一元二次方程的解法综述

1、一元二次方程的解法一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程， 它是初中数学的一个重点内容， 也 是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, （a工0）它是只含一个未知数，并且 未知数的最高次数是 2的整式方程。解一元二次方程的基本思想方法是通过 “降次”将它化为两个一元一次方程。一元 二次方程有四种解法： 1、直接开平方法； 2、配方法； 3、公式法； 4、因式分解法。二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。 用直接开平方法解形 如（x-m）2=n （n 0的方程，其

2、解为 x=m .例 1解方程（ 1）（3x+1）2=7 （2）9x2-24x+16=11分析： （ 1）此方程显然用直接开平方法好做， （2）方程左边是完全平方式 （3x-4）2， 右边=110，所以此方程也可用直接开平方法解。（1）解：（3x+1）2=7 X （3x+1）2=53x+1=（注意不要丢解）原方程的解为x仁,x2=( 2)解： 9x2-24x+16=11 (3x-4)2=113x-4= x=.原方程的解为 x1=,x2=2 .配方法：用配方法解方程 ax2+bx+c=0 (a工0)先将常数 c 移到方程右边： ax2+bx=-c将二次项系数化为 1 ： x2+x=-方程两边分别加

3、上一次项系数的一半的平方： x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式： (x+ )2=当 b2-4ac0 时，x+ = . x = (这就是求根公式 )例 2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2将二次项系数化为 1 ： x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方： x2-x+( )2= +( )2配方： (x-)2=直接开平方得： x-= . x=.原方程的解为 x1=,x2= .3 .公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式=b2-4ac的值,当b2-4ac0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-

4、 4ac0就可得到方程的根。例 3用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式： 2x2-8x+5=0a=2, b=-8, c=5b2-4ac=(-8)2-420 x= = =原方程的解为 x1=,x2= .4因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一 次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零， 得到两个一元一次方程， 解这两个一元一次方程所得 到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例 4用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0 ( 选学) (4)x2

5、-2( + )x+4=0 (选学)(1) 解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得x2-3x-10=0 ( 方程左边为二次三项式，右边为零 )(x-5)(x+2)=0 ( 方程左边分解因式 ) x-5=0 或 x+2=0 ( 转化成两个一元一次方程 ) x1=5,x2=-2 是原方程的解。(2) 解： 2x2+3x=0x(2x+3)=0 ( 用提公因式法将方程左边分解因式 ) x=0 或 2x+3=0 ( 转化成两个一元一次方程 ) x1=0 , x2=-是原方程的解。注意：有些同学做这种题目时容易丢掉 x=0 这个解，应记住一元二次方程有两 个解。解：6x2+5x-50=0(2x-5)(3

6、x+10)=0 ( 十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错 ) 2x-5=0 或 3x+10=0 x1=, x2=- 是原方程的解。解：x2-2(+ )x+4 =0(t 4可分解为2 2，此题可用因式分解法)(x-2)(x-2 )=0 x1=2 ,x2=2 是原方程的解。小结：一般解一元二次方程， 最常用的方法还是因式分解法， 在应用因式分解法时， 一 般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。 公式法适用于任何一元二次方程 (有人称之为 万能法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式， 以便确定系数， 而且在用公式

7、前应先计算 判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程 了，所以一般不用配方法解一元二次方程。 但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用， 是初中要 求掌握的三种重要的数学方 法之一，一定要掌握好。(三种重要的数学方法： 换元法，配方法，待定系数法) 例 5 用适当的方法解下列方程。( 1) 4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0( 3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0分析：(1)首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现， 方程左边可用平方差公式

8、分解因式，化成两个一次因式的乘积。(2) 可用十字相乘法将方程左边因式分解。(3) 化成一般形式后利用公式法解。( 4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 ，然后可利用十字相乘法因 式分解。(1)解： 4(x+2)2-9(x-3)2=02(x+2)+3(x-3)2(x+2)-3(x-3)=0(5x-5)(-x+13)=05x-5=0 或 -x+13=0 x1=1,x2=13( 2)解： x2+(2- )x+ -3=0x-(-3)(x-1)=0x-(-3)=0 或 x-1=0 x1 =-3 ，x2= 1(3) 解：x2-2 x=-x2-2 x+ =0 ( 先化成一般

9、形式 ) =(-2 )2-4=X2-8=40 x1=,x2=(4) 解： 4x2-4mx-10x+m2+5m+6=04x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=02x-(m+2)2x-(m+3)=02x-(m+2)=0 或 2x-(m+3)=0 x1= ,x2=例 6求方程 3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0 的二根。 (选学)分析：此方程如果先做乘方， 乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁 琐，仔细观察题目，我们发现如果把 x+1 和 x-4 分别看作一个整体， 则方程左边可用十字相乘法分解因 式(实际上是运用换元的方法)解：3(x+1)+2(x-4)(x

10、+1)+(x-4)=0即 (5x-5)(2x-3)=0 5(x-1)(2x-3)=0(x-1)(2x-3)=0 x-1=0 或 2x-3=0 x1=1,x2= 是原方程的解。例 7用配方法解关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0解： x2+px+q=0 可变形为x2+px=-q ( 常数项移到方程右边 ) x2+px+( )2=-q+()2 ( 方程两边都加上一次项系数一半的平方 )(x+)2= ( 配方)当p2-4q0时，(必须对p2-4q进行分类讨论):.x=- 土二 x1= ,x2=当 p2-4q0 时， 3=-30时的根为-btJb2 -AacA=一: .该式称为一元二次方程的求

11、根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公 式法，简称公式法.说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方 程 ax2 + bx+ c=0(a 工 0(2) 由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3) 应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式2、一元二次方程的根的判别式-b 士够- 4轴(1)当1 b 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根2 drb二(2) 当1 b2 4ac=0时，方程有两个相等的实数根二；(3)11 b 4acv 0时，方程没有实数根.二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种

12、解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的 关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。(4) 公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有-士-4 皿实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入C n o求值, 所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。2、在运用b2 4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：(1) b2 4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能 确定 a、b、c,求出 b2 4ac；(2) 在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；(3) 根的判别式是指 b2 4ac,而

13、不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1) 二= 一 I一 一分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算,解：因为 a=1,= 一、, c=10b2-Aac-(-4/3)3 -4x1x10= 48-40 = 8)_仝匪如婕兰邑2辰花所以(2) 原方程可化为 厂-八.-】因为 a=1,，c=2卩-4 优=(-2/2f -4xlx 2 = 0所以 一 1、(3) 原方程可化为二一二-二因为 a=1，:八-,c= 1所以：-二所以所以珂=、辽+书,2 -应厂、吕总结：(1) 用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负 数，通常将其化为正数；

14、如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要 化为最简形式；(2) 用求根公式法解方程按步骤进行.例2、用适当方法解下列方程： J i 一 |it -1二，-Hu.-.-.-5- 豪二 1 二分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好 特殊方法和一般方法的关系。就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方 法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。 公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式 一 b 土 J护-4处丄：

15、求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。如，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是 一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。若方程中的一次项系数有因数是偶 数，则可使用，计算量也不大。如，因为 224比较大，分解时较繁，此题中一次项系 数是-2。可以利用用配方法来解，经过配方之后得到；-，显得很简单。2直接开平方法一般解符合： ;-山型的方程，如第小题。因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑 的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分

16、解 时，应考虑变换方法。町+驴二2解：【(x +卯=4两边开平方，得 i+3 = 2所以、一二.-二 J 二.-二I配方，得 一二.一一仃-1)： =22$所以： 一二所以 . .-1/ - 2& 二 1配方，得 -厂- -.(F 二 6所以“-所以;-匚 +: : - 1 二 一二一.因为 a = 5i=-2 c = 所以_ r，_ _=4 + 20=24_22/6 _l7e所以 _一所以.“ .1 _ _只+2（1+少）“-2箱配方：_ m，k+（l+廟=4所以-整理，得J1 - 1i(i-3)=0移项，提公因式，得匚-一二匚 -7- 一 11(i-l)(x+2) = 0小结:以上各题请同

17、学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。k符合a(x +/n)2= n(a 0):直接开平方法，如个一元二谀方程彳各项有公因式，或可直接因式分解匕因式分解袪，如I化天一般形式后：首先要着虑因式分解法，如若常数项分解较烦，且一次项系数有因数 是偶数，可考虑便用配方法.如 最后極用公式法，如例3、已知关于x的方程ax2- 3x+ 1=0有实根，求a的取值范围解：当a=0时，原方程有实根为e3)a-4a0BPa-Bt,若a工0寸，当原方程有两个实根.a0，得 k4.(2)满足k4的最大整数，即k=3.此时方程为x2 4x+ 3=0，解得Xi=1 , x；=3. 当相同的根为x=1时，贝V 1 + m 1=0，得m=0;8m- 当相同的根为x=3时，则9 + 3m 1=0，得I；_8所以m的值为0或；例5、设m为自然数，且3m40，方程川-“.；：一有两个整数根求m的值及方程的根。