高中物理竞赛——动量、能量习题

1、高中物理竞赛动量、能量习题一、动量定理还是动能定理？物理情形：太空飞船在宇宙飞行时， 和其它天体的万有引力可以忽略， 但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。 设单位体积的太空均匀分布垃圾 n 颗，每颗的平均质量为 m ，垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速率 v 飞行，垂直速度方向的横截面积为 S ，与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力F 。模型分析：太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续，如何正确选取研究对象，是本题的前提。建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间

2、”的差异。物理过程需要人为截取，对象是太空垃圾。先用动量定理推论解题。取一段时间 t，在这段时间内，飞船要穿过体积V = S vt 的空间，遭遇 nV 颗太空垃圾，使它们获得动量P ，其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力。F =P =Mv = m nV v =mnSv t v= nmSv2tttt如果用动能定理，能不能解题呢？同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进x = vt 的位移，引擎推力 F 须做功 W=Fx ，它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量，而飞船的E 为零，所k以：MvW =1221 （n m S v即： F v t =t ）v212得到： F =22n

3、mSv两个结果不一致， 不可能都是正确的。 分析动能定理的解题， 我们不能发现，垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性的，需要消耗大量的机械能，因此，认为“引擎做功就等于垃圾动能增加”的观点是错误的。但在动量定理的解题中，由于I =F t ，由此推出的 F =P 必然是飞船对垃圾的平t均推力，再对飞船用平衡条件，F 的大小就是引擎推力大小了。这个解没有毛病可挑，是正确的。（学生活动）思考：如图 1 所示，全长 L、总质量为 M的柔软绳子，盘在一根光滑的直杆上， 现用手握住绳子的一端， 以恒定的水平速度 v 将绳子拉直。忽略地面阻力，试求手的拉力 F 。解：解题思路和上面完全相同。2答： MvL二、动量定

4、理的分方向应用物理情形：三个质点A、B 和 C ，质量分别为 m1 、m2 和 m3 ，用拉直且不可伸长的绳子AB和 BC相连，静止在水平面上，如图 2 所示，AB和 BC之间的夹角为（） 。现对质点C施加以冲量 I，方向沿 BC ，试求质点 A 开始运动的速度。模型分析：首先，注意“开始运动”的理解，它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产生，但是绳子的方位尚未发生变化。其二，对三个质点均可用动量定理， 但是，B 质点受冲量不在一条直线上， 故最为复杂，可采用分方向的形式表达。 其三，由于两段绳子不可伸长， 故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系。下面具体看解题过程绳拉直瞬间， AB 绳对 A、

5、B 两质点的冲量大小相等（方向相反） ，设为 I 1 ，BC绳对 B、C 两质点的冲量大小相等（方向相反） ，设为 I 2 ；设 A 获得速度 v1 （由于 A 受合冲量只有 I 1 , 方向沿 AB ，故 v 1 的反向沿 AB），设 B 获得速度 v（2 由于 B 受合冲量为 I1 + I2 ，矢量和既不沿AB ，也不沿 BC方向，可设 v2 与 AB绳夹角为，如图 3所示），设 C 获得速度v3（合冲量 I + I 2 沿 BC方向，故 v3 沿 BC方向）。对 A 用动量定理，有：mvI1=11B 的动量定理是 一个矢量 方程： I1 + I 2 =m2 v 2 ，可化为两个分方向的标

6、量式，即：I 2 cos I 1=m2v2cos I 2 sin = m2 v 2 sin 质点 C的动量定理方程为：I I 2= m 3 v 3= v cosAB绳不可伸长，必有 v12BC绳不可伸长，必有 v2cos( ) = v 3六个方程解六个未知量（ I 1、I 2、v1 、v2、v3 、）是可能的，但繁复程度非同一般。解方程要注意条理性，否则易造成混乱。建议采取如下步骤1、先用式消掉v2 、v3 ，使六个一级式变成四个二级式：I 1= m 1 v 1I 2cos I 1 = m 2 v 1I2sin = m v1tg 2I I2 = m 3 v 1(cos + sin tg )2、

7、解式消掉，使四个二级式变成三个三级式：I 1 = m 1v 1I 2cos I 1 = m 2 v 1I = m 3v 1 cos + I2m 2 m3 sin 2m23、最后对式消 I 1 、I 2 ，解 v1 就方便多了。结果为：v1 =Im2 cosm 2m 3 ) m 1m 3 sin 2m 2 (m1（学生活动：训练解方程的条理和耐心）思考：v2 的方位角等于多少？解：解“二级式”的即可。代入消I 1 ，得 I 2 的表达式，将 I 2 的表达式代入就行了。答： = arc tg（ m1m 2 tg ）。m 2三、动量守恒中的相对运动问题物理情形：在光滑的水平地面上，有一辆车，车内有

8、一个人和N个铅球，系统原来处于静止状态。 现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出，车子和人将获得反冲速度。第一过程，保持每次相对地面抛球速率均为v ，直到将球抛完；第二过程，保持每次相对车子抛球速率均为v，直到将球抛完。试问：哪一过程使车子获得的速度更大？模型分析：动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照物，这意味着，本问题不能选车子为参照。一般选地面为参照系，这样对“第二过程” 的铅球动量表达， 就形成了难点， 必须引进相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过程” ，比较简单： N 次抛球和将 N 个球一次性抛出是完全等效的。设车和人的质量为 M ，每个铅

9、球的质量为 m 。由于矢量的方向落在一条直线上，可以假定一个正方向后，将矢量运算化为代数运算。设车速方向为正，且第一过程获得的速度大小为 V1 第二过程获得的速度大小为 V2 。第一过程，由于铅球每次的动量都相同， 可将多次抛球看成一次抛出。 车子、人和 N 个球动量守恒。0 = Nm(-v) + MV1得： V1 =NmvM第二过程，必须逐次考查铅球与车子（人）的作用。第一个球与（N1）个球、人、车系统作用， 完毕后，设“系统” 速度为 u1 。值得注意的是，根据运动合成法则v 球地v 球车v 车地 ，铅球对地的速度并不是（ -v ），而是（ -v + u 1）。它们动量守恒方程为：0 =

10、m(-v + u1 ) +M +(N-1)mu1得： u1 =mvMNm第二个球与（ N -2 ）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为u2。它们动量守恒方程为：M+(N-1)mu1= m(-v + u2) + M+(N-2)m u22mv+mv得： u =NmM(N1)mM第三个球与（ N -2 ）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为u3。铅球对地的速度是（ -v + u 3）。它们动量守恒方程为：M+(N-2)mu= m(-v + u) + M+(N-3)m u2333mv+mv+mv得： u =M ( N 1) mM (N 2)mM Nm以此类推（过程注意：先找uN 和

11、 uN-1 关系，再看 uN和 v 的关系，不要急于化简通分）， uN的通式已经可以找出：2N=mv+mv+mv+ +mvV = uM (N 1)mM ( N 2)mM NmM mNm即： V2 =vMimi 1我们再将式改写成：NV1 =i1m vM不难发现，式和式都有 N 项，每项的分子都相同，但式中每项的分母都比式中的分母小，所以有： V1 V 2 。结论：第一过程使车子获得的速度较大。（学生活动）思考：质量为 M的车上，有 n 个质量均为 m的人，它们静止在光滑的水平地面上。现在车上的人以相对车大小恒为 v、方向水平向后的初速往车下跳。第一过程， N 个人同时跳下；第二过程， N 个人

12、依次跳下。试问：哪一次车子获得的速度较大？解： 第二 过 程 结论 和上 面的 模型 完 全 相 同， 第一 过程 结论 为V1 =nm。vi 1 Mnm答：第二过程获得速度大。四、反冲运动中的一个重要定式物理情形：如图4 所示，长度为 L、质量为 M 的船停止在静水中（但未抛锚），船头上有一个质量为m 的人，也是静止的。现在令人在船上开始向船尾走动，忽略水的阻力，试问：当人走到船尾时，船将会移动多远？（学生活动） 思考：人可不可能匀速 （或匀加速） 走动？当人中途停下休息，船有速度吗？人的全程位移大小是 L 吗？本系统选船为参照，动量守恒吗？模型分析：动量守恒展示了已知质量情况下的速度关系，

13、 要过渡到位移关系，需要引进运动学的相关规律。根据实际情况（人必须停在船尾） ，人的运动不可能是匀速的，也不可能是匀加速的 , 运动学的规律应选择 S = v t 。为寻求时间t ，则要抓人和船的位移约束关系。对人、船系统，针对“开始走动中间任意时刻”过程，应用动量守恒（设末态人的速率为 v ，船的速率为 V），令指向船头方向为正向，则矢量关系可以化为代数运算，有：0 = MV + m(-v)即： mv = MV由于过程的末态是任意选取的，此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系。而且不难推知， 对中间的任一过程， 两者的平均速度也有这种关系。即：mv=MV设全程的时间为t，乘入式两边，得

14、： mv t = M V t设 s 和 S 分别为人和船的全程位移大小，根据平均速度公式，得：m s = M S受 船 长 L的 约 束 ， s和 S具 有 关 系 ： s + S = L解、可得：船的移动距离 S =mLM m（应用动量守恒解题时，也可以全部都用矢量关系，但这时“位移关系”表达起来难度大一些必须用到运动合成与分解的定式。时间允许的话， 可以做一个对比介绍。）另解：质心运动定律人、船系统水平方向没有外力，故系统质心无加速度系统质心无位移。先求出初态系统质心（用它到船的质心的水平距离x 表达。根据力矩平衡知识， 得：x =mL），又根据，末态的质量分布与初态比较，相对整2(mM

15、)体质心是左右对称的。弄清了这一点后，求解船的质心位移易如反掌。（学生活动）思考：如图5 所示，在无风的天空，人抓住气球下面的绳索，和气球恰能静止平衡，人和气球地质量分别为m和 M ，此时人离地面高 h 。现在人欲沿悬索下降到地面，试问：要人充分安全地着地，绳索至少要多长？解：和模型几乎完全相同，此处的绳长对应模型中的“船的长度”（“充分安全着地”的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地） 。答： mM h 。M（学生活动）思考：如图6 所示，两个倾角相同的斜面，互相倒扣着放在光滑的水平地面上，小斜面在大斜面的顶端。将它们无初速释放后，小斜面下滑，大斜面后退。已知大、小斜面的质量分别为M和 m ，底边

16、长分别为a和 b ，试求：小斜面滑到底端时，大斜面后退的距离。解：水平方向动量守恒。解题过程从略。m答：（ a b）。Mm进阶应用：如图7 所示，一个质量为M ，半径为 R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上，在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球面下滑。试求：质点离开球面以前的轨迹。解说：质点下滑，半球后退，这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似，仔细分析，由于同样满足水平方向动量守恒，故我们介绍的“定式”是适用的。定式解决了水平位移（位置）的问题，竖直坐标则需要从数学的角度想一些办法。为寻求轨迹方程，我们需要建立一个坐标：以半球球心 O为原点，沿质点滑下一侧的水平轴为 x 坐标、竖直轴

17、为y 坐标。由于质点相对半球总是做圆周运动的（离开球面前），有必要引入相对运动中半球球心 O的方位角来表达质点的瞬时位置，如图 8 所示。由“定式”，易得：x =MRsin Mm而由图知： y = Rcos 不难看出，、两式实际上已经是一个轨迹的参数方程。为了明确轨迹的性质，我们可以将参数消掉，使它们成为：x2+y 2M2 = 1R )2R(MmM这样，特征就明显了：质点的轨迹是一个长、短半轴分别为R和R 的Mm椭圆。五、功的定义式中S 怎么取值？在求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的（质心）位移不等，S 是取力的作用点的位移， 还是取物体（质心）的位移呢？我们先看下面一些事例。

18、1、如图 9 所示，人用双手压在台面上推讲台，结果双手前进了一段位移而讲台未移动。 试问：人是否做了功？2、在本“部分”第 3 页图 1 的模型中，求拉力做功时， S 是否可以取绳子质心的位移？3、人登静止的楼梯，从一楼到二楼。楼梯是否做功？4、如图 10 所示，双手用等大反向的力F 压固定汽缸两边的活塞， 活塞移动相同距离 S，汽缸中封闭气体被压缩。 施力者（人）是否做功？在以上四个事例中， S 若取作用点位移，只有第 1、2、4 例是做功的（注意第 3 例，楼梯支持力的作用点并未移动，而只是在不停地交换作用点） ，S 若取物体（受力者）质心位移，只有第 2、3 例是做功的，而且，尽管第 2

19、 例都做了功，数字并不相同。所以，用不同的判据得出的结论出现了本质的分歧。面对这些似是而非的 “疑难杂症”，我们先回到“做功是物体能量转化的量度”这一根本点。第 1 例，手和讲台面摩擦生了热， 内能的生成必然是由人的生物能转化而来，人肯定做了功。 S宜取作用点的位移；第 2 例，求拉力的功，在前面已经阐述， S 取作用点位移为佳；第 3 例，楼梯不需要输出任何能量，不做功， S 取作用点位移；第 4 例，气体内能的增加必然是由人输出的，压力做功， S 取作用点位移。但是，如果分别以上四例中的受力者用动能定理， 第 1 例，人对讲台不做功，S 取物体质心位移；第2 例，动能增量对应S 取 L/2

20、 时的值物体质心位移；第 4 例，气体宏观动能无增量， S 取质心位移。（第 3 例的分析暂时延后。）以上分析在援引理论知识方面都没有错，如何使它们统一？原来，功的概念有广义和狭义之分。 在力学中，功的狭义概念仅指机械能转换的量度； 而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度。 所以功也可定义为能量转换的量度。 一个系统总能量的变化， 常以系统对外做功的多少来量度。 能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式，也可以多种形式的能量同时发生转化。由此可见，上面分析中，第一个理论对应的广义的功，第二个理论对应的则是狭义的功， 它们都没有错误， 只是在现阶段的教材中还没有将它们及时

21、地区分开来而已。而且，我们不难归纳：求广义的功， S 取作用点的位移；求狭义的功， S 取物体（质心）位移。那么我们在解题中如何处理呢？这里给大家几点建议： 1 、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功； 2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功； 3、动能定理中的功肯定是指狭义的功。当然，求解功地问题时，还要注意具体问题具体分析。如上面的第 3 例，就相对复杂一些。如果认为所求为狭义的功， S 取质心位移，是做了功，但结论仍然是难以令人接受的。下面我们来这样一个处理：将复杂的形变物体（人）看成这样一个相对理想的组合： 刚性物体下面连接一压缩的弹簧 （如图 11 所示），人每一次蹬梯，腿伸直将

22、躯体重心上举， 等效为弹簧将刚性物体举起。这样，我们就不难发现，做功的是人的双腿而非地面，人既是输出能量（生物能）的机构，也是得到能量（机械能）的机构这里的物理情形更象是一种生物情形。 本题所求的功应理解为广义功为宜。以上四例有一些共同的特点： 要么，受力物体情形比较复杂 （形变，不能简单地看成一个质点。如第 2、第 3、第 4 例），要么，施力者和受力者之间的能量转化不是封闭的 （涉及到第三方， 或机械能以外的形式。如第 1 例）。以后，当遇到这样的问题时，需要我们慎重对待。（学生活动）思考：足够长的水平传送带维持匀速 v 运转。将一袋货物无初速地放上去，在货物达到速度v 之前，与传送带的摩

23、擦力大小为f，对地的位移为 S 。试问：求摩擦力的功时，是否可以用W = fS ？解：按一般的理解，这里应指广义的功（对应传送带引擎输出的能量），所以“位移” 取作用点的位移。 注意，在此处有一个隐含的 “交换作用点” 的问题，仔细分析，不难发现，每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为2S 。（另解：求货物动能的增加和与皮带摩擦生热的总和。）答：否。（学生活动）思考：如图 12 所示，人站在船上，通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸。试问：缆绳是否对船和人的系统做功？解：分析同上面的“第3 例”。答：否。六、机械能守恒与运动合成（分解）的综合物理情形：如图 13 所示，直角形的刚性杆被固定，水平

24、和竖直部分均足够长。质量分别为 m1 和 m2 的 A、B 两个有孔小球，串在杆上，且被长为 L 的轻绳相连。忽略两球的大小， 初态时，认为它们的位置在同一高度， 且绳处于拉直状态。现无初速地将系统释放，忽略一切摩擦，试求 B 球运动 L/2 时的速度 v2 。模型分析： A、B 系统机械能守恒。 A、 B 两球的瞬时速度不等，其关系可据“第三部分” 知识介绍的定式 （滑轮小船） 去寻求。（学生活动） A 球的机械能是否守恒？B球的机械能是否守恒？系统机械能守恒的理由是什么（两法分析： a、“微元法”判断两个WT的代数和为零； b、无非弹性碰撞，无摩擦，没有其它形式能的生成）？由“拓展条件”可

25、以判断， A、B 系统机械能守恒，（设末态 A 球的瞬时速率为v1 ）过程的方程为：m2g L = 1 m1v12 + 1 m 2 v2222230，设绳子的瞬时迁移速率为 v ，根在末态，绳与水平杆的瞬时夹角为据“第三部分”知识介绍的定式，有：v1 = v/cos30, v 2 = v/sin30 两式合并成： v1 = v 2 tg30 = v 2/33m2gL解、两式，得： v2 =m2m 1七、动量和能量的综合（一）物理情形：如图 14 所示，两根长度均为L 的刚性轻杆，一端通过质量为 m的球形铰链连接，另一端分别与质量为m和 2m的小球相连。将此装置的两杆合拢，铰链在上、竖直地放在水

26、平桌面上，然后轻敲一下，使两小球向两边滑动，但两杆始终保持在竖直平面内。忽略一切摩擦，试求：两杆夹角为90时，质量为 2m的小球的速度v2 。模型分析：三球系统机械能守恒、水平方向动量守恒，并注意约束关系两杆不可伸长。（学生活动）初步判断：左边小球和球形铰链的速度方向会怎样？设末态（杆夹角 90）左边小球的速度为 v（1 方向：水平向左），球形铰链的速度为 v（方向：和竖直方向夹角斜向左），对题设过程，三球系统机械能守恒，有：mg( L-2L) =1m21212m2+mv +22v122v 2三球系统水平方向动量守恒，有：mv+mvsin=2mv1左边杆子不形变，有：v1 cos45 =vco

27、s(45 - )右边杆子不形变，有：vcos(45 + )=v2cos45 四个方程，解四个未知量 （v1 、v2 、v 和），是可行的。推荐解方程的步骤如下1、两式用v2 替代 v1 和 v ，代入式，解值，得：tg = 1/42、在回到、两式，得：v1 = 5 v2 , v =17 v2333、将 v1 、v 的替代式代入式解v2 即可。结果： v2 =3gL (2 2)20（学生活动）思考：球形铰链触地前一瞬，左球、铰链和右球的速度分别是多少？解：由两杆不可形变，知三球的水平速度均为零，为零。一个能量方程足以解题。答： 0 、2gL、0 。（学生活动）思考：当两杆夹角为90时，右边小球的

28、位移是多少？解：水平方向用“反冲位移定式” ，或水平方向用质心运动定律。答： 32 L 。8进阶应用：在本讲模型“四、反冲”的“进阶应用” （见图 8）中，当质点 m 滑到方位角时（未脱离半球） ，质点的速度 v的大小、方向怎样？解说：此例综合应用运动合成、动量守恒、机械能守恒知识，数学运算比较繁复， 是一道考查学生各种能力和素质的难题。据运动的合成，有：v 点 半球 =v 点 地 +v 地 半球 =v点 地 -v半球 地其中 v 半球地 必然是沿地面向左的，为了书写方便，我们设其大小为v2 ； v 点 半球 必然是沿半球瞬时位置切线方向（垂直瞬时半径）的，设大小为v 相 。根据矢量减法的三角

29、形法则，可以得到v 点 地 （设大小为 v1）的示意图，如图 16 所示。同时，我们将 v1 的 x、y 分量 v1x 和 v1y 也描绘在图中。由图可得： v1y= （v+ v） tg 21x质点和半球系统水平方向动量守恒，有：Mv2 = mv 1x对题设过程，质点和半球系统机械能守恒，有：mgR(1-cos ) =1 M 2+v 21 mv12 ，即：221 M 21 m（mgR(1-cos ) =22 ）2v 2+v1x +v1y2三个方程，解三个未知量（ v2 、v1x 、 v1y）是可行的，但数学运算繁复，推荐步骤如下1、由、式得： v1x =M v2 ，v1y = (m M tg

30、) v 2mm2、代入式解 v2 ，得： v2 =2m 2 gR (1cos )2Mm(Mm )2 tg 2M3 、 由v12=v12x+v= 2gR(1 cos)( M 22Mm sin 2m 2 sin 2)M 2Mmm (M m) sin 221y解v1，得：v1v1y= arctg（Mm）v1 的方向：和水平方向成角， = arctgMtgv1x这就是最后的解。 一 个 附 属 结 果 ： 质 点 相 对 半 球 的 瞬 时 角 速 度 =v 相=R2g(mM )(1 cos ) 。R(Mm sin 2 )八、动量和能量的综合（二）物理情形：如图 17 所示，在光滑的水平面上，质量为M

31、 = 1 kg 的平板车左端放有质量为 m = 2 kg 的铁块，铁块与车之间的摩擦因素 = 0.5。开始时，车和铁块以共同速度 v = 6 m/s 向右运动，车与右边的墙壁发生正碰，且碰撞是弹性的。车身足够长，使铁块不能和墙相碰。重力加速度g = 10 m/s 2，试求：1、铁块相对车运动的总路程； 2、平板车第一次碰墙后所走的总路程。模型分析：本模型介绍 有两对相互作用时的处理常规。能量关 系介绍摩擦生热定式的应用。由于过程比较复杂，动量分析 还要辅助以动力学分析，综合程度较高。由于车与墙壁的作用时短促而激烈的，而铁块和车的作用是舒缓而柔和的，当两对作用同时发生时， 通常处理成 “让短时作用完毕后， 长时作用才开始”（这样可以使问题简化）。在此处，车与墙壁碰撞时，可以认为铁块与车的作用尚未发生，而是在车与墙作用完了之后，才开始与铁块