Selected圆与方程知识点总结典型例题

1、Useful Documents 圆与方程 1. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心， r为半径的圆的标准方程是 (x a)2 (y b)2 r2 . 特例：圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的方程是： x2 y2 r 2. 2. 点与圆的位置关系： (1) .设点到圆心的距离为 d ，圆半径为 r： a.点在圆内dr (2).给定点 M(x0,y0)及圆 C:(x a)2 (y b)2 r2. M 在圆 C 内 (x0 a)2 (y0 b)2 r 2 M 在圆C上 (x0 a)2 (y0 b)2 r 2 M在圆 C外 (x0 a)2 (y0 b)2 r2 圆外一点 B ，圆上一动点 P ，

2、3)涉及最值： 讨论 PB 的最值 PB min BN BC r min PB max BM BC r max 讨论 PA 的最值 思考：过此 A点作最短的弦？(此弦垂直 AC ) 3.圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0. (1)当D2 E2 4F 0时，方程表示一个圆，其中圆心C D2, E2 ，半径 Useful Documents Useful Documents D Useful Documents E2 4F r. 2 (2)当D2 E2 4F 0时，方程表示一个点D , E . 22 (3)当 D2 E2 4F 0时，方程不表示任何图形 . 注：方程 Ax2 Bxy C

3、y2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是： B 0且 A C 0且 D2 E2 4AF 0. 4. 直线与圆的位置关系： 直线 Ax By C 0与圆 (x a)2 (y b)2 r 2 圆心到直线的距离 d Aa Bb C A2 B2 1) d r 直线与圆相离 无交点 ； Ax By C 0 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组A2x B2y C 0 求解， x2 y2 Dx Ey F 0 通过解的个数来判断： (1 )当 0时，直线与圆有 2 个交点，直线与圆相交； (2 )当 0时，直线与圆只有 1 个交点，直线与圆相切； (3 )当 0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 5.

4、两圆的位置关系 (1)设两圆 C1:(x a1)2 (y b1)2 r12与圆C2 :(x a2)2 (y b2)2 r22， 圆心距 d(a1 a2) (b1 b2) dr1r2外离4条公切线 ； dr1r2外切3条公切线 ； r1r2dr1 r2相交 2条公切线 ； dr1r2内切1条公切线 ； Useful Documents 外离外切相交内切 （2）两圆公共弦所在直线方程 22 圆 C1： x2 y2 D1x E1y F1 0 ， 22 圆 C2： x y D2x E2y F2 0 ， 则 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 为两相交圆公共弦方程 . 补充说明： 若 C1

5、与C2 相切，则表示其中一条公切线方程； 若 C1 与 C2 相离，则表示连心线的中垂线方程 . （ 3）圆系问题 2 2 2 2 过两圆 C1 ：x2y2D1xE1yF10 和 C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆 系方程为 x2y2D1xE1yF1x2y2 D2xE2yF20 （1） 补充： 上述圆系不包括 C2 ； 2）当1 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） 过直线 Ax By C 0 与圆 x2 y2 Dx Ey F 0 交点的圆系方程为 x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0 6. 过一点作圆的切线的方程： （1） 过圆外一点的切线 ： A 不存在，验证是否成立 A

6、 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 = 半径，即 y1 y0 k（x1 x0） b y1 k（a x1） R2 求解 A，得R到1切线方程【一定两解】 Useful Documents d= (x0 a) + (y0 b) r 9. 圆心的三个重要几何性质： 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 例.已知圆 C1：G2+y22G=0 和圆 C2：G2+y2+4 y=0 ，试判断圆和位置关系， 若相交，则设其交点为 A 、B，试求出它们的公共弦 AB 的方程及公共

7、弦长。 一、求圆的方程 例 1(06 重庆卷文 )以点 (2, 1) 为圆心且与直线 3x 4y 5 0 相切的圆的方 程为() 2 2 2 2 (A) (x 2)2(y 1)23(B)(x2)2(y 1)23 Useful Documents Useful Documents 例 1.经过点 P(1，2)点作圆(G+1)2+(y 2)2=4 的切线，则切线方程 为。 (2)过圆上一点的切线 方程：圆(Ga)2+(yb)2=r2，圆上一点为 (G0，y0)， 则过此点的切线方程为 (G0a)(Ga)+(y0b)(yb)=r 2 特别地，过圆 x2 y2 r 2上一点 P( x 0 ,y 0 )

8、的切线方程为 x0 x y0y r 2. 例 2.经过点 P( 4， 8)点作圆 (G+7)2+(y+8)2=9 的切线，则切线方程 为。 7切点弦 (1)过 C： (x a)2 (y b)2 r2外一点 P(x0,y0) 作C的两条切线，切点分别为 A、B ，则切点弦 AB所在直线方程为： (x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r 2 8. 切线长： 若圆的方程为 (G a)2(y b)2=r2，则 过圆外一点 P(G0,y0)的切线长为 Useful Documents (C)(x 2)2 (y 1)2 9(D) (x 2)2 (y 1)2 9 、位置关系问题 例 2(06 安徽

9、卷文 )直线 x y 1与圆 x2 y2 2ay 0 (a 0) 没有公共点， 则a的取值范围是 () (A) (0, 2 1) (B) ( 2 1, 2 1) (C)( 2 1, 2 1)(D) (0, 2 1) 三、切线问题 例 3(06 重庆卷理 ) 过坐标原点且与圆 5 x2 y2 4x 2y 25 0 相切的直线方 程为() (A) y 3x 或 y (C) y 3x 或 y 13 x (B) y 3x 或 y 13 x (D) y 3x 或 y x 3 四、弦长问题 例 4(06 天津卷理 )设直线 ax y 3 0 与圆 (x 1)2 (y 2)2 4 相交于 A、B两点，且弦

10、AB的长为 2 3，则 a . 五、夹角问题 例 5(06 全国卷一文 )从圆 x2 2x y2 2y 1 0外一点 P(3,2) 向这个圆作 两条切线，则两切线夹角的余弦值为 () 1 3 3 (A) 1 (B) 3(C) 3(D)0 2 5 2 六、圆心角问题 例 6(06 全国卷二)过点(1, 2)的直线 l将圆(x 2)2 y2 4分成两段弧，当 劣弧所对的圆心角最小时，直线 l 的斜率 k 七、最值问题 例 7(06 湖南卷文 )圆 x2 y2 4x 4y 10 0 上的点到直线 x y 14 0的 最大距离与最小距离的差是 () Useful Documents （A）30（B）1

11、8（C） 6 2（D） 5 2 八、综合问题 例 8（06 湖南卷理 ）若圆 x2 y2 4x 4y 10 0上至少有三个不同的点到 直线l :ax by 0的距离为 2 2，则直线 l的斜率 A 取值范围 圆的方程 1. 方程 G2+y22（t+3 ）G+2（14t2）y+16t4+9=0 （tR）表示圆方程， 则t 的取值范围是 111 A.1 t B.1 t C. t1 D.1 t0）表示的曲线关于 G+y=0 成轴对称图形，则（） A.D+ E=0B.B. D+ F=0C. E+ F=0D. D+E+F=0 4. （20XX 年全国， 8）在坐标平面内，与点 A（1 ，2）距离为 1，

12、且与 点 B（3，1 ）距离为 2 的直线共有（） A.1条B.2条C.3条 D.4条 5. （20XX 年黄冈市调研题）圆 G2+ y2+ G6y+3=0 上两点 P、Q 关于直 线 AG y+4=0 对称，则 A=. 6. （20XX年全国卷， 16）设P为圆G2+ y2=1 上的动点，则点 P到直线 3G4y 10=0 的距离的最小值为 . 7. 已知实数 G、y 满足方程 G2+ y24G+1=0. 求（1） y的最大值和最小值； x （ 2） y G 的最小值； （3）G2+y2的最大值和最小值 . 经过两已知圆的交点的圆系 Useful Documents Useful Docum

13、ents 例1 求经过两已知圆： x2 y2 4x 6 0和 x2 y2 4y 6 0的交点且圆心的 横坐标为 3 的圆的方程。 例 2 设圆方程为： ( 4)x2 ( 4)y2 (2 4)x (12 40)y 48 164 0 其中4 求证：不论 为何值，所给圆必经过两个定点。 直线与圆的位置关系 例1：求由下列条件所决定圆 x2 y2 4 的圆的切线方程； (1)经过点P( 3,1) ， (2)经过点 Q(3,0) ，(3)斜率为 1 直线和圆 1自点( 3， 3 )发出的光线 L 射到 G 轴上，被 G 轴反射，其反射线所在直 线与圆 x2 y2 4x 4y 7 0相切，求光线 L 所在直线方程 2. 求 圆 心 在