中考二次函数专题复习

1、中考二次函数专题复习知识点归纳 ：一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如yax 2bx c （ a ，b ，c 是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而 b ，c 可以为零二次函数的定义域是全体实数2.二次函数 y ax 2bxc 的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax2 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴向上y 轴时，向下y 轴时，a 的绝对值越大，抛物线

2、的开口越小。性质x0时， y 随 x 的增大而增大；x 0y 随 x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 0x0时， y 随 x 的增大而减小；x 0y 随 x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 02. y ax2 c 的性质：上加下减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0 时， y 随 x 的增大而增大；x 0向上y 轴时， y 随 x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 c x0 时， y 随 x 的增大而减小；x 0向下y 轴时， y 随 x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 c 3. y2a x h 的性质：左加右减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴向上X=h时

3、，向下X=h时，2k 的性质：4. y a x h性质xh 时， y 随 x 的增大而增大；x hy 随 x 的增大而减小；xh 时， y 有最小值 0xh 时， y 随 x 的增大而减小；x hy 随 x 的增大而增大；xh 时， y 有最大值 0a 的符号开口方向顶点坐标对称轴向上X=h性质xh 时， y 随 x 的增大而增大；xh时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 有最小值 k 向下X=h时，xh 时， y 随 x 的增大而减小；y 随 x 的增大而增大；xh 时，xhy 有最大值k 三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h2h

4、，k；k ，确定其顶点坐标 保持抛物线 y ax2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： yax2bxc 沿 y 轴平移 : 向上（下）平移m 个单位， yax 2bxc 变成yax 2bxcm （或 y ax 2bxcm ） yax2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， yax2bxc 变成y a( xm) 2b( x m)c （或 ya( xm) 2b( xm)c ）四、二次函数yaxh2k 与 yax2bx c 的比较从解析式上看，yaxh2

5、ax2bxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方k 与 y2b2b ，kb 2可以得到前者，即yaxb4ac，其中 h4ac2a4a2a4a五、二次函数yax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y2bxc 化为顶点式 ya( x2k ，确定axh)其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点 0 ，c、以及0 ，c关于对称轴对称的点2h ，c、与 x 轴的交点x1 ，0 ， x2 ，0（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的

6、交点 .六、二次函数yax2bxc 的性质1.当 a0时，抛物线开口向上，对称轴为xb，顶点坐标为b，4acb22a2a4a当 xb时， y 随 x 的增大而减小；当xb时，y 随 x 的增大而增大；当 xb2ab 22a2 a时， y 有最小值 4 ac4a2.当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为2a2b4ac b当 xb时， y 随x 的增大而增大；当xb时， y 随x 的增大而减，4a2a2a2a2小；当 xb时， y 有最大值 4ac b2 a4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式： yax2bxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；2.顶点式： ya(

7、 xh)2k （ a ， h ， k 为常数， a0 ）；3.两根式： ya( xx1 )( xx2 ) （ a0 ， x1 ， x2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即 b 24ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数yax2bxc中，a 作为二次项系数，显然a0 当 a0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当 a0 时，抛物线开

8、口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴 在 a 0 的前提下，当 b0时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时，b0，即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0时，b0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时，b0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧2

9、ab 决定了抛物线对称轴的位置总结起来，在a 确定的前提下，ab 的符号的判定：对称轴 xby 轴左边则 ab0 ，在 y 轴的右侧则 ab0 ，概在2a括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项 c当 c0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；当 c0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析

10、式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称yax2bx c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是yax2bx c ；y a xh2ya x h2k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是k ；2. 关于

11、 y 轴对称yax2bx c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a xh2y a x h2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是k ；3. 关于原点对称yax2bxc 关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2yax h2k ；k 关于原点对称后，得到的解析式是4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）yax2bxc 关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bxcb2；222aya xk 关于顶点对称后，得到的解析式是ya x hhk 5. 关于点 m，n 对称2yaxhk关于点m，n对称后，得到的解析式是2ya xh2m2nk根据对称的性质，显然

12、无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线） 的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax2bxc0 是二次函数 y ax2bx c 当函数值 y0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数： 当b24ac0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1 ，0 ，B x2，0(x1 x2 ) ，其中的x

13、1 ，x2 是一元二次方程ax2bxc 0 a 0 的两根这两点间的距离AB x2 x1b24aca. 当0 时，图象与 x 轴只有一个交点； 当0 时，图象与 x 轴没有交点 .1当 a0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 ；2 当 a0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 2.抛物线y ax2bxc 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c) ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数yax2b

14、xc 中 a ， b ， c的符号，或由二次函数中a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.抛物线与有两个交点抛物线与x 轴x 轴二次三项式的值可正、可零、可负二次三项式的值为一元二次方程有两个不相等实根一元二次方程有两个相等的实数只有一个交点非负根抛物线与x 轴二次三项式的值恒一元二次方程无实数根.无交点为正 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc(a0) 本身就是所含字母x 的二次函数；下面以 a 0 时为例，揭示二次函数、二次

15、三项式和一元二次方程之间的内在联系师生共同学习过程 ：知识梳理：练习：1.抛物线y3( x1)22 的对称轴是（）A x1B x1Cx2D x22.要得到二次函数yx22x2 的图象，需将yx2 的图象（）A 向左平移2 个单位，再向下平移2 个单位B 向右平移2 个单位，再向上平移2 个单位C向左平移 1 个单位，再向上平移1 个单位D 向右平移 1 个单位，再向下平移1 个单位最新考题1.( 2009 年四川省内江市 )抛物线 y(x 2)23 的顶点坐标是（）A（ 2，3）B（ 2， 3）C（ 2， 3）D（ 2， 3）2.（ 2009 年泸州） 在平面直角坐标系中，将二次函数y 2x

16、2的图象向上平移2 个单位，所得图象的解析式为A Cy2x 22By2( x2)2D2y2x2知识点2：二次函数的图形与性质例 1：如图 1 所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点（1， 2）和（ 1，0）且与 y 轴交于负半轴 .第（ 1）问：给出四个结论：a0 ； b0; c0 ； a+b+c=0 ，其中正确的结论的序号是.第（ 2）问：给出四个结论：abc0; a+c=1; a1.其中正确的结论的序号是_.例 2：抛物线y= x 2+（ m 1） x+m 与 y 轴交于（ 0， 3）点，（ 1）求出m 的值并画出这条抛物线；（ 2）求它与 x 轴的交点和抛物线顶

17、点的坐标；（ 3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方 ?（ 4）x 取什么值时， y 的值随 x 的增大而减小？思路点拨：由已知点（0， 3）代入 y= x2+ （ m 1） x+m 即可求得 m 的值，即可知道二次函数解析式，并可画出图象，然后根据图象和二次函数性质可得（2）（ 3）（ 4） .解： （ 1）由题意将（ 0， 3）代入解析式可得m=3 ， 抛物线为 y= x2+2x+3.图象（图 2）：（ 2）令 y=0，则 x2+2x+3=0 ，得 x1 = 1， x2=3； 抛物线与 x 轴的交点为（ 1， 0），（ 3， 0） . y= x 2+2x+3= （ x 1）2+4， 抛物线

18、顶点坐标为（ 1，4）；（ 3）由图象可知：当 1x1 时， y 的值随 x 值的增大而减小 .练习：的是（）1.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确A h mB k nC k nD h 0，k 02.函数 y =ax 1与 y =ax2 bx 1（ a0）的图象可能是（）最yyyy新考题1.D（ 20091111O GB深圳）二xAF Co次 函 数ooxoxxy ax 2bxcABCDE的 图 象如图所示，若点A （ 1， y1 ）、 B （ 2， y2）是它图象上的两点，则y1 与 y2 的大小关系是（）A y1y2B y1y2C y1 y2D不能确定2.（ 20

19、09北京）如图， C 为 O 直径 AB 上一动点，过点C 的直线交 O 于 D、E 两点，且 ACD=45 ， DF AB 于点 F,EG AB 于点 G,当点 C 在 AB 上运动时，设AF= x ， DE= y ，下列中图象中，能表示y 与 x 的函数关系式的图象大致是（）3.（ 2009年台州）已知二次函数yax2bx c 的 y 与 x 的部分对应值如下表： 013 131则下列判断中正确的是（）A 抛物线开口向上B抛物线与y 轴交于负半轴C当 x 4 时， y 0D 方程 ax2bxc0 的正根在3 与 4 之间知识点3：二次函数的应用例 1：如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的

20、高度h （单位：米）与小球运动时间t （单位：秒）的函数关系式是h9.8t4.9t 2 ，那么小球运动中的最大高度h最大随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1， 2，3， 4，5， 6， 7， 8）；已知点（x， y）都在一个二次函数的图像上（如图6 所示），则6 楼房子的价格为元 /平方米思路点拨：观察函数图像得：图像关于x4 对称，当 x 2时， y=2080 元 . 因为 x=2 到对称轴的距离与 x=6 到对称轴的距离相等。所以，当 x6时， y=2080 元 .练习：1.出售某种文具盒，若每个获利 x 元，一天可售出 6 x 个，则当 x 元时，一天出售该种文具盒的总利润 y 最大2.

21、如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时，宽 20cm，水位上升3m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10cm.（ 1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥桥顶？最新考题1.（ 2009 年台湾）向上发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 公尺，且时间与高度关系为 y=ax2 bx。若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？（）A 第8秒 B. 第10秒C. 第12秒 D. 第15秒2.(2009 年河北 )某车的刹车距离y（ m）与开始刹车时的

22、速度x（ m/s）之间满足二次函数 y1x2（x 0），若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（）20A 40 m/sB 20 m/sC 10 m/sD 5 m/s中考压轴题分析：例： . 如图，直线 y3 x3 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A、 B， E 经过原3点 O及 A、B 两点（1）C 是 E 上一点，连结BC交 OA于点 D，若 COD CBO，求点 A、B、 C的坐标；（2）求经过 O、C、 A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长 BC到 P，使 DP 2，连结 AP，试判断直线PA与 E 的位置关系，并说明理由解：（ 1）连结 EC交 x 轴于点 N（如图）

23、A 、B 是直线 y33 分别与 x 轴、 y 轴的交点 A （3，0），x3B(0,3 ) 又 COD CBO CBO ABC C 是的中点 EC OA ON1OA3, ENOB3 2222连结 OEECOE3 NCECEN3 C 点的坐标为2（ 3,3 ）22（ 2）设经过 O、 C、 A 三点的抛物线的解析式为yax x3 C（3,3） 3a 3 ( 33) a2 3 222229 y2 3 x2283 x 为所求9（ 3） tanBAO3， ，3BAO 30ABO 50由（ 1）知 OBD ABDOBD1ABO16030 22 OD OB tan30 1 DA2 ADC BDO60，

24、PD AD 2 ADP是等边三角形 DAP60 BAP BAO DAP30 60 90即PA AB即直线 PA是 E 的切线课后检测：一、选择题1抛物线 y= 2(x 1)2 3 与 y 轴的交点纵坐标为（）（A） 3（B） 4（C） 5（） 12将抛物线 y=3x2 向右平移两个单位，再向下平移4 个单位，所得抛物线是（）(A) y=3(x+2)2+4 (B) y=3(x 2)2+4(C) y=3(x 2) 2 4(D) y=3(x+2)2 431x2， y = 3x22的图象开口最大的是（）抛物线 y =， y = x21x22(C) y =x2(D) 无法确定(A) y =(B) y =

25、 3x24二次函数 y =x2 8x+c 的最小值是0，那么 c 的值等于（）(A)4(B)8(C)4(D)165抛物线 y= 2x2+4x+3 的顶点坐标是（）(A)( 1， 5)(B)(1 ， 5)(C)( 1， 4)(D)( 2， 7)6过点 (1， 0) ， B(3 ， 0)， C( 1，2) 三点的抛物线的顶点坐标是（）(A)(1 ，2)（B） (1，2(C) ( 1， 5)(D)(2 ，1)437 若二次函数y= ax2+c，当 x 取 x1，x2（ x1x2）时，函数值相等，则当x 取 x1 +x2 时，函数值为（）（ A ） a+c? （ B ） a c? （ C） c? （

26、D） c8 在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s5t22t ，则当物体经过的路程是88 米时，该物体所经过的时间为（）(A)2 秒(B)4 秒(C)6 秒(D)8 秒9如图2，已知：正方形ABCD 边长为1， E、 F 、 G、 H 分别为各边上的点，且 AE=BF =CG=DH ， 设小正方形EFGH 的面积为 s ， AE 为 x ，则 s 关于 x 的函数图象大致是（）图 2（A）（B）（C）（D）10抛物线y=ax2 +bx+c 的图角如图3，则下列结论：abc0； a+ b+ c=2 ； a 1 ；2 b1其中正确的结论是（）（ A） ? （B ） ? （

27、 C） ? （ D ）二、填空题1已知函数y= ax2+bx+ c，当 x=3 时，函数的最大值为4，当x=0 时， y= 14，则函数关系式 _ 2请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与 y轴的交点坐标为 (0， 3)的抛物线的解析式3函数 yx24 的图象与 y 轴的交点坐标是 _ 4抛物线 y= ( x 1) 2 7 的对称轴是直线5二次函数 y=2x2 x 3 的开口方向 _ ，对称轴 _ ，顶点坐标 _ 6 已知抛物线y=ax2+ bx+c(a 0)与 x轴的两个交点的坐标是(5 ， 0)， ( 2， 0)，则方程ax2 +bx+ c=0( a 0)的解是 _ 7用配方法把二次函数 y=2x2 +2x5 化成 y= a(x h)2+