9A文数列教师版

1、变式1）2）1 0 1 0 1 0 1将原数列改写为 1, 0, 1, 0,1,0, 1,1 2 3 4 5 6 7 8 1、求下列数列的一个通项公式：2, 4 , 6 , 8 ,10, ,3,15,35,63,99, ,1,3,6,10,15,21, ,annsin2n或 ann 1 n 1cosn21 ，或an ( 1)n1 1)n 2n解析】（1）分子为正偶数列，分母为 1 3,3 5,5 7,7 9,9 11, , 得 a2n(2n 1)(2n 1) 2)观察数列可知： a1 1,a2 1 2,a3 1 2 3,a4 1 2 3 4, ,a4 1 2 3 4,a5 1 2 3 4 5,

2、 an 1 2 3 题型 2 已知数列的前 n 项和，求通项公式【例 2】已知下列数列 an 的前 n项和 Sn ，分别求它们的通项公式 an.Sn 2n2 3n； Sn 3n 1.n n(n 1)2解析】 当 n 1时， a1 S1 2 12 3 1 5 ，当n 2时，an Sn Sn 1 (2n2 3n) 2(n 1)2 3(n 1) 4n 1.当 n 1时， 4 1 1 5 a1 ， an 4n 1.当 n 1 时， a1 S1 3 1 4 ，当n 2时， an Sn Sn 1 (3n 1) (3n 1 1) 2 3n 1 .当 n 1 时，2 31 1 2 a1 ， an4(n 1)2

3、 3n 1(n 2)【MeiWei_81 重点借鉴文档】 数列（ A 班） 第 1 讲数列的概念 考点 1 数列的通项公式题型 1 已知数列的前几项，求通项公式【例 1】 求下列数列的一个通项公式： 3,5,9,17,33, ,1 111,0, 1,0,1,0, 1,0, ,3 57可得数列的通项公式 an 21；【解析】 联想数列 2,4,8,16,32, , 即数列 2n ，求数列 an 的通项公式变式 1、已知 Sn为数列 an 的前 n项和，且 Sn 2n2 3n 1【解析 当 n 1时， a1 S1 2 12 3 1 1 4，当n 2时，an Sn Sn 1 (2n2 3n 1) 2

4、(n 1)2 3(n 1) 1 4n 1.而 n 1时， 4 1 1 5 a1 ， an4(n 1)4n 1(n 2)题型 3 已知数列的递推式，求通项公式（应用迭加（迭乘、迭代）法求通项或者构造等差等比数列求通项）例 3】数列 an 中，a1 1,an2an 1 (n 2)，求 a2,a3,a4,a5和数列 an 的通项公式n 1 n 2 an 12 3 4 5 n解析】 a1 1,an2an 1 (n 2)，2 an 12a122a22 2a3 22a42a2， a3， a4， a5，2 2 a1 3 3 2 a2 4 4 2 a3 5 5 2 a4 6MeiWei_81 重点借鉴文档】M

5、eiWei 81 重点借鉴文档】(n 2),2 an 1 an即 an 1 an1,即111，1 是首项为 1，anan 12anan 12an11n 1,21n1anan22n1n2an 12 an 1an 2 an 12an 1 ,anan 1已知数列 an 中， a1 2,an an 1 2n 1(n 2) ，求数列 an 的通项公式； 已知 Sn为数列 an 的前 n项和， a1 1， Sn n2 an ，求数列 an 的通项公式 .公差为 1的等差数列2变式 1、解析】 (迭加法) a1 2,an an 1 2n 1(n 2) ， an an 1 2n 1an 3(a2 a1) a1

6、an (an an 1) (an 1 an 2) (an 2n(2n 1 1) 2 (2n 1) (2n 3) (2n 5) 5 3 1n22a11， Snn2an ，当n2时，Sn 1(n1)2an 1题型 4 已知数列通项公式，求项数及最大(最小) 【例 4】数列 an 中， an n2 5n 4. 18 是数列中的第几项？ n 为何值时， an 有最小值？并求最小值 .【解析】 由 n 25n4 18n25n14 ann25n 4(n5)29n22变式 1、数列 an 中， an 9n 9n 20 ，解得 n7， 18是数列中的第 7 项.n 2或 n3时，2(an )min 22 4

7、2 52.9n 2 1anSnSn 12n an(n1)2an1ann 1. n1an 1anannan 1an 2a3a2 aa1n1n2n321 1 21an 1an 2an 3a2a1 1n1nn143 n(n 1)迭加法适用于求递推关系形如“ an 1 an f (n) ”；迭乘法适用于求递推关系形如“ an 1 an f (n)“； 变式 2、已知数列 an 中， a1 1,an 1 2an 3 ，求数列 an 的通项公式 .【解析】 an 1 2an 3， an 1 3 2(an 3)an 3 是以 2 为公比的等比数列，其首项为 a1 3 4 an 3 4 2n 1 an 2n

8、1 3.求这个数列的第 10 项；99 是否为该数列的项，为什么？ 100求证：在区间an (0,1) ；1,2 内有无数列的项，若有，有几项？若无，说明理由3,3 内有无数列的项，若有，有几项？若无，说明理由解析】 a令 an9n2 9n 23n 1 3n 29n2 12 3n 23n 13n 23n 1 3n 1993n 299 ，无整数解，1003n 199a102831不是该数列的项 .100MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】 3n 2 3 an13n13n11213n2由 an ，得3n 333n 1 9n 69n 6 6n 23，n N ， 0 3

9、n3 1 1，an (0,1)238， 当且仅当 n 2 时，在区间3第 2 讲等差数列1. 等差数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数3n 17n61, 2 内有数列的项 .332、通项公式 an a1 (n 1)d ， a1为首项， d 为公差前 n项和公式 Snd ，这个数列叫做等差数列，常数 d 为公差 . n(a1 an) 或Sn na1 1n(n 1)d .223.等差中项：如果 a , A, b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项.即： A是a与b的等差中项2A a b4.等差数列的判定方法：定义法： an 1 an d (n N ，d 是常数)a

10、n 是等差数列；中项法： 2an 1 an an 2( n N )an 是等差数列 .25.等差数列的常用性质anam(nm)d ；anan b(a,b是常数)；Snan2bn(a,b是常数， a0)若 m n p q(m,n,p,q N )，则 am an ap aq；考点 1 等差数列的通项与前 n 项和题型 1 已知等差数列的某些项，求某些项【例 1】已知 an 为等差数列， a15 8,a60 20，则 a75a15解析】 方法 1：15a60a1 14d 8a1a1 59d 20 164 4,da75 a1151575 174d 64 74 4 2415 15方法 2： d a60

11、a15 20 8 4 ， a75 a60 (75 60)d 20 15 4 2460 15 45 15 75 60 15变式 1：已知 Sn为等差数列 an 的前 n项和， a4 9,a96,Sn 63，求 n；若一个等差数列的前 4项和为36，后4项和为 124，且所有项的和为 780，求这个数列的项数 n. 数列 an 中， an 2n 49 ，当数列 an 的前 n 项和 Sn取得最小值时， n .a1 3d 9解析】 设等差数列的首项为 a1 ，公差为 d ，则 1a1 18,d 31a1 8d 6 13Sn 18n n(n 1) 63n1 6,n2 7 a1a2a3a436,anan

12、 1an2an 3124a1ana2an 1a3an 2a4an34(a1an )160a1an40Sn n(a1 an ) 780 20n 780 n 39 2由 an 2n 49 知 an 是等差数列， an 0 n 25. n 24.变式 2. 已知 5个数成等差数列，它们的和为 5 ，平方和为 165，求这 5个数.解析】 设这 5个数分别为 a 2d,a d,a,a d,a 2d. 则解得 a 1,d 4(a 2d)(a d) a(ad)(a2d) 5 a 1(a 2d)2(a d)2a2(ad)2(a 2d)2165 5a2 10d 2165当a 1,d 4时，这5个数分别为： 7

13、, 3,1,5,9；当a 1,d 4时，这 5个数分别为： 9,5,1, 3, 7.题型 2 求等差数列的前 n 项和【例 2】已知 Sn为等差数列 an 的前n项和， Sn 12n n2.MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】求 a1a2a3 ；求a1a2a3a10；求a1a2a3an解析】 当n1时， a1S112 1 11，当 n2时， anSnSn 1 (12nn2)12(n 1) (n 1)213 2n ，当 n 1 时， 13 2 1 11 a1 ， an 13 2n .由an 13 2n 0，得 n ， 当1 n 6时， an 0；当n 7时， an

14、 0.2 a1a2a3a1a2a3S312 33227 ； a1a2a3a10a1a2a3a6(a7a8a9a10)222S6 S10 2(12 6 62) (12 10 102 ) 52；2当 1 n 6时，a1a2a3ana1a2a3an12nn2 ，当 n7时， a1a2a3ana1a2a3a6(a7a8an )2 2 22S6 Sn 2(12 6 62) (12n n2) n2 12n 72.变式 1、已知 Sn为等差数列 an 的前 n项和， a6 100，则 S11；S11解：11(a1 a11)211 2a6211a6 1100变式 2、设 SnTn 分别是等差数列 an 、 a

15、n 的前 n 项和，Sn 7n 2，则 a5Tnn 3 b5解析】anS2n 1bnT2n 17(2n 1) 2 14n 5(2n 1) 32n 2a5 14 5 5b5 2 5 26512变式 3、.含 2n 1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为()2n 1 n 1 n 1 n 1A. B. C. D.n n n 2n 解析】 S奇 a1 a3 a5a2n 1 (n 1)(a1 a2n 1)2 n(a2 a2n)2S偶a2a4a6a2n， a1a2n 1a2 a2nS奇n 1. 选 B.S偶n2n2x变式 4、(倒序相加法求和) 设 f(x) 2 ，求： f(41) f(31) f

16、(21) f(2) f(3) f(4)；1 x2解析】 f (x)2x1 x2 f ( 20110 ) f(20109)f (13) f(12) f(2)f ( 2009) f (2010).1 f (x) f ( ) 1.x1 (2010 1) 2009. f(14) f(31) f(12) f(2) f(3) f (4) 1 4 4原式考点 2 等差数列的证明和综合应用【例3】已知Sn为等差数列 an 的前n项和， bn Sn (n N ) .求证：数列 bn 是等差数列.n解析】 方法 1：设等差数列 an 的公差为 d ， Sn na1 1 n(n 1)d ， bn Sn a1 1(n

17、 1)d2 n 211dbn 1bna1nd a1(n 1)d(常数) 数列 bn 是等差数列 .222S111方法 2：bn na1(n1)d ，bn 1 a1nd ， bn 2 a1 (n 1)dn222MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】1、 Sn 为11bn 2bna1(n 1)da1(n 1)d2a1nd2bn 1 ， 数列bn是等差数列 . 变式222 11n；数列 bn 满足： b3 11，bn 2 2bn 1 bn ，前9项和为153. 2数列 an 的前 n 项和， Sn 1n2求数列 an 、 bn 的通项公式；设 Tn 为数列 cn 的前

18、n 项和，cn，求使不等式(2an 11)(2bn 1)kTn对 n N 都成立的最大正整数57k 的值 .1 2 11解析】 Snn2n ，n22当 n 1 时， a1 S16；当 n 2 时， anSnSn 1n2 11n 1(n 1)22n5当 n 1时， 1 5 6 a1， an n 5 ；bn bn 2bn 2 2bn 1 bnbn 1bn 是等差数列，设其公差为 d .b1 2d 11b1 5,d 3 ， bn9b1 36d 153 1 n5 3(n 1)3n 2.cn (2an 11)( 2bn 1) 2(n 5) 11 2(3n 2) 1 (2n 1)(2n 1) 1 1 1

19、1 1Tn (1 13) (13 51) (15 71)1 1 1 1 ( 12n 1 2n 12n 1 12 n N ， Tn 是单调递增数列 . 当 n 1 时， Tn min T1 1 min 3 32n 1 2n 157 3 57 k 38 所求最大正整数 k的值为 37.Tn k 对 n N 都成立Tn mink 2 k57第 3 讲等比数列1 等比数列的概念：一个数列从第二项起， 每一项与它前一项的比等于同一个常数 q(q 0) ，这个数列叫做等比数列， q为公比 .2通项公式： ana1qn 1 nn 1，前 n 项和公式：当 q 1时， Sn na1当 q 1 时， Sn a1

20、(1 q ) a1 anq1q1q4. 等比数列的判定方法定义法：an 1 q(n N ， q 0是常数)an 是等比数列；an等比中项：如果 a, G, b成等比数列，那么 G叫做 a与b的等比中项 .即 a, G, b成等比数列G2 a b.3.中项法： an 1an an 2( n N )且 an 0an 是等比数列5.等比数列的常用性质 an am qn m(n,m N )若 m n p q(m, n, p,q N )，则 am an ap aq； 若等比数列 an 的前 n 项和 Sn ，则 Sk 、 S2k Sk 、 S3k S2k 、 S4k S3k 是等比数列 .考点 1 等比

21、数列的通项与前 n 项和题型 1 已知等比数列的某些项，求某项【例 1】已知 an 为等比数列， a2 2,a6 162，则 a10a2 a1q 2 4 9 4【解析】 方法 1：2 1 5 q4 81 a10 a1q9 a6q4 162 81 13122a6 a1q5 162方法 2：q4a616281 ，a10a6q4162 81 13122a2210 6MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】变式1、已知Sn为等比数列 an 前n项和，Sn 93，an 48，公比q 2，则项数 n . 已知四个实数， 前三个数成等差数列， 后三个数成等比数列， 首末两数之和为

22、 37 ，中间两数之和为 a1（2n 1） 93 2n 32 n 5. n 1 232 n 5.a1 2n 1 482b a c解析】 由 Sn 93 ， an 48 ，公比 q 2 ， 得c 2 bd ； a b 37 b c 36方法 2：设前 2个数分别为 a,b，则第 3、4个数分别为 36 b，37 a ，则99 a 4； b 81 ； 4方法 1：设这四个数分别为 a,b,c,d ，则2b (236 b) a ，解得(36 b)2 b(37 a)a 12 或b 1636 ，求这四个数 .方法 3：设第 2、3 个数分别为c2 b，c ，则第 1个数为 2b c ，第 1个数为，则b

23、2b cbb c 36变式 2、已知 Sn 为等比数列 anb 814；63；c4前 n 项和 ， Sn 54 ， S2n 60 ，则 S3nb 16 或c 20解析】 an 是等比数列，Sn,S2n Sn,S3n S2n 为等比数列，54(S3n 60) 36S31823题型 2 求等比数列前 n 项和 【例2】（1）等比数列 1,2,4,8, 中从第 5项到第 10项的和 .（2）已知Sn为等比数列 an 前n项和，an 1 3 32 333n 1，求Sn（3）（采用错位相减法求和） 已知 Sn为等比数列 an 前n项和，an （2n 1） 3n，求 Sn4 1（1 24） 15， S 1

24、2解析】（ 1）由 a1 1,a2 2 ，得 q 2 ， S102 3 n 12)an 1 3 32 333n 11(1 210) 1023 ，S41 2 41(1 3n ) 3n 11 3 2 2 ， 1n 1 3(1 3n ) 1 n2 2 1 3 210S4 1008.3) . an3n41 Sn(3 32 333n )2(2n 1) 3n Sn 1 3 3 32 5 33(2n 1) 3n，3Sn132333534(2n 3)3n(2n 1) 3 - 2Sn 3 2(32 33 343n) (2n 1) 3n 1即 Snn1，得3 2 9（1 3n1）13 变式 1. 已知 an 为等比数列， a1 a2(2n 1) 3n(2 2n) 3n 1 6 Sn (n 1) 3n 1 3.a3 3,a6 a7 a8 6 ，求 a11 a12解析】 设等比数列 an 的公比为 q ，a1 a2 a3 3,a6 a7 a8 6 ， qa13 的值 .5 a4 a5 a62