20XX椭圆2016新编知识点完美总结重点讲义资料

1、第5讲：椭圆 一、椭圆及其方程 的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。、椭圆的定义：把平面内与两个定点 1F,FFF2121其中：这两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点的距离叫做焦距(记为2c) (PF?PF?FF)，则动点 的轨迹为线段； 注意：若FF P211221 (PF?PF?FF)，则动点的轨迹无图形 . 若 P21122、椭圆的标准方程： yy MF 2ccc OxFFOxc12M F12222xyyx?1?1（ 0） （0） aabb 2222abab注意： (1)只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 222；在椭圆的两种标准方程

2、中，都有和 (2)bac?0b?a?22y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上已知方程判断焦点位置的方法是：看， (3)x(4)当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； x)c,0)0(?(c当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为， y)c,?(0),c(03、求椭圆标准方程的常用方法： (1)待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。即：主要步骤是先定位，再定量； c,a,b 注：焦点所在坐标轴的位置不确定时设椭圆标准方程要分两种情形；为了计算方便，有时也可设方程为22=1(m0，n0，mn)mx。+ny (2)定义法：由已知条

3、件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 22?6my?0mx?3的一个焦点为（0，2已知椭圆）求= 2例 .m 222可求出的值，根据关系分析：把椭圆的方程化为标准方程，由 c?bam2c?22yx?1?方程变形为解： 因为焦点在轴上，所以，解得y3?m6m2? 62m22?62m，适合故，所以又 552?m?m?c?3P，0已知椭圆的中心在原点，且经过点例，求椭圆的标准方程 3.，b3?a分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参1 22 数和（或）的值，即可求得椭圆的标准方程和baab22yx?0?1?a?b 轴上时，设其方程为解：

4、当焦点在x 22ba2x09?2221?y由椭圆过点，故椭圆的方程为 又，知，代入得，P039a1?b?1?ba?3 229ba22xy09?0b1?a?由椭圆过点 当焦点在轴上时，设其方程为，知，P031?y 2222baba22xy221?，故椭圆的方程为， 又，联立解得9b81?a?b?3a 981 例4.和求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过两点的椭圆方程)(?23A,(3,?2)1B 由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，分析：221?nymx? 可设其方程为，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程(，)00?nm?221?nymx? 解：

5、设所求椭圆方程为和(，)两点在椭圆上可得由)1(?2A3(3,?2),B0nm?0?22m?(3)?n?(?2)?1,3m?4n?1,22?yx11?1?故所求的椭圆方程为，即所以 ?nm? 15512m?n?1,51522?m?(?23)?n?1?1,?22yx?1表示椭圆，求的取值范围 例5.已知方程k k?53?kk?5?0,?3?k?0,得，且满足条件的的取值范围是，且 解：由4k?4kk?5k?3?k3?5?k?5?3?k,?k?5?0,?说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是 k5k?3?3?k?5?3?k?0,?出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示

6、椭圆 b?a0?a?b例6.的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨GAC16?ABCBC?AAB迹 GC?GB?20，再利用椭圆定义求解）由已知可得 分析：（1（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程 GGAA?yx，x，由中点为原点建立直角坐标系设1解： （）以所在的直线为点坐标为轴，GBCBC GC?GB?20，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点因，有，6?8GbCc10a?B22yx?01?y? 故其方程为 100362 22?yx?0?1?y?，则）设， （2 yG，y，Axx 36100x?，?x?22 yx?3?0y?1 由题意有代

7、入，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）xA? 324900y?y? 3?22过定点7. 的内部与其相内已知动圆，且在定圆例，?A03：364?yB?xP 切，求动圆圆心的轨迹方程P P满足的关系式分析：关键是根据题意，列出点 动点到两定点，解：如图所示，设动圆和定圆内切于点PPMB?即定点 距离之和恰好等于定圆半径，和定圆圆心，0?BA3，03 为两焦点，?8点的轨迹是以，?PA?PB?PM?PBBM BPA22yx22?1?的椭圆的方程：半长轴为4，半短轴长为 7?4?3b? 716本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求说明： 轨迹方程的

8、一种重要思想方法22yx ?1?MFF椭圆 ON 的距离为2，为例8.的中点，则上的点到焦点NM 119253 D8 4 B2 C （为坐标原点）的值为( )AO 2 F，由椭如图所示，设椭圆的另一个焦点为解：210?2aMF?MF以所，义圆第一定得218?10?2?10?MF?MF ，12 FMF?以所线，的中又因为为位ON2114?MFON? A，故答案为22 ：4、点与椭圆的位置关系2222yxyx0000?1?),yP(xxP(,y) ；）点；（2在椭圆外在椭圆上1（）点1 00002222baab22xy00?1?),yP(x （3）点在椭圆内 0022ab二、椭圆的简单几何性质 1

9、、范围： 2222，|x|a，|y|b椭圆位于直线yxa，bxa和yb围成的矩形里。 3 、椭圆的对称性2 轴、x轴、原点都是对称的；坐标轴是椭圆的对称轴，椭圆是关于y 原点是椭圆的对称中心；椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。6 练习 3、顶点、a, 0)椭圆和它的对称轴的交点叫椭圆的顶点；椭圆有四个顶点：A(1 分别叫做椭圆的长轴和短、BBb)；线段AA(a, 0)、B(0,b)、B(0, A2112221 ；叫做a叫做椭圆的长半轴长，轴；长轴的长等于2a，短轴的长等于2bb 椭圆的短半轴长。 OBF为椭圆的特征三角形。|a称|c, |OB|=b，则|BFRt在OBF中： |OF 4、离心率：c

10、2c?ee 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，即： a2a 222b?accb2?()e?1?e 的取值范围是因为，所以1?e0a?c?0 22aaaa 22ec?a?bac 就越接近越小，因此椭圆越扁；，从而，则越接近1 eacb ，从而，这时椭圆就越接近于圆。越接近于0，越接近于就越接近反之，0 ）（ B 例 的离心率为 若椭圆的连个焦点把长轴分成三等份，则椭圆1.211 无法确定 D. B. C. A. 336 三、椭圆第二定义 平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数的点的轨迹叫做椭圆。1、定义：e 其中：定点是椭圆的焦点；定直线是椭圆相应的准线；常数是椭

11、圆的离心率。注意： 22yx的准线称为右准线，)(c，0)(a?b?0对应于右焦点F?对?1 222ba22aa?)的准线为左准线x，对应于左焦点F(?c，0方程是x? 1cc e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。 2、椭圆的准线方程：2222aaaa?xl:?l?:y:ly?l:x ，上准线上准线y；轴上：焦点在x左准线焦点在轴上：下准线， 1212cccc的距离）：到焦点 FP3、焦半径（圆锥曲线上的点PF?ed?a?ex，利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，焦半径 0d表示P到与F其中：所对应的准线的距离。 4 FF, 即：ex?a?ex,PF?aPF?

12、e 点横坐标，左加右减x为为左、右焦点，P是离心率，其中：0210012F,Fey?aa?ey,PF?PF? 下加上减:为轴上：P点纵坐标，分别是椭圆的下、上焦点，y其中焦点在y0210012 ；（答：-35/3），则点P到右准线的距离为_P例（1）已知椭圆上一点到椭圆左焦点的距离为322yx1? 1625 、最值问题422yx之值最小， M，使内有一点）椭圆，F为右焦点，在椭圆上有一点例（2)1P(1,?1? MF2MP? 3426； M的坐标为_）（答：则点)1,?( 32222xxyy?1?1的区别和联系 四、椭圆与 )0a?b?( 2222abab2222xyxy?11? )?0a(a

13、?b?0)?b( 标准方程2222abab 图形 )c(0,?c)F,c,0)F(c0)F(0F(? ， ，焦点 221 焦范轴关轴和原点对对称性(?a,0)(0,?b)(0,?a)(?b,0) ， 顶点 性质b22a =，短轴长轴长 长轴长c(0?e?1)e? 离心率a22aax?y 准线方程ccPF?a?exPF?a?exPF?a?eyPF?a?ey ， ， 焦半径000012125 2222xyyx1?1?参数间的关系都有大小都相同；的，相同点：注意：椭圆形状、)0(a?(a?b?0)b? 2222bbaac222)1(0?ee? 和；，不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同

14、。c?ba? a 五、直线与椭圆 1、直线与椭圆的位置关系：0?0?0? 直线与椭圆相交；（2）（1）3）直线与椭圆相离。 直线与椭圆相切；（22yx?1?与椭圆1=0直线ykxm的取值范围是_（答：1，5）（5，例（3）恒有公共点，则 m522 ）；消元得一元二次方程，利用恒成立解得+）0?(5km?m)x)?10kx?5(1?0? 2、椭圆的切线22yyxxyx001?)yx,P( 上一点（1）椭圆处的切线方程为：；1?)0b?(a? 002222baba22yx222221? ；相切的条件为（2）直线Ax+By+C=0与椭圆Cb?ABa? 22ba)x,yP(（切点弦所在的直线）PP）过

15、椭圆外一点、引椭圆的两条切线，切点分别为PP，则直线（3221100yxyx00的方程为 1? 22ba 、弦长公式：3)（x,y),B(x,yA 、两点，则与圆锥曲线相交与若直线b?kx?yl:BA2112222 xy)x?1?AB?(x?k?x)?(y 弦长2121121()?|AB|() 221111222k221yx?4 及直线 已知椭圆例11.m?yx? ）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（1m102 2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程（ 5?22221?xy?41m4x?x 代入椭圆方程（解：1）把直线方程得，mx?y?55?22222?m?0m?1?5?16m?2m20?

16、4015x2?mx?m? 即，解得 2221m?m2?xxxx?x?x ）得，由（1，）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为（2， 2121215522m22m10?1?2?4?1?1? 根据弦长公式得：方程为解得x?y0?m? 555?6 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别说明： ；解决弦长问题，一般应用弦长公式这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式? ，可大大简化运算过程用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系）?的直线交椭例12. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为Fx 13 的长，圆于两点，

17、求弦ABAB222 x)x?4(1?k?)(x?AB?1kxx?x? 可以利用弦长公式求得，分析：221112 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求 利用直线与椭圆相交的弦长公式求解解：(法1) 222 3?3cx?AB1?xk ，因为焦点在，所以轴上，因为xx?4x?(1?k)(x?x)3ba?6?21212122yx?1?所以椭圆方程为 ，左焦点，从而直线方程为9x?y?3(?3,0)F3 93637220813x?723x?36?x?x?，为方程两根，所以由直线方程与椭圆方程联立得：设xx 2121134836?8222 3k? 从而， ?xx?x?4xAB?1?k(x?

18、x?1?k)(x?x) 221111221313 (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解22yx ?1?F?AF，由题意可知椭圆方程为在设则中，n?12?BF?12AFAF?nBFmm? 211122936?122222 ；，即?2?m?6(12?m)3?mFAF?AFFF?2AFFcos3?36? 2111122234866 ?mnFBF?nm?AB? 同理在，所以所以中，用余弦定理得 21133?43?4 利用焦半径求解法3)(2?723x?36?813x?0xx，它们分别是求出方程的两根先根据直线与椭圆联立的方程，的横坐BA21标 a?exAB?AFAFBFa?ex?BF，从而求出 ，再根

19、据焦半径1121114、点差法求中点弦问题 22yxABMxyABABabAB的斜率的一条弦，则的斜率和方程是椭圆1(已知弦的中点0)(，)，研究 0022ba2xb0ABAxyBxy)(， ，.为运用点差法求的斜率，设() 22112ya07 22yx ?11，1? 22ba2222xyxy ?2112BA两式相减得、都在椭圆上，0， 22ba22yx ?22，1? 22ba222xbbxxxbyy (x?x)(x?x)(y?y)(y?y)011220k21112221 故，即.0? AB222 yyyyaxxaa 22ab2210012x2?1?y 已知椭圆例10. 211?（1）求过点且

20、被平分的弦所在直线的方程； ，PP? 22?（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； ?2A1，）过3 （引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足， ?k?kOQQOPOP OQOP2求线段中点的轨迹方程 PQM分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法 ?yxRN，x，Myx，y，则解：设弦两端点分别为，线段的中点 MN2112? 得0y?yx?xx?2yy?x?22?2xy?2，2212111211?由题意知，则上式两端同除以，有x?xx?x22，?x?2y2?212122 ?y?y?2x，xx?21?x?xy20y?，

21、? 212211x?x?21，yy?2?y?21y?y12?0x?2y 将代入得 x?x21 y?y11112?x?y代入，得（1）将 ，故所求直线方程为： 0y?3?2x?4 x?x22221112222x?2y?0?36?4?6y6?6y?0符合题意，得 将代入椭圆方程为所求，0?32x?4y 44y?y21?2代入得所求轨迹方程为：）将2（椭圆内部分） （0?4y?x x?x21y?yy?12221?2x?2y?2y?0x（椭圆内部分） （3代入得所求轨迹方程为：）将 2x?x?x2122?xx?22212y?y?）由得：4， （， 212222222?xxy4yxx?2y?yy?24?x?将平方并整理得， ，212112218 2x24xx?22122yy?4y? 将代入得：， 2142y11?222?1x? 代入式得： 即，此即为所求轨迹方程再将24y?2?xx?2x?xx?xyy?x? 21212211122? 2 当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决 六、椭圆相关问题 、共焦点的椭圆12222yxyx21?1?共焦点的椭圆方程可设为与椭圆c，共焦点：则相同。)(m?b)b?0(a? 2222m?mbaba 此类问题常用待定系数法求解；2222yxyx