初中数学教材中的数学文化试题赏释

1、学习的乘除法法则。直到 1299年元代朱世杰的算学启蒙中才有明确记载:同名相乘为正,初中数学教材中的数学文化试题赏释屈景兰潘祥万2017高考考试大纲修订内容数学部分的要求是：“在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求，增加了数学文化的要求。同时 对能力要求进行了到位的说明，使能力要求更加明确具体”。在整个考纲的修改 部分，特别强调了要增加对于数学文化的考查。作为教学一线的老师，除了关注初中数学教学的实际外，也不得不围绕高考这根指挥棒开展一些教学工作。而具体的体现就是在其他兄弟省、市的中考数学试卷里就出现了与数学文化有关的题 目。这些题型的出现，其意图是向通过解题让孩子感受

2、中国的传统文化之美并予 以传承。本文就对教材中涉及的数学文化试题和一些省、市的中考试题做一个简单的总结以飨同仁。一、源于“实际生活中的收、支”的表示问题。在数学七年级（上）有理数这章开始讲正、 负数时，知道数的产生和发展与生活有关的。如实物计数，结绳计数，刻道计数等是原始社会的计数方法，说明当时如何用小石子检查放牧归来的羊的只数；用结绳的方法统计猎物的个数；用在木头上刻道 的方法记录捕鱼的等等。古时候人们计数的方法有（结绳）记数，（筹码）记数和（算盘）记数，而算筹也是一种表示数的工具。在中国的古代用算筹进行计算， 红色（或正放）算筹表示正数，黑色（或斜放）算筹表示负数。例1.史料证明：追溯到两

3、千多年前，中国人就开始使用负数，且在世界上 也是首创。而中国古代数学着作九章算术的“方程”一章，在世界数学史上 首次正式引入负数。如果收入 100元记作+100元，那么-60元表示（）A.支出40元B.收入40元 C.支出60元 D.收入60元。解析：随着时代的进步，社会向前发展，一些繁杂（摆算筹）的计数方法也得改进。后来 的数学家们用“ +、- ”表示正、负数，知道其涵义后，书写简洁又方便。赏释：以教材中旁白作为切入点，了解古时人们计数的方式，进而考查正负数在实际生活 中的意义。二、源于阅读与思考中的有关问题（一）中国人最先使用负数 2、中国是世界上首先使用负数的国家。而负数产生的原因有：一

4、是来源于生活和生产实际； 另一个是解方程的需要。战国时期李悝所着的法经中已岀现使用负数的实例：“衣五人终岁用千五百不足四百五十。”在甘肃居延岀土的汉简中，岀现了大量的“负算”以负与得相比 较，表示缺少、亏空之意，由此说明负数产生于生活实践的需要；据世界上第一部关于负数完整介绍的古算书九章算术记载，由于在解方程时遇到了小数减大数的情况，为了使方程能解， 数学家发明了现在使用负数。同时该书率先给岀了负数的定义：“今两算得失相反，要令正负以名之”，并辩证地阐明：“言负者未必负于少，言正者未必正于多。”比意大利数学家邦贝利在他的代数学中给岀负数的定义要早得多。例2.计算：一+10 +解：原式=+ （1

5、0+）= +=解析：主要是有理数加减法则及运算律的考查。赏释：有理数加减法则，在我国的古代数学着作九章算术的“方程”一章中，并给岀 名为“正负术”的算法。而“正负术”就是今天的正负数加减法则。遗憾的是未能总结岀今天所”这与我们现在学习的有理数乘除法法异名相乘为负，同名相除所得为正，异名相除所得为负。则是一致的。（二）与“方程史话3”有关的方程试题人们对方程的表示及解法的研究有很久远的历史。不管是公元820年左右中亚西亚的数学家阿尔-花拉子米着的对消与还原，还是公元前200前50年古代中国的数学着作九章算术及宋元时期数学家创立的“天元术”，用“天元”表示未知数（与现今代数中的列一元方程 解应用题

6、的方法基本上是一致）而建立方程。这种方法的代表着作是数学家李冶写的测圆海镜，书中的“立天元一”就相当于现在的设未知数x。而后的清代数学家李善兰把国外数学着作翻译过来，就将equation 一词译为“方程，即含有未知数的等式称为方程，沿用至今。in II -ilii1 1111 =111IIII rm1 -1IIIEJ】图2例3.在九章算术的“方程”一章里，一次方 程组是由算筹布置而成的，如图1,图2,图中各行从 左到右列出的算筹数分别表示未知数 x, y的系数与相 应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉 的方程组形式表述出来，就是（1）写出图2所示的算筹图所表示的方程组；（2）请你求出

7、在（1）中写出的方程组的解.分析：由图1可得1个竖直的算筹数算1, 一个横的算筹数算10,每一横行是- 个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果： 前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图 2的表达式.2x y 114x 3y 27 ；（1）根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组:（2） X 2-得，-y=-5 , 即 y=5,把y=5代入得，4x+3X 5=27, x=3.所以方程组的解为:得到所给未知数的系数及相加“我问开店李三公，众客来到此店中, 客房有间。（2016.铜仁）我国古代名着九章算术中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁

8、起 （凫：野鸭）设野鸭与大雁从南海和北海同时点评：考查列二元一次方程组；关键是读懂图意, 结果.例4.（ 2017年连云港市）算法统宗里有这样一首诗：一房七客多七客，一房九客一房空。”则客人有 位,例5.北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢？ 起飞，经过x天相遇，可列方程为（）A. （9-7）x 1 B. （9 7）x 1 C./ 1 1、 彳 / 1 1、 ,-）x 1 D. （） x 17 979例6.元代朱世杰所着的算学启蒙里有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百 五十里，驽马先行一十二日，问良马几日追及之？ ”良马_天可以追上驽马。解析：三个题都是列方程与解方程的问题，是

9、课程标准要求及考查的知识点。赏释：对上述三个试题，均是我国古典数学着作算法统宗、九章算术、算学启蒙（人教版七年级上P112中的注释）中的方程问题。而对一次方程或一次方程组的解法在九章算术进而增强民族自豪感和学习数学的中有比较完整的论述。让学生了解我国数学文化的辉煌成就, 信心。过去代数的研究主要是对方程的研究。在我国南宋数学家杨辉所着田亩比类乘除算法 中有这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步。 答：阔二十四步，长三十六步。”这个问题实际上是古代的一元二次方程问题。（二） 源于生活中的长度测量问题无论何时，在日常的生活或生产中，人们经常会遇到计算和测

10、量。随着科学的不断发展，而计量单位也不断的在更新，精确度也提高了。 我们见过的测长度的工具有：木尺、塑料尺、卷尺、钢卡尺、游标卡尺等。如果对测量精度要求不高，我们也可用肘、拃、步长等来估计距离。如我 国的传统中医理论中依据经络脉理寻求穴位等，也有测量。例7.索竿之长问题一支竹竿一条索，索比竿子长一托。对折索子来量竿，却比竿子短一托。则索长托，竿长托。解析：这是生活中的一个测量问题。一托是一个人的两只手臂伸直的长度，与人的手臂长短有关，一般人的一托是5尺，就是米左右。赏释：主要应搞清楚古时候的计量有哪些，可以不必纠缠与现在长度有何关联，没必要考察。虽是一个从测量问题，实则归为方程问题。例8.（2

11、017.泸州，2016.太原）已知三角形的三遍长分别为a,b,C，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入的研究，故希腊的几何学甲海伦给岀求其面积的海伦公式S . p(p a)(p b)(p c)，其中 pa b c；我国南宋时期数学家秦九韶（约21202-1261 ）曾提岀利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式Sa2b2 (b J，若一个三角形的三边分别为2,3, 4，其面积是（A.3.15 厂 3 15 n 15 C . D .422解析：此题是源于二次根式这章中“阅读与思考”中海伦一秦九韶公式（三斜求积公式）的介绍 为背景，考查学生对二次根式代值计算化简问题。赏释：秦九韶在1247年完成的着

12、作数书九章就总结了这个公式。而数书九章是一部划 时代的数学巨作，全书共 18卷，81题，分九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、 钱谷类、营建类、军旅类、市易类。而此书实用性强，所设问题复杂，解题步骤详，对“大衍求 一术”（一次同余组解法）和“正负开方术”（高次方程的数值解法）等有深入研究。（三）源于“杨辉三角 4”问题2011版初中数学课程标准指出：数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。在数学教学中，结合学生已有认知和知识水平应当注重发展学生的“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数 据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想”。除了培养发展基

13、本的数学素养 和数学思想外，还要把“应用意识和创新意识”两方面的精神贯穿在教育教学中。 作为教学一线的教育者应结合教材中提供的素材，适当的进行拓展、延伸，使学生的知识面得以拓宽，为后续的学习打下基础；而下面两个地方的中考试题就是 一个很好的例证，也为我们的教学开展指明了方向。三角” 这个三角形给岀了（ 由大到小的顺序）1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1例9.（ 2016 四川广安）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉a+ b) n (n = 1, 2, 3, 4)的展开式的系数规律(按a的次数1(a+ b) = a + b(a+ b) (a+ b) = a

14、 + b 2 2(a+ b) = a + 2ab+ b= a2+ 2ab+ b2/、33223(a+ b) = a + 3a b + 3ab + b(a+ b) (a+ b) 4= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4= a4+ 4a(a+ b) 3= a3+ 3a2b + 3ab2 + b3b + 6a2b2 + 4ab3 + b42请依据上述规律：写出（X x） 2016展开式中含x2014项的系数是:解析：在初中数学教材八年级（上）整式的乘法与因式分解这一章中学习了幕的意义和整式乘法公式，而完全平方公式实际上杨辉三角的特殊。本题主要考查幕的运算和整式乘法运算首先确定

15、X2014是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题.解：（X-匸）2016展开式中含X2014项的系数，根据杨辉三角，就是展开式中第二项的系数,X即-2016X 2=- 4032 .故答案为-4032.例10. （2014.四川省巴中市）图中是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角形”na b （n为自然数）的展开它的岀现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角形”中有许多规律，如它的每一行数字正好对应了式中a按次数从大到小排列的项的系数，例如2 2 2a b a 2ab b展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字;再如aa3 3a2

16、b 3ab2 b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写岀4a b 的展开式为11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1【答案】a4 4a3b6a2b2 4ab3 b4赏释：在我国古代，“幕”的早期含义是泛指方形的东西。到三国时代，刘徽给九章算术 作注时第一次在数学中使用幕表示乘积。到明朝徐光启翻译几何原本时，用“自乘之数 曰幕”来解释幕，明确给出了幕下了定义。后来，随着数学家们的深入研究，在1591年法国数学家韦达的代数名着 分析方法入门中才有现代意义的幕的概念。在教学中，我们应 清楚地告知：幕是乘方的结果，不是乘方。对于题中谈到的杨辉三角，实际上是

17、高中数学教材中“二项式定理”学习的内容。我国南宋时期杰出的数学家和教育家杨辉在公元1261年着详解九章算术中载有“开方作法本源”图，使得贾宪的成果得以保存。由于“开方作 法本源”图出自杨辉的着作，后人称“开方作法本源”图为杨辉三角。事实上，杨辉作注：“出释锁算术，贾宪用此术”。所以，着名数学家华罗庚教授曾建议称之为“贾宪一杨辉 三角”，现在“贾宪三角” “杨辉三角”并用，对于这个科学成果，比西方早500年左右。我国古代有这样的数学成就，是非常值得骄傲的，是能激发中华民族自豪感的。（四）源于“勾股定理”证明问题2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣。因为这个定理重要、基本，还贴近人们的生活

18、实际。自古以来，上至帝王将相，下至平民百姓都愿意探讨、研究证明证明。 证明方法较多。对于证明法，感兴趣者可参阅人教版八年级（下）P30 “阅读与思考”中的毕达哥拉斯证法、赵爽弦图证法、加菲尔德证法；也可在互联网上搜阅其他证法。而世界上第一次给岀勾股数组通解公式的是九章算术一书。同时，我们知道困扰数学界300多年的费马大定理可以看作是从勾股数组引岀的类比、 推广后的数学问题。 由此可知勾股定理的影响是深远的，在其他领域的作用是不可估量的。例11.如图是我国古代着名的 “赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的. 若 AC 6，BC 5，将四个直角三角形中边长为 6的直角边分别向外延长

19、一倍，得到图 2所示 的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 .解析：本题是勾股定理的应用计算问题。解答时应明确周长是哪些线段的长度之和。赏释：对于勾股定理的应用问题，在人教版教材的第十七章P29的10题和P39的10题这两题均选自九章算术。而这两题经改编，却在有些省市作为中考题展现。 如“荡秋千”问题和“折 竹抵地”问题。【勾股定理应用变式】： （1） （2017.东营）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之 长几何？ ”题意是：如图1所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点

20、 A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺.图1图2（2） （2017 襄阳）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图 2所示的“赵爽弦图”是由四个全等的 直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a + b)2= 21,大正方形的面积为13，则 小正方形的面积为 ()A3 B4 C 5 D6(3) 我国明代有一位杰出的数学家程大位在所着的直指算法统宗 里有道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起,踏板一尺立地,送行二步与人齐,五尺人高曾记； 仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉,良工高士素好

21、奇,算出索长有几？” 解析 诗的意思告诉我们：当秋千静止在地上时,秋千的踏板离地的 距离为一尺,将秋千的踏板往前推两步,这里的每一步合五尺,秋千 的踏板与人一样高,这个人的身高为五尺,当然这是秋千的绳索是呈 直线状态,要求这个秋千的绳索有多长？要解决这个古诗中的问题, 我们可以先画出图形,再运用勾股定理求解(4)(2017 年.荆州) 九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈,末折 抵地,去根六尺问折高者几何？意思是：一根竹子,原高一丈(一丈 =10 尺), 一阵风将竹子折断, 其竹稍恰好抵地, 抵地处离竹子底部 6 尺远,问折断处离地 面的高度是多少？设折断处离地面的高度为 x 尺,则可列方程为()A. x2- 6= (10 - x) 2 B. x2- 62= (10