2019届高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和课件 文 新人教A版

1、6 6. .2 2等差数列及其前等差数列及其前n n项和项和 -2- 知识梳理双基自测2341自测点评 1.等差数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前 一项的等于,那么这个数列就叫做等 差数列,这个常数叫做等差数列的,公差通常用字母d表 示.数学语言表示为(nN*),d为常数. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是 ,其中A叫做a,b的. (3)等差数列的通项公式:an=,可推广为an= . 第2项 差 同一个常数 公差 an+1-an=d 等差中项 a1+(n-1)d am+(n-m)d -3- 知识梳理双基自测自测点评2341 2.等差数列及其前n项和的

2、性质 (1)若m+n=p+q,则(m,n,p,qN*);m+n=2p,则 am+an=2ap(m,n,pN*). (2)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差 为的等差数列. (3)若an,bn是等差数列,p,qR,则pan+qbn也是等差数列. (4)设Sn是等差数列an的前n项和,则数列 也是数列. (5)若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an. (6)若n为偶数,则 ;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项). am+an=ap+aq md 等差 -4- 知识梳理双基自测自测点评2341 3.等差数列的通项公式及前n项和公式

3、与函数的关系 (1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d0时,an是关于n的 一次函数;当d0时,数列为递增数列;当d0,d0,则Sn存在最值;若a10, 则Sn存在最值. 大 小 2 -6- 知识梳理双基自测3415自测点评 1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则 这个数列是等差数列. () (2)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列 an一定是等差数列. () (3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. () (4)数列an为等差数列的充要条件是对任

4、意nN*,都有 2an+1=an+an+2. () (5)等差数列an的单调性是由公差d决定的. () (6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. () 答案 答案 关闭 (1)(2)(3)(4)(5)(6) -7- 知识梳理双基自测自测点评23415 2.(2017浙江,6)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0” 是“S4+S62S5”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -8- 知识梳理双基自测自测点评23415 3.(2017辽宁抚顺重点校一模)在等差数列an 中,a3+a6=

5、11,a5+a8=39,则公差d为() A.-14 B.-7C.7D.14 答案解析解析 关闭 a3+a6=11,a5+a8=39,4d=28,解得d=7.故选C. 答案解析 关闭 C -9- 知识梳理双基自测自测点评23415 4.已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= . 答案 答案 关闭 6 -10- 知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 5.(教材例题改编P16例7)在100以内(包括100)的正整数中有 个能被6整除的数. -11- 知识梳理双基自测自测点评 1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中

6、的 三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”. 2.等差数列与函数的区别:当公差d0时,等差数列的通项公式是n 的一次函数;当公差d=0时,an为常数. 3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数 项为0. 4.等差数列的前n项和公式有两种表达形式,要根据题目给出的 条件判断使用哪一种表达形式. -12- 考点1考点2考点3考点4 例1(1)在等差数列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65,则公差d的值 是() A.4B.3C.1D.2 (2)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等 于() A.3B.4

7、C.5D.6 思考求等差数列基本量的一般方法是什么? 答案 答案 关闭 (1)B(2)C -13- 考点1考点2考点3考点4 解析: (1)在等差数列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65, 公差d的值是3.故选B. (2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 数列an为等差数列, d=am+1-am=1, m0,a1=-2, 又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5. -14- 考点1考点2考点3考点4 -15- 考点1考点2考点3考点4 -16- 考点1考点2考点3考点4 解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d, 然后由

8、通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. 2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn, 已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想. 3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数 为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数为a-3d,a- d,a+d,a+3d. -17- 考点1考点2考点3考点4 对点训练对点训练1(1)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=( ) A.100 B.99C.98 D.97 (2)设Sn为等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16= . 答案 答案

9、关闭 (1)C(2)-72 -18- 考点1考点2考点3考点4 -19- 考点1考点2考点3考点4 -20- 考点1考点2考点3考点4 例2数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列; (2)求an的通项公式. 思考判断一个数列为等差数列的基本方法有哪些? -21- 考点1考点2考点3考点4 (1)证明 由an+2=2an+1-an+2得 an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1, 所以bn是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1,

10、 即an+1-an=2n-1. 所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1. 又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2. -22- 考点1考点2考点3考点4 解题心得1.等差数列的四种判断方法 (1)定义法:an+1-an=d(d是常数)an是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列. (4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列. 2.若证明一个数列不是等差数列,则只要证明存在连续三项不成 等差数列即可. -23- 考点1考点2考点3考点4 对点训

11、练对点训练2设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列bn满足 b1=2,bn+1-2bn=8an. (1)求数列an的通项公式; -24- 考点1考点2考点3考点4 -25- 考点1考点2考点3考点4 考向一等差数列项的性质的应用 例3(1)(2017福建龙岩一模)在等差数列an中,a3,a7是函数 f(x)=x2-4x+3的两个零点,则an的前9项和等于() A.-18 B.9C.18 D.36 (2)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ =-3,S5=10,则a9 的值是. 思考利用等差数列项的性质解决问题时常用到什么思想方法? 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -2

12、6- 考点1考点2考点3考点4 考向二等差数列前n项和的性质的应用 例4在等差数列an中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前 3m项的和为. 思考本例题应用什么性质求解比较简便? 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -27- 考点1考点2考点3考点4 解题心得1.利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整 体求值思想,应用时常将an+am=2ap(m+n=2p,m,n,pN*)与 am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,qN*)相结合,可减少运算量. 2.在等差数列an中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较 简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列an中,数列 -2

13、8- 考点1考点2考点3考点4 对点训练对点训练3(1)已知等差数列an的前17项和S17=51,则a5-a7+a9- a11+a13等于() A.3B.6C.17 D.51 (2)已知等差数列an,bn的前n项和分 (3)已知在等差数列an中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9=. 答案 答案 关闭 (1)A(2)D(3)45 -29- 考点1考点2考点3考点4 -30- 考点1考点2考点3考点4 (3)an为等差数列, S3,S6-S3,S9-S6成等差数列. 2(S6-S3)=S3+(S9-S6). a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36

14、-9)-9=45. -31- 考点1考点2考点3考点4 例5在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n 取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值. 思考求等差数列前n项和的最值有哪些方法? -32- 考点1考点2考点3考点4 -33- 考点1考点2考点3考点4 nN*,当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为 S12=S13=130. 又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0. 5a13=0,即a13=0. 当n=12或n=13时,Sn有最大值, 且最大值为S12=S13=130. -34- 考点1考点2考点3考点4 解题心得求等

15、差数列前n项和Sn最值的两种方法: (1)函数法:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看做二 次函数,根据二次函数的性质求最值. (2)邻项变号法:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,当 利用性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值. -35- 考点1考点2考点3考点4 对点训练对点训练4(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=- 2,则当Sn取最大值时,n的值是() A.5B.6C.7D.8 (2)设数列an是公差d0,a7=-10;又数列an是等差数列,因此 在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最 大值时

16、,n=6,选B. (2)由题意得S6=6a1+15d=5a1+10d, a6=0,故当n=5或n=6时,Sn最大,选C. 答案解析 关闭 (1)B(2)C -36- 考点1考点2考点3考点4 1.等差数列的判断方法 (1)定义法; (2)等差中项法; (3)利用通项公式判断; (4)利用前n项和公式判断. 2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数 项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数 列不是等差数列,它从第2项起成等差数列. 3.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时,可以先考虑 把已知条件都化归为a1和d等基本量的关系,再通过建立方程(组)求 解. -37- 考点1考点2考点3考点4 注意利用“an-an-1=d”时加上条件“n2”;否则,当n=1时,a0无定义. -38- 思想方法整体思想在等差数列中的应用 整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的 整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题 方法.从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为 易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表 现形式有:整