时会带来误差，误差的大小和 值有关，值有关， 值很小时，误差较大。值很小时，误差较大。 当当 值较小时，对数幅频特性有值较小

25、时，对数幅频特性有 一高峰，称谐振峰。一高峰，称谐振峰。 振荡环节的对数频率特性振荡环节的对数频率特性 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）38 谐振频率谐振频率 r r： 谐振峰值谐振峰值M Mr r： )707. 00(21 1 0| )2()1 (2 ) 12(44 | )( )2()1 ( 1 )( 2 3 2222 2234 2222 T TT TT d dA TT A r rr )707. 00( 12 1 )( 2 max AM r 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）39 谐振环节谐振环节 的的M Mr r与与 的曲线的曲线 2021-4-28第七讲

26、 控制系统频域法分析（1）40 当当4 4 2 22020，即，即 0.7070.707，随着频率的增高，随着频率的增高，A A（ ）单调减小，对数幅频）单调减小，对数幅频 特性不出现谐振峰。特性不出现谐振峰。 当当0 0，M Mr r。时域中的阶跃响应为等幅振荡，环节处于临界稳定状态。时域中的阶跃响应为等幅振荡，环节处于临界稳定状态。 当环节在当环节在 r r处出现谐振峰时，表示环节对频率为处出现谐振峰时，表示环节对频率为 r r附近的谐波分量放大附近的谐波分量放大 能力特别强，输入信号中频率在能力特别强，输入信号中频率在 r r附近的谐波分量被放得很大，在输出附近的谐波分量被放得很大，在输

27、出 信号中这些谐波分量特别突出，环节的阶跃响应有以信号中这些谐波分量特别突出，环节的阶跃响应有以 r r附近的频率振荡附近的频率振荡 的倾向。的倾向。 )24(1 1 )2()1 ( 1 )( 222442222 TTTT A 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）41 相频特性：相频特性： 相频特性对于相频特性对于1/T1/T， 9090 的点是斜对称的。的点是斜对称的。 ) 1 2 arctan()( 22T T 振荡环节的对数频率特性振荡环节的对数频率特性 180, 90,/1 0, 0 T 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）42 特殊点的值：特殊点的值： 极坐标图的形状与阻尼比极坐标图的形状与阻尼比 有关，有关， 与与T T无关。无关。 曲线上离原点最远的点：曲线上离原点最远的点： 振荡环节的极坐标图振荡环节的极坐标图 2 2 12 1 )(21 1 rr MA T )(0)( 2/)(2/1)(/1 0)(1)(0 A AT A 2021-4-28第七讲 控制系统频域法分析（1）43 10, 010, 0 ) 12/(112 ) 1/(11 /1s 2222 TT TssTTssT TsTs s 振荡环节二阶微分环