高中数学二次函数分类讨论经典例题

1、例 1（ 1）关于 x 的方程 x22(m3)x2m140 有两个实根，且一个大于 1，一个小于 1，求 m 的取值范围；（ 2） 关于 x 的方程 x2 2(m3)x2m140 有两实根都在0,4) 内，求m 的取值范围；关于 x 的方程x22(m3)x2140 有两实根在的取值范围m1,3 外，求 m（ 4）关于 x 的方程 mx22(m3) x2m140 有两实根，且一个大于 4，一个小于 4，求 m 的取值范围 .解（1）令 f (x)x22(m3)x2m14 ，对应抛物线开口向上，方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1 等价于 f (1)0 （思考：需要0 吗？），即 m21.4（

2、2）令 f (x)x22(m3)x2m14 ，原命题等价于f (0)02m140f (4)0168(m3)2m140272(m3)m5.047m352m5,m14(m3)24(2m 14)0（3）令 f (x)x22(m3)x 2m14 ，原命题等价于f (1)0即12(m3)2m14021.f (3)096( m3)2m 14得 m04（4）令 g(x)mx22(m3)x2m14 ，依题得m0或m0, 得19m0.g(4)g(4)0013（1）已知函数()22，若有解，求实数的取值例 2f xaxaf ( x) 0a范围；（2）已知 f ( x)x 24x ，当 x1,1时，若 f ( x)

3、a 恒成立，求实数 a 的取值范围。解：（1） f ( x)0 有解，即 ax2a20 有解a( x21)2 有解a2有x 21解 a|2|max2.所以 a(,2).21x（2）当 x 1,1 时， f ( x)a 恒成立 f (x)mina.又当 x 1,1时， f (x) minf ( 1)5 ，所以 a(, 5).【评注】“有解” 与“恒成立” 是很容易搞混的两个概念。 一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）f ( x)a 恒成立f x) mina ；（ ）(2 f ( x) a恒成立 f ( x) maxa ;（3） f (x)a 有解 f ( x) maxa ；（

4、 4） f ( x)a 有解 f ( x) min a.1) x 3在区间 3 ,2例 3 已知函数 f (x) ax 2 ( 2a上的最大值为，求实数 a21的值。分析：这是一个逆向最值问题， 若从求最值入手， 首先应搞清二次项系数a是否为零，如果a0, f ( x) 的最大值与二次函数系数a 的正负有关，也与对称轴x012a 的位置有关，但 f(x)的最大值只可能在端点或顶点处取得，解答时必2a须用讨论法。解、 a0 时， f ( x)x3，3,2 上不能取得 1，故 a0 .f (x) 在 2f ( x)ax2(2a1) x3(a0) 的对称轴方程为 x01 2a .2a（1）令 f (3)1，解得 a10 ，23此时 x023 3 ,2 ，202因为 a3) 1不合适。0 ， f ( x0 ) 最大，所以 f (2（2）令 f (2)1 ，解得 a3 ，4此时 x013 ,2 ，32因为 a30, x013 ,2 ，且距右端点 2 较远，所以 f (2) 最大，合适。432（3）令 f (