[level3]2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试

1、 级别 3 2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟试题一、填空题1 、极限 lim x sin2x=x2x11B 、设 y(1sin x) x ，则 dy=x2 、微分方程 xyy0满足初始条件y(1)2的特解为32B 、曲线 y(1x) 2的斜渐近线方程为x3 、设二元函数 zxex y(x1) ln(1y) ，则 dz(1,0 )3B 、1xdx0 (2 x2 )1x23C 、微分方程 xy2 yx ln x 满足 y(1)1的解为93D 、当 x0时，(x)kx 2 与 ( x)1 x arcsin xcosx 是等价无穷小，则k=二、选择题4 、当 a 取下列哪个值时，

2、函数f (x)2x39x212xa 恰好有两个不同的零点 .(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.4B 、设函数 f ( x)lim n 1x3n，则 f(x) 在 (,) 内n(A)处处可导 .(B) 恰有一个不可导点 .(C)恰有两个不可导点 .(D)至少有三个不可导点 .5 、设 I 1cosx2y 2 d , I 2cos(x2y2 )d , I 3cos(x2y 2 )2 d ,DDD其中( ,)221 ，则Dx y xy(A)I 3I 2I1 .B、 I1I 2I 3 .(C)I 2I1I 3 .D、 I 3I 1 I 2 .6 、下列结论中正确的是(A)dx与1dx都收敛 .B

3、 、dx与1dx都发散 .x( x1)0 x( x1)x( x1)x( x1101)(C)dx1dx收敛 .(D)dx1dx发散 .x( x1)发散，x(xx( x1)收敛，101)10 x( x 1)6B 、设 an0, n 1,2, , 若an 发散，( 1) n 1 an 收敛，则下列结论正确的是n 1n 11(A)a2n 1 收敛，a2 n 发散 .（ B）a2n 收敛，a2n 1 发散 .n 1n 1n 1n 1(C)(a2n1a2 n ) 收敛 .(D)(a2n1 a2n ) 收敛 .n 1n17 、设 f ( x)x sin xcos x , 下列命题中正确的是A 、f(0) 是

4、极大值，f () 是极小值 .B 、 f(0) 是极小值， f() 是极大值 .22C 、f(0) 是极大值，f () 也是极大值 .(D)f(0) 是极小值，f ( ) 也是极小值 .228 、以下四个命题中，正确的是A 、若 f( x) 在 0，1 、内连续，则f(x) 在 0 ，1 、内有界 .B 、若 f ( x) 在 0 ， 1 、内连续，则f(x) 在 0， 1 、内有界 .C 、若 f(x) 在 0， 1、内有界，则f(x) 在 0 ，1 、内有界 .D 、若 f ( x) 在 0 ， 1、内有界，则f ( x) 在 0， 1 、内有界 .8B 、设 F(x) 是连续函数 f(x

5、) 的一个原函数， MN 表示“ M 的充分必要条件是 N”，则必有A 、F(x) 是偶函数f(x) 是奇函数 .B、 F(x) 是奇函数f(x) 是偶函数 .C 、F(x) 是周期函数f(x) 是周期函数 .D、 F(x) 是单调函数f(x) 是单调函数 .三 、解答题1x19 、求 lim (ex).x0 1x10、设 f(u) 具有二阶连续导数，且g( x, y)f ( y ) yf ( x ) ，求x22 gy22 gxyx2y2 .11、 计算二重积分x 2y 2 1d，其中 D( x, y) 0x1,0y1 .D12、求 f (x, y)x2y22 在椭圆域 D( x, y) x

6、2y21 上的最大值和最小值 .413、设 f(x),g(x) 在 0， 1上的导数连续，且f(0)=0,f ( x)0 , g (x)0 .证明：对任何 a 0,1 ,有a1f ( a) g(1).g ( x) f ( x)dxf ( x) g (x)dx0014 、求幂级数(11) x2 n 在区间 (-1,1) 内的和函数 S(x).n12n12 级别 3 2009 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟试题参考答案1、分析 ：本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.2x2x2.详解 ：l im x s i n 2= lim x 2xx1 xx1评注 ：若在某变化过

7、程下，(x) ( x) ，则 lim f (x) ( x) lim f ( x) ( x).1B 、分析： 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导 .详解：方法一： y(1sin x) x = exln(1sin x ) ，于是yexln(1 sin x)ln( 1 sin x)xcos x ，1 sin x从而dy= y () dxdx.x方法二：两边取对数， ln yx ln(1sin x) ，对 x 求导，得 1 yln(1sin x)x cos x，y1 sin x于是 y(1sin x) xln( 1sin x)xcos x ，故 d

8、y= y () dxdx.1sin xx评注： 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式 .2、分析 ： 直接积分即可.详解 ： 原方程可化为( xy)0 ，积分得xyC ，代入初始条件得C=2 ，故所求特解为xy=2.评注 ： 本题虽属基本题型，也可先变形dydx ，再积分求解 .yx2B 、【分析】 求斜渐近线不是专科要求范围但却是本科高数的基本题型，转本的考生应向本科看齐，故应掌握之；本题直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.333【详解 】因为 a= limf ( x)lim(1x) 21, b limf ( x) axlim(1x)

9、 2x23，xxxx2xxxx于是所求斜渐近线方程为y x3 .2【评注 】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2 ）若当 x时，极限 alimf ( x)不存在，则应进一步xx讨论 x或 x的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x0 ，所以只考虑x 的情形 .3、分析 ： 基本题型，直接套用相应的公式即可.3详解 ：zex yxex yl n 1( y) ， zxex yx1, 于是 dz2edx (e 2) dy .xy1y(1, 0)3B 、【分析 】作三角代换求积分即可 .【详解 】令

10、x sint ，则1xdx2sin t cost2d costdt =arctan(cost )0 (2 x 2 ) 1x20 ( 20 1cos2sin 2 t) costt【评注 】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等.20.43C 、【分析 】直接套用一阶线性微分方程y P( x) y Q( x).remember : www.dinyuan .cn 的通解公式：P ( x )dx Q( x)eP( x)dxC ，y edx再由初始条件确定任意常数即可.【详解 】 原方程等价为y2y ln x ，x2dx2 dx12 x2 ln xdx于是通解为y e xln xe

11、xdx C x由 y(1)1得 C=0 ，故所求解为 y1 x ln x1 x.939【评注 】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型可化为C 1x ln x1x C139x 2 ，=. 另外，本题也可如下求解：原方程x 2 y2xy x2 ln x ，即 x2 yx2 ln x ，两边积分得x 2 yx 2 ln xdx1x3 ln x1x3C ，3191再代入初始条件即可得所求解为yx ln xx.393D 、【分析 】 题设相当于已知lim( x)1，由此确定 k 即可 .( x)x 0【详解 】由题设， lim( x)lim1 x arcsin xcosxx arcsi

12、n x1cos x( x)kx2= lim2x0x0x 0( 1x arcsin xcos x)kx=1limxarcsin x 1cos x31，得 k3 .2kx 0x24k4【评注 】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.4、分析 ： 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x) 恰好有两个不同的零点 .详解 ：f(x)6x 218x12 = 6(x1)( x2)，知可能极值点为x=1,x=2 ，且f (1)5 a, f ( 2)4a ，可见当 a=4时，函数 f(x) 恰好有两个零点，故应选

13、(B).评注 ： 对于三次多项式函数 f(x)=ax3bx2cxd ,当两个极值同号时，函数f(x)只有一个零点；当两4个极值异号时，函数f(x)有三个零点；当两个极值有一为零时，函数 f(x) 有两个零点 .4B 、【分析 】 先求出 f(x)的表达式，再讨论其可导情形 .【详解 】当 x1时， f ( x)lim n 1x3n1 ；n当 x1时， f ( x)lim n 111 ；n3113当 x 1时， f ( x)lim1) n.x(3nxnxx3 ,x1,即 f (x)1,1x1,可见 f(x) 仅在 x=1 时不可导，故应选 (C).x3 ,x1.【评注 】 本题综合考查了数列极限

14、和导数概念两个知识点.5、分析 ： 关键在于比较x2y 2、 x 2y 2与 ( x2y2 ) 2在区域 D ( x, y) x 2y 21 上的大小 .详解 ： 在区域 D( x,y) x 2y21上，有 0x2y21，从而有21x2y 2x2y 2(x 2y2 )20由于 cos x 在 (0,)上为单调减函数，于是20cosx 2y 2cos( x2y2 )cos(x 2y2 ) 2 .remember : www .dinyuan .cn因此cosx2y2 dcos(x2y 2 )dcos(x2y 2 ) 2 d ，故应选 (A).DDD评注 ： 本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重

15、积分的不等式性质和函数的单调性进行分析讨论.6、分析 ：直接计算相应积分，判定其敛散性即可.详解 ：dx= lnxln 2 ，积分收敛，1 x( x1)x111dxxx( x 1)= ln0x 110()，积分发散 .0故应选 (D).评注 ： 广义积分敛散性的判断，一般只要求掌握通过计算能判定的情形.6B 、分析：可通过反例用排除法找到正确答案.详解： 取 an1，则an 发散，( 1) n 1 an 收敛，但a2n 1 与a2 n 均发散，排除 (A),(B) 选项，nn 1n 1n 1n 1且(a2n 1 a2 n ) 发散，进一步排除 (C),故应选 (D). 事实上， 级数(a2n

16、1 a2 n ) 的部分和数列极限存n 1n 1在 .评注： 通过反例用排除法找答案是求解类似无穷级数选择问题的最常用方法.7、分析 ：先求出f (x), f ( x) ，再用取极值的充分条件判断即可.5详解 ： f (x)sin xx cos xsin xxcos x ，显然f (0)0, f () 0 ，2又f(x)c o sxx s inx ，且 f(0)10, f(2)20 ，故 f(0) 是极小值， f () 是极大值，应2选 (B).评注 ： 本题为基本题型，主要考查取极值的充分条件.8、分析 ： 通过反例用排除法找到正确答案即可.详解 ： 设 f(x)=1( x)1, 则 f(x

17、) 及 f2 均在 0 ，1 、内连续， 但 f(x) 在 0，1 、内无界， 排除 (A) 、(B); 又xxf (x)x 在0，、内有界，但f(x)1在0， 、内无界，排除(D).故应选(C).12x1评注 ： 本题也可直接证明：用拉格朗日中值定理，有f (x)f ( 1 )f ()( x1 ),在 (0,1) 之间，由此容易推知若f ( x) 在 0 ，1、内有界，则 f(x)在 0，1 、内有界 .228B 、【分析 】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解 】 方法一：任一原函数可表示为F ( x)xf (t )dtC ，且 F( x)f ( x).0当

18、 F(x) 为 偶 函 数 时 ， 有 F (x)F (x) ， 于 是 F( x)(1) F ( x) ， 即f (x)f ( x) ， 也 即f (x)f ( x)， 可 见 f(x) 为 奇 函 数 ； 反 过 来 ， 若 f(x) 为 奇 函 数 ， 则xf (t) dt0为 偶 函 数 ， 从 而F (x)xC 为偶函数，可见 (A) 为正确选项 .f (t )dt0方法二：令 f(x)=1,则取 F(x)=x+1,排除 (B) 、 (C); 令 f(x)=x, 则取 F(x)=1x2, 排除 (D);故应选 (A).2【评注 】 函数 f(x) 与其原函数F(x) 的奇偶性、周期性

19、和单调性已多次考查过.请各位思考f(x) 与其原函数F(x) 的有界性之间有何关系？9、分析 ： 型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.lim (1 x1limx x 21 e xx x 21 e x详解 ：x)x= lim2x 01exx0x(1e)x0x= lim 12xe x= lim 2e x3 .x02xx022评注 ： 本题属基本题型，在里用罗必塔法则求极限的过程中，应注意利用无穷小量的等价代换进行简化.10 、分析： 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.详解 ：由已知条件可得gyf ( y )f ( x) ，xx2xy2 g 2 yf (yy2x1f( x ) ，x 2x3x

20、 )x4 f (y )yy6g1f ( y)f ( x)xf ( x ) ，yxxyyy2 g1yxxxxx2xy2x2f ( )y2f ( )y2f ( )y3 f ( ) ，xyyyx22 gy22 g 2 yfyy 2fxx2f (xy 2yx 2x) =2 yf (y).所以x2y2=( )x2( )y)x2f ( )yf (xxxxyyxy评注 ： 本题属基本题型，但在求偏导数的过程中应注意计算的准确性.11、分析： 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.详解 ：记( ,)221,( ,) ，22，D1xyxyx yDD2( x, y) xy 1,

21、 ( x, y)D于是x2y2d=22221( xy1)dxdy( xy1)dxdyDD1D2=2 d1(r21) rdr( x2y21) dxdy( x2y 21) dxdy00DD1=1dx1(x2y 21)dy2 d121) rdr =1 .+0(r800043评 注 ：形 如 积 分f (x, y) d、max f ( x, y), g( x, y) d、min f ( x, y), g( x, y) d、DDD f ( x, y)d、sgn f (x, y)g( x, y) d.remember: 等的被积函数均应当作分DD区域函数看待，利用积分的可加性

22、分区域积分.12 、分析 ： 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y) 的表达式 .而 f(x,y) 在椭圆域上的最大值和最小值,可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值.详 解 ：令f2x0,f2 y0得 可 能 极 值 点 为x=0,y=0.且A2 f2 ，xyx2(0 ,0)B2f0 ， C2f2 ，xy(0 ,0)y2(0 ,0 )B 2AC40 ，所以点 (0,0)不是极值点，从而也非最值点 .再考虑其在边界曲线x 2y 21上的情形：令拉格朗日函数为4F (x, y, )f ( x, y)(x 2y 21) ，47Fxf2 x2(1) x0

23、,x解F yfy2y1y0,y2y 22Fx 210,4得可能极值点x0, y2,4；x0, y2,4； x 1, y0,1； x1, y 0,1. 代入 f(x,y) 得 f (0,2)2,f (1,0)3，可见 z=f(x,y) 在区域 D( x, y) x2y21 内的最大值为3，4最小值为 -2.评注 ： 本题综合考查了多元函数微分学的知识，涉及到多个重要基础概念，特别是通过偏导数反求函数关系，要求考生真正理解并掌握了相关知识.当在区域边界上求极值时，也可将y 244x 2 代入 f(x,y)= 5x 22 ,转化为一元函数求极值 .13 、分析：可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.详解 ： 方法一：设F (x)x1g(t ) f (t)dtf (t ) g (t )dt f ( x) g(1) ，00则 F(x) 在 0， 1上的导数连续，并且F ( x)g( x) f(x)f( x) g(1)f( x) g( x)g(1) ，由于 x0,1 时， f ( x)0, g ( x)0 ，因此 F( x) 0 ，即 F(x) 在 0， 1上单调递减 .注意到1g(t) f1f (1)g (1) ，F (1)(t )dtf (t ) g (t )dt001g(t) f (t)dt1g(t )df (t)11而0g (t ) f (t)f