2019届高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系课件 文

1、第八节直线与圆锥曲线的位置关系 总纲目录 教材研读 1.直线与圆锥曲线位置关系的判断 考点突破 2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题 3.弦AB的中点与直线AB斜率的关系 考点二弦长问题 考点一直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用 考点三中点弦问题 1.直线与圆锥曲线位置关系的判断直线与圆锥曲线位置关系的判断 判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0 (A,B不同时为0)与圆锥曲线r的方程F(x,y)=0联立,消去y(也可以消去x) 得到一个关于变量x(或变量y)的方程,即联立消去y(或x) 后得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). (1)当a0时,若0,

2、则直线l与曲线r相交;若=0,则直线l 与曲线r相切;若b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是+=1. (2)过椭圆+=1(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所在直 线方程是+=1. (3)椭圆+=1(ab0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=C2. 2 2 x a 2 2 y b 0 2 x x a 0 2 y y b 2 2 x a 2 2 y b 0 2 x x a 0 2 y y b 2 2 x a 2 2 y b 圆锥曲线的切线方程圆锥曲线的切线方程 2.双曲线的切线方程 (1)双曲线-=1(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是-

3、=1. (2)过双曲线-=1(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所 在直线方程是-=1. (3)双曲线-=1(a0,b0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2-B2b2= C2. 2 2 x a 2 2 y b 0 2 x x a 0 2 y y b 2 2 x a 2 2 y b 0 2 x x a 0 2 y y b 2 2 x a 2 2 y b 3.抛物线的切线方程 (1)抛物线y2=2px(p0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0). (2)抛物线y2=2px(p0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所在直线方 程是y0y=p

4、(x+x0). (3)抛物线y2=2px(p0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC. 2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题直线与圆锥曲线相交的弦长问题 直线l:f(x,y)=0,圆锥曲线r:F(x,y)=0,l与r有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2, y2),则A、B两点的坐标是方程组的两组解,方程组消元后化为 关于x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0),判别式=b2-4ac, 应有0,所以x1,x2(或y1,y2)是方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的两个根. 由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=,以此结合 弦长公式

5、可整体代入求值.A、B两点间的距离|AB|=|x1-x2|= (其中k为直线l的斜率),也可以写成关于y的形式, 即|AB|=|y1-y2|=(k0).特殊地,如果 ( , )0, ( , )0 f x y F x y b a c a 1212 , bc yyy y aa 或 2 1k 2 1k 2 1212 ()4xxx x 2 1 1 k 2 1 1 k 2 1212 ()4yyy y 直线l过抛物线的焦点,抛物线方程以y2=2px(p0)为例,那么|AB|=x1+x2+p. 3.弦弦AB的中点与直线的中点与直线AB斜率的关系斜率的关系 (1)已知AB是椭圆+=1(ab0)的一条弦,其中点

6、M的坐标为(x0,y0).运 用点差法求直线AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),A,B都在椭圆上, 两式相减得+=0, +=0, =-=-,故kAB=-. (2)已知AB是双曲线-=1(a0,b0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1 2 2 x a 2 2 y b 22 11 22 22 22 22 1, 1, xy ab xy ab 22 12 2 xx a 22 12 2 yy b 1212 2 ()()xxxx a 1212 2 ()()yyyy b 12 12 yy xx 2 12 2 12 () () bxx ayy 2 0 2 0 b x

7、 a y 2 0 2 0 b x a y 2 2 x a 2 2 y b x 2,弦中点M(x0,y0),则与(1)同理可知kAB=. (3)已知AB是抛物线y2=2px(p0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中 点M(x0,y0). 则两式相减得-=2p(x1-x2), (y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2), =,即kAB=. 2 0 2 0 b x a y 2 11 2 22 2, 2, ypx ypx 2 1 y 2 2 y 12 12 yy xx 12 2p yy 0 p y 0 p y 1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为() A.

8、相交B.相切C.相离D.不确定 2 9 x 2 4 y A 答案答案A由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),(1,1)在椭圆内,故直 线与椭圆必相交. 2.直线y=x+3与双曲线-=1的交点个数是() A.1B.2C.1或2D.0 b a 2 2 x a 2 2 y b A 答案答案A因为直线y=x+3与双曲线的渐近线y=x平行,所以它与双 曲线只有1个交点. b a b a 3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有 () A.1条B.2条C.3条D.4条 C 答案答案C当过点(0,1)的直线的斜率不存在时,方程为x=0,与抛物线y2

9、=4x仅有一个公共点,符合题意. 当过点(0,1)的直线的斜率存在时,设为k,此时直线为y=kx+1,由 得k2x2+(2k-4)x+1=0,(*) 2 1, 4 ykx yx 当k=0时,方程(*)只有一解,即直线与抛物线只有一个公共点,符合题意, 当k0时,由=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,即直线y=x+1与抛物线相切,综上, 符合条件的直线有3条. 4.过点的直线l与抛物线y=-x2交于A、B两点,O为坐标原点,则 的值为() A.-B.-C.-4D.无法确定 1 0, 2 OA OB 1 2 1 4 B 答案答案B由题意知直线l的斜率存在.设A(x1,y1)、B(x2,y2)

10、,直线l的方程 为y=kx-,代入抛物线方程得2x2+2kx-1=0,由此得 =x1x2+y1y2=x1x2+=(k2+1)x1x2-k(x1+x2)+=-(k2 +1)-k(-k)+=-.故选B. 1 2 12 12 , 1 , 2 xxk x x OA OB 1 1 2 kx 2 1 2 kx 1 2 1 4 1 2 1 2 1 4 1 4 5.若直线y=kx与双曲线-=1相交,则k的取值范围是. 2 9 x 2 4 y 2 2 , 3 3 答案答案 2 2 , 3 3 解析解析双曲线-=1的渐近线方程为y=x,若直线与双曲线相交,数 形结合,得k. 2 9 x 2 4 y2 3 2 2

11、, 3 3 6.过点A(1,0)作倾斜角为的直线,与抛物线y2=2x交于M、N两点,则|MN| =. 4 答案答案2 6 解析解析过A(1,0)且倾斜角为的直线方程为y=x-1,代入y2=2x得x2-4x+1= 0.设M(x1,y1),N(x2,y2),有x1+x2=4,x1x2=1,所以|MN|=|x1-x2|= =2. 4 2 1k1 1 2 1212 ()4xxx x21646 典例典例1(2018河南洛阳质检)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+ =1(ab0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上. (1)求椭圆C1的方程; (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C

12、2:y2=4x相切,求直线l的方程. 2 2 x a 2 2 y b 考点一直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用考点一直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用 考点突破考点突破 解析解析(1)由题意得a2-b2=1,b=1,则a=, 椭圆C1的方程为+y2=1. (2)易得直线l的斜率存在且不为零, 则可设l的方程为y=kx+b(k0). 由 2 2 2 x 2 2 1, 2 , x y ykxb 消去y整理得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0, 1=16k2b2-8(b2-1)(2k2+1)=16k2+8-8b2=0, 即b2=2k2+1. 由 消去y整理得k2x2+(2kb-4)x+b2

13、=0, 2 4 , , yx ykxb 即2k4+k2-1=0. 令t=k2,则2t2+t-1=0, 解得t1=或t2=-1(舍), 或 直线l的方程为y=x+或y=-x-. 1 2 2 , 2 2 k b 2 , 2 2. k b 2 2 2 2 2 2 2=(2kb-4)2-4k2b2=16-16kb=0,即kb=1, 由得b=,代入得=2k2+1, 22 21, 1. bk kb 1 k 2 1 k 规律总结规律总结 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交 点坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意利 用判别式的前提是二次项系数不为0. (2)

14、依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一 元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次 方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解. 1-1(2016课标全国,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y 轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接 ON并延长交C于点H. (1)求; (2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由. | | OH ON 解析解析(1)由已知得M(0,t),P. 2 , 2 t t p 又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为y=x,代

15、入y2=2px整 理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=. 因此H. 所以N为OH的中点,即=2. (2)直线MH与C除H以外没有其他公共点. 理由如下: 直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t). 2 , t t p p t 2 2t p 2 2 ,2 t t p | | OH ON 2 p t 2t p 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点, 所以除H以外直线MH与C没有其他公共点. 典例典例2如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(ab0)的离心率 为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为

16、0 时,|AB|=4. (1)求椭圆的方程; (2)若|AB|+|CD|=,求直线AB的方程. 2 2 x a 2 2 y b 1 2 48 7 考点二弦长问题考点二弦长问题 解析解析(1)由题意知e=,2a=4. 又a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=1, 所以椭圆方程为+=1. (2)当两条弦中的一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的 斜率不存在,由题意知|AB|+|CD|=7,不满足条件. 当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x -1),A(x1,y1),B(x2,y2), 则直线CD的方程为y=-(x-1). c a 1 2 3 2 4 x 2

17、 3 y 1 k 将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 则x1+x2=,x1x2=, 所以|AB|=|x1-x2| =. 同理,|CD|=, 所以|AB|+|CD|=+ =,解得k=1, 所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. 2 2 8 34 k k 2 2 412 34 k k 2 1k 2 1k 2 1212 ()4xxx x 2 2 12(1) 34 k k 2 2 1 121 4 3 k k 2 2 12(1) 34 k k 2 2 12(1) 34 k k 2 2 12(1) 34 k k 22 22 84(1) (3

18、4)(34) k kk 48 7 方法技巧方法技巧 弦长的计算方法 求弦长时可利用弦长公式,根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得 到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代 数式,然后整体代入弦长公式求解. 注意两种特殊情况:(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行(重合)或垂直;(2) 直线过圆锥曲线的焦点. 2-1(2017贵州贵阳模拟)设椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点均为原点 O,C1、C2的焦点均在x轴上,在C1、C2上各取两个点,将其坐标记录在表 格中: x3-24 y-20-4- 3 3 3 2 (1)求C1、C2的标准方程; (2)过C2的焦点F作斜率为k的直线l

19、,与C2交于A、B两点,若l与C1交于C、 D两点,=,求直线l的方程. | | AB CD 5 3 解析解析(1)由题意知点(-2,0),在椭圆上,点(3,-2),(4,-4)在抛物 线上, 设C1的方程为+=1(ab0), 则=1,+=1, 解得a=2,b=, C1的标准方程为+=1. 设抛物线C2的方程为y2=2px(p0), 则(-4)2=2p4,解得p=2, C2的标准方程为y2=4x. 3 3, 2 3 2 2 x a 2 2 y b 2 2 ( 2) a 2 3 a 2 3 4b 3 2 4 x 2 3 y (2)由(1)知F(1,0)是抛物线的焦点,也是椭圆的右焦点, 由题意知

20、l:y=k(x-1),k0,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 将l:y=k(x-1)代入抛物线方程y2=4x, 整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, =-(2k2+4)2-4k2k2=16k2+160恒成立, x1+x2=,x1x2=1, |AB|=. 将l:y=k(x-1)代入椭圆方程+=1, 2 2 24k k 2 1k 2 2 2 24 4 k k 2 2 4(1)k k 2 4 x 2 3 y 整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, =(-8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)=144k2+1440恒成立, x3+

21、x4=,x3x4=, |CD|=, =,=+=, k2=3,即k=, 直线l的方程为y=(x-1). 2 2 8 34 k k 2 2 412 34 k k 2 1k 2 22 22 8412 4 3434 kk kk 2 2 12(1) 34 k k | | AB CD 5 3 2 2 2 2 4(1) 12(1) 34 k k k k 2 2 34 3 k k 2 1 k 4 3 5 3 3 3 考点三中点弦问题考点三中点弦问题 典例典例3已知双曲线x2-=1上存在两点M,N关于直线y=x+m对称,且MN 的中点在抛物线y2=18x上,则实数m的值为. 2 3 y 0或或-8 答案答案0或

22、-8 解析解析设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0), 则 2 2 1 1 2 2 2 2 120 120 1, 3 1, 3 2, 2, y x y x xxx yyy 由-得(x2-x1)(x2+x1)=(y2-y1)(y2+y1), 显然x1x2,=3,即kMN=3, M,N关于直线y=x+m对称,kMN=-1, y0=-3x0. 又y0=x0+m,P, 1 3 21 21 yy xx 21 21 yy xx 0 0 y x 3 , 44 mm 代入抛物线方程得m2=18, 解得m=0或-8,经检验都符合题意. 9 164 m 规律总结规律总结 处理中点弦问题的

23、常用方法 (1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式 中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接将中点和直线的斜率 联系起来了,借用中点公式即可求得斜率. (2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程,将其转化为一元二次 方程后由根与系数的关系求解. 12 12 yy xx 同类练同类练(1)抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C 交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为() A.y=2x2B.y2=2x C.x2=2yD.y2=-2x (2)已知(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,则l的方程

24、是 . 2 36 x 2 9 y 答案答案(1)B(2)x+2y-8=0 解析解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 抛物线方程为y2=2px(p0), 则两式相减可得2p=(y1+y2)=kAB2=2,可得p=1, 抛物线C的方程为y2=2x. 2 11 2 22 2, 2, ypx ypx 12 12 yy xx 故直线l的方程为y-2=-(x-4), 即x+2y-8=0. 1 2 (2)设直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2), 则+=1,且+=1, 两式相减得=-. 又x1+x2=8,y1+y2=4, 所以=-, 2 1 36 x 2 1 9 y 2 2 36 x 2 2 9 y 12 12 yy xx 12 12 4() xx yy 1