7A版1999考研数一真题及解析

1、7A 版优质实用文档1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、填空题 (本题共5个小题，每小题 3分，满分 15分。把正确答案填写在题中横线上。)11(1) lim 2x 0 x2 xtanx d x 2(2) dx 0 sin(x t)2dt(3) y 4y e2x 的通解为 y(4)设n阶矩阵A的元素全为 1 ，则A的n个特征值是(5)设两两相互独立的三事件 A,B和C满足条件：ABC ,P(A) P(B) P(C) 7A 版优质实用文档, P(A B C) 9 ,2 16则 P(A)、选择题 (本题共5小题，每小题 3分，满分 15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要

2、求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。(1) 设 f ( x)是连续函数， F(x)是 f (x)的原函数，则 ()(A)当 f(x) 是奇函数时， F ( x)必是偶函数。(B)当 f (x) 是偶函数时， F(x)必是奇函数。(C)当 f (x) 是周期函数时， F ( x)必是周期函数。(D)当 f(x) 是单调增函数时， F ( x)必是单调增函数。1 cosx,x 0(2)设 f(x)x其中 g( x)是有界函数，则 f(x)在x 0处()(A)极限不x存g在( x)(,Bx)极0限存在，但不连续(C)连续，但不可导 (D) 1可导(3)设 f (x)1 an1 1 3 3(A)

3、12(B) 12 (C) 34 (D) 34x, 0 x a2,S(x) a0an cosn x, x , 其中1 2 n 11 2 2x, x 1 520 f ( x)cos n2 xdx,( n 0,1,2, ),则S等于()1 3 347A 版优质实用文档(4) 设A是m n矩阵， B是 n m矩阵，则(A)当 m n时，必有行列式 AB 0(B)当 m n 时，必有行列式 AB 0(C)当n m时，必有行列式 AB 0(D)当 n m时，必有行列式 AB 0(5) 设两个相互独立的随机变量 G和Y分别服从正态分布 N (0,1) 和 N (1,1) ，则 11(A) P X Y 0.(

4、B) P X+Y 1 .(C)P X-Y 0 1.(D) P X-Y 1 1.22三、(本题满分 5 分)设 y y(x)，z z(x)是由方程 z xf (x y)和F (x, y, z) =0所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 dz。dx四、(本题满分 5 分)求 I L ex sin y b(x y) dx ex cosy ax dy, 其中 a,b 为正常数， L为从点A 2a,0 沿曲线 y= 2ax-x2 到点O (0,0) 的弧.五、(本题满分 6 分)设函数 y x x 0 二阶可导，且 y x 0 ， y 0 1.过曲线 y y x 上任意

5、一 点 P x, y 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x轴所围成的三角形的面积 记为 S1，区间 0,x 上以 y y x 为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 S2 恒为 1，求此曲线 y y x 的方程 .六、(本题满分 6 分)试证：当 x 0时， x2 1 lnx x 1 2.七、(本题满分 6 分)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 见图，已知井深 30m 30m,抓斗自重 400N ,缆绳每米重 50N ，抓斗抓 起的污泥重 2000N ，提升速度为 3m/ s ,在提升过程中，污泥以 20N/7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档的

6、速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重 力需作多少焦耳的功？ （说明： 1N 1m 1J;其中m,N,s,J 分别表示 米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、（本题满分 7 分）x2 设S为椭球面 x面，2y z2 1的上半部分，点 P（x, y, z） S,为S在点P处的切平 22（x,y,z） 为点O （0,0,0） 到平面的距离，求 z dS.S （ x, y, z）九、（本题满分 7 分）n十、（本题满分 8 分） a 设矩阵 A1b0属于 0 的一个特征向量为51cc3 ,其行列式 A 1,又A的伴随矩阵 A* 有一个特征值 a(

7、 1, 1,1)T ,求 a,b,c 和 0的值.设 an 04 tann xdx,1(1) 求 1 an an 2 的值；n 1n a(2) 试证：对任意的常数 0,级数an 收敛n1n十一、 （ 本题满分 6 分）设A为m阶实对称矩阵且正定， B为m n实矩阵， BT 为B的转置矩阵，试证： BT AB为正定矩阵的充分必要条件是 B的秩 r B n.十二、 （ 本题满分 8 分）设随机变量 G与Y相互独立， 下表列出了二维随机变量 X,Y 联合分布律及关于 G和关于 Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处 .Yy1y2y3P X xipiG7A 版优质实用文档37A 版优

8、质实用文档设总体 G的概率密度为十三、 ( 本题满分 6 分)6x其他3 ( x),0 x f (x) 3X1,X2, , Xn是取自总体G的简单随机0样,本 .(1)求的矩估计量(2) 求 的方差 D .1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题，每小题 3分，满分15 分.把正确答案填写在题中横线上 .) (1)【答案】 1.3【分析】利用 x 0 的等价变换和洛必达法则求函数极限 .详解】方法1：洛 limx011x2 xtanx222lim 23x2x 0 3x211 x2 xtanx sinx xcosx sin x xlim3x 0x3limx0

9、2sec x 1方法 2：limtanx x tanx x lim 2 tanx xlim 2 x 0 x2 tanx 2 x 0 tan2 x x2 1 tanx xlim 2 x 0 3x2 31 cosx2xlxim0sin x xcosxlxim02xsin x x 0 x sin xcosx cosx xsinx sinx 1 洛 lim 2limx 03x2x 0 3x 37A 版优质实用文档d x 2 d 0 2 d 0 sin(x t) dt x sinu du dx 0 dx x dx (3) 【答案】 y C1ex 2 20 sinu2du sin x2C2 1x e2x,

10、其中C1,C2为任意常数 .4分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解2x详解】原方程对应齐次方程 y 4y 0 的特征方程为： 2 4 0,解得1 2, 2 2，故 y 4y 0的通解为 y1 C1e 2x C2e2x,由于非齐次项为 f(x) e2x ,因此原方程的特解可设为 y* Axe2x, 代入原方程可 1求得 A 1 ，故所求通解为 y y1 y* C1e 2x4(4) 【详解】因为 1 1 . 1C2 1 x e242xEA(对应元素相减 )两边取行列式，EA提取第1列1 (1 n.). 的公因子n-1( n)1把第 2， ，1 . 11加到.第1列11 . 1n列

11、n112行 .1.3行 1行n ( 1n). 1. 11. 1. .0. . 1n-1n行 1行00令 E A ( n) 0，得 1 n(1重) ， 2 0(n 1)重)，故矩阵A的n个特征值是n和0( (n-1)重)(5) 【答案】 1 4详解】根据加法公式有P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AC) P(AB) P(BC) P(ABC)因为 P(A) P(B) P(C)，设 P(A) P(B) P(C) p由于 A,B,C 两两相互独立，所以有2P(AB) P(A)P(B) p p p2 ，2P(AC) P(A)P(C) p p p2 ，2P(BC) P(B)P(C) p

12、p p2 ，7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档又由于 ABC ，因此有 P(ABC) P( ) 0,所以 P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AC) P(AB) P(BC) P(ABC)2 2 2 2 p p p p p p 0 3p 3p又P(A B C) 9 ，从而P(A B C) 3p 3p2 9 ，则有 3p 3p2 9 0 16 16 16 331p p 0 ，解得 p或 p1644111因 P(A) P(B) P(C) p ，故 p，即 P(A)244二、选择题(1)【答案】 (A) 【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性 .xf (x)的原函数

13、 F (x)可以表示为 F(x) 0 f (t)dt C,于是x u t xF( x) 0 f (t)dt C 0 f( u)d u C.当 f (x) 为奇函数时， f ( u) f (u) ，从而有xxF( x) 0 f (u)du C 0 f(t)dt C F(x) 即F(G)为偶函数.故(A)为正确选项 .(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：f(x) x2是偶函数，但其原函数 F(x) 13x3 1不是奇函数，可排除 (B)；2 1 1f(x) cos2 x是周期函数，但其原函数 F(x) 21x 41 sin 2x不是周期函数， 可排 除(C)；f(x) x在区间 ( , )内是

14、单调增函数，但其原函数 F(x) 1 x2在区间2( , )内非单调增函数，可排除 (D).(2)【答案】 (D)【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以1 从函数可导性入手 x 因为 f (0) lim f(x) f (0) lim 1 cosx lim 2 0,x 0 x 0x 0 x x x 0 x x7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档f (x) f (0)x2g(x)f (0) lim lim lim xg(x) 0,x 0x 0 x 0 x x 0从而， f (0)存在，且 f (0) 0 ，故正确选项为 (D).(3) 【答案】 (C)详解】由题设知，应先将 f (x)

15、从0,1)作偶延拓，使之成为区间-1,1 上的偶函数， 然后再作周期 (周期 2)延拓，进一步展开为傅里叶级数，5111S( ) S( 2 ) S( ) S( )22221而x 1是 f ( x)的间1断点，按狄1利克雷定1理有，2 1 f (12 0) f(21 0) 12 1 3 S(1)2 2 2 3.2 2 2 4(4) 【答案】 B详解】 方法1：A是m n矩阵， B是n m矩阵，则 AB是m阶方阵，因r(AB) min r(A),r(B) min m,n .当m n时，有 r(AB) min r(A),r(B) n m.(AB)x 0的系数矩阵的秩小于未 知数的个数 )，故有行列式

16、 AB 0，故应选 (B).方法 2： B 是 n m矩阵,当 m n 时,则 r(B) n (系数矩阵的秩小于未知数的个数 )， 方程组 Bx 0 必有非零解，即存在 x0 0 ，使得 Bx0 0 ，两边左乘 A ，得ABx0 0，即 ABx 0有非零解，从而 AB 0，故选 (B).方法 3 ：用排除法(A) m n ，(C)n m ，(D) n m ，1取 Am n,Bn m0m n 0 nm取 Am n1 0 ,Bn m取 Am n 1 0 ,Bn m0 , AB01 , AB 0 ，, AB 1 ， AB 0 ，(A) 不成立0AB 0 ，(C)不成立AB 1，(D) 不成立，故选

17、(B).(5) 【答案】 B详解】 根据正态分布的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档正态分布 .因X和Y相互独立，且 X N (0,1) ， Y N (1,1)，所以22T1 X Y N(u1, 12),T2 X Y N(u2, 22)其中 u1E(XY)，12D(XY)， u2E(XY)，22D(X Y)由期望的性质： E(T1) E(X Y) EX EY 0 1 1，E(T2) E(X Y) EX EY 0 1 1由独立随机变量方差的性质： D(T1) D(X Y) DX DY 1 1 2D( 2T )D( X )Y D X D1 Y1

18、 2所以T1 X Y N(1,2) ，T2 X YN( 1,2)（一般来说遇到正态分布的小题，主要就考两点，标准化和对称性，考虑问题也是从这两点出发 ）X Y N(1,2)2) ，则 X u N (0,1)A选项： P X Y 0 1.因T1 2 由标准化的定义：若 X N（u, 所以， X Y 1 N （0,1） ，将其标准化有P X Y 0 P X Y 1 0 1 P X Y 1 12 2 2 2 （保证变换过程中概率不变，所以不等号的左边怎么变，右边也同样的变化）又因为标准正态分布图像是关于 y 轴对称，所以X Y 1 1X Y 111P X Y 1 0 1，而P X Y 111，所以A

19、错.2 2 2 2 2B选项： P X Y 1 1.2X Y 1 1 1 X Y 1 1将其标准化有： P X Y 1 1 1 P X Y 1 0 1 （根据标准正态分布的对称性） 故B正确.C选项： P X Y 0 1.27A 版优质实用文档7A 版优质实用文档将其标准化有： PX Y ( 1) 0 ( 1) P X Y 1 121 D选项： P X Y 1 .2X Y ( 1) 1 ( 1) X Y 1P2y,z) 0 的两端对 x求导数，得将其标准化有： P22 详解】分别在dz z xf (x y) 和 Fd(yx,f (x,y) x 1 f (x,y) dx dx (Fxx, y)F

20、ddyxy dyddxzFz fd(zx, y0) xf (x,y) Fy dy 解此方程组，y得dxdzdx四【详解】xf整理后得dy dz12，故D错.zxxdfxf xfFyFxxf1FyFzFdyx dxdx dx dz( f xf )Fy xf Fz(f Fxyf )FxfyFzxfFz,(Fy xfFz 0)方法 1：凑成闭合曲线，应用格林公式 .添加从点 O(0,0) 沿 y 0 到点 A 2a,0 的有向直线段 L1 ,如图，则Iex sin y b(x y) dx ex cosy ax dyL L1ex siny b(x y) dx ex cosy ax dy L1利用格林公

21、式，前一积分 I1 Q P dxdy1 D x y D 2其中D为 L1 + L所围成的半圆域，后一积分选择 x为参数，得 L1: xx, 0 x 2a , y02a 2可直接积分 I2( bx)dx 2a2b ，故 Idxdy (b a)dxdya2(b a)D223 I1 I 2 2 a2b a3. 1 2 2方法2 ：将曲线积分分成两部分，其中一部分与路径无关，余下的积分利用曲线的23参数方程计算 .I L ex sin y b(x y) dx ex cosy ax dyL ex sin ydx ex cos ydy Lb(x y)dx axdy7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档前

22、一积分与路径无关，所以ex sin ydx ex cos ydy ex siny(0,0)(2 a,0) 0对后一积分，取 L 的参数方程x a acostdx asintdt，则 ，t 从0到 ，得y asintdy a costdtL b(x y)dx axdy2 2 2 2 3 3 2( a2b sin t a2bsin t cost a2bsin2t a3 cost a3 cos2 t)dt2 1 2 1 3 2a b a b a 222 1 2 1 3 2 3从而 I 0 ( 2a2ba2ba3)2 a2ba32 2 2 2五【详解】如图，曲线 y y(x)上点 P(x,y)处的切线

23、方程为 Y y(x) y(x)(X x)所以切线与 x 轴的交点为 x y ,0y由于 y(x) 0, y(0) 1,因此 y(x) 0 (x 0)1于是 S1 y12又 S2yxxyx0 y(t)dt ，2 y2 2y根据题设2S1 S2 1,即2 yxy(t)dt 1,两边对 x求导并化简得 yy y22y 0这是可降阶得二阶常微分方程，令 p y,则 y dp dp dydx dy dx则上述方程可化为 yp dp p , 分离变量得 dp dy ，解得 p C1y,即dy p y从而有 y C1e C2 ，根据 y(0) 1, y (0) 1, 可得 C1 1,C2 0,dpp，dyd

24、ydxC1y,故所求曲线得方程为 y e六【详解】构造函数，利用函数的单调性，2证法1：令 f(x) x2 1 ln x x 1 .易知 f(1) 01又f (x) 2xlnx x 2 ,f (1) 0x1f (x) 2ln x 1 2 , f (1) 2 02x2(x2 1)f (x) 3x7A 版优质实用文档107A 版优质实用文档可见，当0 x 1时， f (x) ；当1 x 时， f (x)因此， f (1) 2为 f ( x)的最小值，即当 0 x 时，f (x) f (1) 2 0，所以 f (x)为单调增函数 .又因为 f (1) 0 ，所以有0 x 1时 f (x) 0 ；1

25、x 时 f (x) 0， 所以利用函数单调性可知， (f 1)为 f (x)的最小值，即 f (x) f(1) 0 所以有 x 0 时， x2 1 ln x x 1 .证法 2：先对要证的不等式作适当变形，当 x 1时，原不等式显然成立；当 0 x 1时，原不等式等价于x1ln xx1x1当1 x 时，原不等式等价于 ln x xx 11x1令 f(x) ln xx 1 21 2 x2 1则f(x) 2 2 0 x 0x x 1 x x 1又因为 f (1) 0, 利用函数单调性可知当 0 x 1时，f (x) 0, 即f(x) 0, 即 ln x x 1; 当1 x 时，x1ln xx1x1

26、11综上所述，当 x 0时， x2 1 lnx x 1 2.七【详解】建立坐标轴如图所示，解法1 ：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功 W W1 W2 W3，其中 W1是克服抓斗自重所作的功； W2 是克服缆绳重力作的功； W3 为提出污泥所作的功 .由题意知W1 400N 30m 12000J.将抓斗由 x处提升到 x dx 处，克服缆绳重力所作的功为 dW2= 缆绳每米重缆绳长提升高度50(30 x)dx,30从而 W2 0 50(30 x)dx 22500J.7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档在时间间隔 t,t dt 内提升污泥需做功为dW3 (原始污泥重 漏掉污泥重) 提升高度 (

27、3dt)(2000 20t)3dt将污泥从井底提升至井口共需时间 30m 10s,3m/s10所以 W3 0 3(2000 20t)dt 57000J.因此，共需做功W W1 W2 W3 (12000 22500 57000)J 91500J解法2 ：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为 W ，当抓斗运动到 x处时，作用力 f ( x)包括抓斗的自重 400N ,缆绳的重力 50(30 x)N ，污泥的重力x(2000 20)N,320 17017085 23900xdx 3900xx23330于是 W 0即 f(x) 400 50(30 x) 2000 x 3900 x, 3330300 1

28、17000 24500 91500J八【分析】先写出切平面方程，然后求 (x,y,z) ，最后将曲面积分化成二重积分 .详解】点 P(x,y,z) S，S在点 P处的法向量为 n x, y,2 z ，设(X,Y,Z)为 上 任意一点，则 的方程为yY zZ 12xx(X x) y(Y y) 2z(Z z) 0 ，化简得 X2由点到平面的公式， O(0,0,0) 到 的距x离 (x,y,z) Ax By Cz22x y z24422 z2x y y z z22A2 B22 C2 2从而 z dS z x y zS (x,y,z) S 4 4 用投影法计算此第一类曲面积分，将 S投影到 xOy 平

29、面，其投影域为D(x,y)|x2 y2 222x2 y222 z由曲面方程知 z 1zx2,(x, y) D,于是yx22x2 y221x22yy27A 版优质实用2文档127A 版优质实用文档2 d x y4 2 z12dS 2 21 2 2 2 d 极坐标 d (4 r 2)rdr1 1 n 2 1九【详解】 (1)因为 an an 204 tann x(1 tan2 x)dx04tan1 n因此 dS 1zzx故有z dSzS (x,y,z) S 4 41 2 214 4 x2 y24DD14 x2 y22d2y2又由部分和数列nSni1有 lnim Sn 1, n1因此an an 2

30、1.n1n(2)先估计 an 的值，因为1ai ai 2 i04 tann xd tan xi(i11)i 1 i(i 1)(1i i 1 itanx ti 11) 1tann xdx ，令 t tanx ，an 01 tn 20 1 t21n (n 1)由于 1 0，所以1 1 收敛，则 dt sec2 xdx ，所以 an所以nan01tndt1 ,0 n 11n 1 ,1a从而 an 也收敛 .n1n21nxsec2 xdxn1tndt0n1n(n 1)dt2即 dx 1 t十【详解】根据题设， A*有一个特征值 0 ，属于 0的一个特征向量为( 1, 1,1)T ,根据特征值和特征向量

31、的概念，有 A*0把 A 1代入 AA* AE中，得 AA* AE E,则 AA*E.把A*0 代入，于是1 b 常数 0 乘以矩阵0 a也即 00a51cc3aa5b1(1cc)0 5 b 3(1 c) a0A , 即0Aa1c， 0 5 b 3AA1*A 01111c13 0，(需a1用1 0c)10( 5 b 3) 1矩阵相等，则矩阵的对应元0( a 1 c) 10( 5 b 3) 10( 1 c a) 1素都0相(1同，c)可得a1(1)(2)7A 版优质实用文档137A 版优质实用文档因 A 1 0， A的特征值0， A* 的特征值 * A 0，故 0 0由(1),(3)两式得0(

32、a 1 c)0( 1 c a) ，两边同除 0 ，得 a 1 c ( 1 c a)整理得 a c ，代入(1)中，得 0 1.再把 0 1代入(2)中得 b 3又由 A 1，b3 以及 aa1a5331 a0a按第3行展开 ( 1c ，有3行 1行a 1 a123a 1 a5 3 310 (其中 ( 1a120的指数 3，1分别是 1的行数和列2列 1列 531数)3(a 1) 2a a 3 1故 a c 2, 因此 a 2,b 3,c 2, 0 1.十一【详解】“必要性” .设BTAB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的实 n维列向量 x 0， 有 xT BTAB x 0,即 Bx T A B

33、x 0, 于是，Bx 0 ，即对任意的实 n维列向量 x 0， 都有Bx 0.(若Bx 0，则 A(Bx) A0 0矛盾).因此， Bx 0只有零解，故有 r B n(Bx 0有唯一零解的充要条件是 r B n).“充分性”.因 A为m阶实对称矩阵，则 AT A，故 BTAB BATBT BABT,根据实对称矩阵的定义知 BT AB也为实对称矩阵 .若r B n ，则线性方程组 Bx 0只 有零解，从而对任意的实 n维列向量 x 0，有 Bx 0.又 A为正定矩阵，所以对于 Bx 0有 Bx T A Bx xT BTAB x 0,故BT AB为正定矩阵(对任意的实 n维列向 量 x 0 ，有

34、xT BT AB x 0).十二【 详解】离散型随机变量边缘分布律的定义：pi P X xiP X xi ,Y yjpij,i 1,2,14jj7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档pj P Y yjP X xi,Y yjpij, j 1,2,ii（通俗点说就是在求关于 X 的边缘分布时， 就把对应 x的所有 y 都加起来，同理求关于Y的边缘分布时，就把对应 y的所有 x都加起来 )故 P Y y1 p 1P X xi,Y y1pi1 即iiP Yy1 P X x1,Y y1PXx2,Y y1而由表知 P Yy1 1 ， P X x2,Yy11 ，所以681 1 1 P Xx1,Y y1 P Y y1PXx2,Y y16 8 24 又根据 X 和Y 相互独立，则有：因 P X x1,Y 所以 P X x1P X xi,Y yj P X xi P Y yj即 pij pi p jx 1P Y y11y1， P Y y1 1 ，而 P X x 1Y, y 1 P XP X x1,Y y1 24 1P Y y11 4再由边缘分布的定义有P X x1 P X x1,Y y1 P X x1,Y y2 P X x1,Y y3所以 P X x1,Y y3 P X x1 P X x1,Y y1 P X x1,Y y21114 2