直线方程中的对称问题

1、。直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 通过几道典型例题，介绍这几类对称问题的求解策略.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例 1求点 A （2 ，4 ）关于点 B（3 ，5 ）对称的点 C 的坐标 .分析易知 B 是线段 AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.2x32解由题意知， B 是线段AC 的中点， 设点

2、 C（ x，y），由中点坐标公式有，4x52x4解得，故 C（4 ，6 ）.y6点评解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质 AB=BC ，以及 A ， B， C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：两点连线与已知直线斜率乘积等于-1 ，两点的中点在已知直线上 .例 2求点 A （1 ，3 ）关于直线 l ：x+2y-3=0的对称点 A 的坐标.分析因为 A ，A 关于直线对称，所以直线 l 是线段 AA 的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口 .解据分析

3、，直线l与直线 AA 垂直，并且平分线段 AA ，设A 的坐标为（x，y），则AA 的中点B 的坐标为1x3y?,?ky32?,?2AAx?.11x23y3022由题意可知，y3 ?11x123x3?,?解得5. 故所求点A 的坐标为1 .155y5三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题， 可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的 .我们往往利用平行直线系去求解.例 3求直线 2x+11y+16=0关于点 P（ 0， 1）对称的直线方程 .-可编辑修改 -。分析本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该

4、点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.|1116 | 11c |由点到直线距离公式，得，2211222112即 |11+c|=27 ，得 c=16 （即为已知直线，舍去）或c=-38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二在直线 2x+11y+16=0上取两点 A （ -8 ，0 ），则点 A（ -8 ， 0 ）关于 P（0 ，1 ）的对称点的B（ 8 ， 2 ） . 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将 B（8 ，2

5、）代入，解得 c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出 c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：两直线平行，两直线相交. 对于，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例 4求直线 l 1：x-y-1=0关于直线l2： x-y+1=0对

6、称的直线l 的方程 .分析由题意，所给的两直线l1， l2 为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解根据分析， 可设直线 l 的方程为 x-y+c=0，在直线 l1 ：x-y-1=0上取点 M（ 1 ，0 ），则易求得 M 关于直线 l2： x-y+1=0的对称点N （-1 ， 2 ），将 N 的坐标代入方程 x-y+c=0 ，解得 c=3 ，故所求直线 l 的方程为 x-y+3=0.点评将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式， 然后再在直线

7、l2 上的任取一点， 在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例 5试求直线 l1 ：x-y-2=0关于直线 l2 ：3x-y+3=0对称的直线 l 的方程 .分析两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.xy20解得 l1 ， l2 的交点 A5 ?,?9解由y30，3x22设所求直线 l 的斜率为k ，由到角公式得，31k3311，所以 k=-7.13k由点斜式，得直线l 的方程为 7x+y+22=0.-可编辑修改 -。点评 本题亦可以先求 l1 ， l2 的交点 A，再在直线 l1 上取异于点 A 的任意点 B，再求点 B 关于点 A 的对称点 B，最后由A ，

8、B两点写出直线 l 的方程 .总结：（ 1 ）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a 0 对称的直线方程，先写成a(x-a 0)+by+c+aa0=0的形式，再写成a(a 0-x)+by+c+aa0 =0形式，化简后即是所求值.（ 2 ） 一 般 的 ， 求 与 直 线ax+by+c=0关 于y=b 0 对 称 的 直 线 方 程 ， 先 写 成ax+b(y-b0 )+c+bb0 =0的形式，再写ax+b(b0 -y)+c+bb0=0成形式，化简后即是的求值.（ 3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x 换成 -x ，把y 换成 -y ，化简后即为所求.（ 4）一般地直 （曲）线 f(x ，y)=0 关于直线y=x+c的对称直 （曲）线为 f(y-c ，x+c)=0.即把 f(x ， y)=0中的 x 换成 y-c 、 y 换成 x+c 即可 .（ 5）一般地直 （曲）线 f(x ，y)=0关于直线y= -x+c的对称直（